Himpunan terbatas dipahami sebagai himpunan apa pun dengan jumlah elemen yang terbatas atau dapat dihitung. Contoh himpunan berhingga adalah kelereng yang ada di dalam tas, himpunan rumah di lingkungan sekitar, atau himpunan P yang dibentuk oleh dua puluh (20) bilangan asli:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Kumpulan bintang di alam semesta pasti sangat besar, tetapi tidak diketahui dengan pasti apakah itu terbatas atau tidak terbatas. Namun, kumpulan planet di tata surya itu terbatas.
Gambar 1. Himpunan poligon terbatas dan bagian dari poligon beraturan juga. (Wikimedia Commons)
Jumlah elemen dalam himpunan berhingga disebut kardinalitas dan untuk himpunan P dilambangkan sebagai berikut: Kartu ( P ) atau # P. Himpunan kosong memiliki kardinalitas nol dan dianggap himpunan berhingga.
Properti
Di antara sifat-sifat himpunan hingga adalah sebagai berikut:
1- Penyatuan himpunan hingga memunculkan himpunan hingga baru.
2- Jika dua himpunan hingga berpotongan, hasil himpunan hingga baru.
3- Himpunan bagian dari himpunan hingga adalah terbatas dan kardinalitasnya kurang dari atau sama dengan himpunan aslinya.
4- Himpunan kosong adalah himpunan terbatas.
Contoh
Ada banyak contoh himpunan hingga. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut:
Himpunan M bulan dalam setahun yang dalam bentuk diperpanjang dapat ditulis seperti ini:
M = {Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, Desember}, kardinalitas M adalah 12.
Set S hari dalam seminggu: S = {Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday, Sunday}. Kardinalitas S adalah 7.
Himpunan Ñ dari huruf-huruf alfabet Spanyol adalah himpunan terbatas, himpunan dengan ekstensi ini ditulis seperti ini:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} dan kardinalitasnya adalah 27.
Himpunan V vokal dalam bahasa Spanyol adalah himpunan bagian dari himpunan Ñ:
V ⊂ Ñ oleh karena itu adalah himpunan berhingga.
Himpunan hingga V dalam bentuk ekstensif ditulis seperti ini: V = {a, e, i, o, u} dan kardinalitasnya adalah 5.
Set dapat diekspresikan dengan pemahaman. Himpunan F yang terdiri dari huruf-huruf dari kata "finite" adalah contohnya:
F = {x / x adalah huruf dari kata "finite"}
Kumpulan kata yang diekspresikan dalam bentuk ekstensif akan menjadi:
F = {f, i, n, t, o} yang kardinalitasnya adalah 5 dan oleh karena itu merupakan himpunan berhingga.
Lebih banyak contoh
Warna pelangi adalah contoh lain dari himpunan hingga, himpunan C dari warna-warna ini adalah:
C = {red, orange, yellow, green, cyan, blue, violet} dan kardinalitasnya adalah 7.
Himpunan fase F Bulan adalah contoh lain dari himpunan berhingga:
F = {Bulan baru, kuartal pertama, bulan purnama, kuartal terakhir} himpunan ini memiliki kardinalitas 4.
Gambar 2. Planet-planet tata surya membentuk himpunan berhingga. (pixabay)
Himpunan berhingga lainnya adalah himpunan yang dibentuk oleh planet-planet tata surya:
P = {Merkurius, Venus, Bumi, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus, Neptunus, Pluto} dengan kardinalitas 9.
Latihan Terpecahkan
Latihan 1
Himpunan berikut A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} diberikan. Ekspresikan dengan kata-kata dan tulis dengan ekstensi, tunjukkan kardinalitasnya dan katakan apakah itu terbatas atau tidak.
Solusi: Himpunan A adalah himpunan bilangan real x sehingga x kubik sebagai hasil 27.
Persamaan x ^ 3 = 27 memiliki tiga solusi: yaitu x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) dan x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). Dari ketiga solusi tersebut, hanya x1 yang nyata, sedangkan dua lainnya merupakan bilangan kompleks.
Karena definisi himpunan A mengatakan bahwa x milik bilangan real, maka solusi untuk bilangan kompleks bukan bagian dari himpunan A.
Himpunan A yang diekspresikan secara ekstensif adalah:
A = {3}, yang merupakan himpunan berhingga dari kardinalitas 1.
Latihan 2
Tulislah dalam bentuk simbolis (dengan pemahaman) dan dalam bentuk ekstensif himpunan B bilangan real yang lebih besar dari 0 (nol) dan kurang dari atau sama dengan 0 (nol). Tunjukkan kardinalitasnya dan apakah itu terbatas atau tidak.
Solusi: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Himpunan B kosong karena bilangan real x tidak dapat secara bersamaan lebih besar dan kurang dari nol, sama seperti tidak boleh 0 dan juga kurang dari 0.
B = {} dan kardinalitasnya adalah 0. Himpunan kosong adalah himpunan berhingga.
Latihan 3
Himpunan S dari solusi persamaan tertentu diberikan. Himpunan S dengan pemahaman ditulis seperti ini:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Tuliskan himpunan tersebut dalam bentuk yang luas, tunjukkan kardinalitasnya dan tunjukkan apakah itu himpunan terbatas atau tidak.
Solusi: Pertama, ketika menganalisis ekspresi yang menggambarkan himpunan S, diperoleh bahwa itu adalah himpunan nilai x nyata yang merupakan solusi dari persamaan:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Solusi dari persamaan ini adalah x = 3, yang merupakan bilangan real dan oleh karena itu termasuk dalam S.Tetapi ada lebih banyak solusi yang dapat diperoleh dengan mencari solusi dari persamaan kuadrat:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Ekspresi di atas dapat difaktorkan sebagai berikut:
(x - 4) (x - 5) = 0
Yang membawa kita ke dua solusi lagi dari persamaan awal (*) yaitu x = 4 dan x = 5. Singkatnya, persamaan (*) memiliki solusi 3, 4 dan 5.
Himpunan S yang diekspresikan dalam bentuk ekstensif terlihat seperti ini:
S = {3, 4, 5}, yang memiliki kardinalitas 3 dan oleh karena itu merupakan himpunan berhingga.
Latihan 4
Ada dua himpunan A = {1, 5, 7, 9, 11} dan B = {x ∊ N / x genap ^ x <10}.
Tuliskan himpunan B secara eksplisit dan temukan gabungannya dengan himpunan A. Temukan juga perpotongan dari kedua himpunan ini dan simpulkan.
Solusi: Himpunan B terdiri dari bilangan asli sehingga genap dan juga kurang dari nilai 10, oleh karena itu dalam himpunan ekstensif B ditulis sebagai berikut:
B = {2, 4, 6, 8}
Gabungan himpunan A dengan himpunan B adalah:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
dan intersep himpunan A dengan himpunan B ditulis seperti ini:
A ⋂ B = {} = Ø adalah himpunan kosong.
Perlu dicatat bahwa penyatuan dan intersepsi kedua himpunan hingga ini mengarah ke himpunan baru, yang pada gilirannya juga berhingga.
Referensi
- Fuentes, A. (2016). MATEMATIKA DASAR. Pengantar Kalkulus. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Matematika: persamaan kuadrat: Bagaimana memecahkan persamaan kuadrat. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematika untuk manajemen dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang.
- Preciado, CT (2005). Kursus Matematika ke-3. Progreso Editorial.
- Matematika 10 (2018). "Contoh Set Hingga". Diperoleh dari: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Aljabar I Itu Mudah! Begitu mudah. Tim Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Aljabar dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.
- Wikipedia. Set terbatas. Diperoleh dari: es.wikipedia.com