HIMPUNAN TAK TERBATAS: PROPERTI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Himpunan tak terbatas dipahami sebagai himpunan di mana jumlah elemennya tidak terhitung. Artinya, tidak peduli seberapa besar jumlah elemennya, selalu mungkin untuk menemukan lebih banyak.

Contoh paling umum adalah himpunan bilangan asli N tak terbatas . Tidak peduli seberapa besar angkanya, karena Anda selalu bisa mendapatkan yang lebih besar dalam proses yang tidak ada habisnya:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Gambar 1. Simbol ketidakterbatasan. (pixabay)

Kumpulan bintang di alam semesta pasti sangat besar, tetapi tidak diketahui dengan pasti apakah itu terbatas atau tidak terbatas. Berbeda dengan jumlah planet di tata surya yang dikenal dengan himpunan berhingga.

Properti dari himpunan tak terbatas

Di antara properti himpunan tak hingga, kami dapat menunjukkan yang berikut ini:

1- Penyatuan dua himpunan tak hingga memunculkan himpunan tak hingga baru.

2- Penyatuan himpunan terbatas dengan yang tak terbatas memunculkan himpunan tak terbatas baru.

3- Jika himpunan bagian dari himpunan tertentu tidak terbatas, maka himpunan aslinya juga tidak terbatas. Pernyataan timbal balik tidak benar.

Anda tidak dapat menemukan bilangan asli yang mampu mengungkapkan kardinalitas atau bilangan elemen dari himpunan tak hingga. Namun, matematikawan Jerman Georg Cantor memperkenalkan konsep bilangan transfinite untuk merujuk ke ordinal tak hingga yang lebih besar dari bilangan asli apa pun.

Contoh

N alami

Contoh yang paling sering dari himpunan tak hingga adalah bilangan asli. Bilangan asli adalah yang digunakan untuk menghitung, namun bilangan bulat yang mungkin ada tidak dapat dihitung.

Himpunan bilangan asli tidak termasuk nol dan biasanya dilambangkan sebagai himpunan N , yang dalam bentuk ekstensif dinyatakan sebagai berikut:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Dan jelas merupakan himpunan tak terhingga.

Elipsis digunakan untuk menunjukkan bahwa setelah satu angka, angka lainnya mengikuti dan kemudian angka lainnya dalam proses tanpa akhir atau tanpa akhir.

Himpunan bilangan asli yang digabungkan dengan himpunan yang berisi bilangan nol (0) disebut himpunan N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Yang merupakan hasil gabungan dari himpunan tak hingga N dengan himpunan hingga O = {0}, menghasilkan himpunan tak hingga N + .

Bilangan bulat Z

Himpunan bilangan bulat Z terdiri dari bilangan asli, bilangan asli dengan tanda negatif dan nol.

Bilangan bulat Z dianggap sebagai evolusi sehubungan dengan bilangan asli N yang digunakan secara asli dan primitif dalam proses penghitungan.

Dalam himpunan numerik Z dari bilangan bulat, nol digabungkan untuk menghitung atau tidak menghitung apa pun dan angka negatif untuk menghitung ekstraksi, kehilangan atau kekurangan sesuatu.

Untuk mengilustrasikan idenya, misalkan saldo negatif muncul di rekening bank. Artinya, akun tersebut di bawah nol dan bukan hanya akun tersebut kosong tetapi ada selisih yang hilang atau negatif, yang entah bagaimana harus diganti ke bank.

Dalam bentuk ekstensif himpunan tak hingga bilangan bulat Z ditulis seperti ini:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Rasional Q

Dalam evolusi proses penghitungan, dan pertukaran barang, barang atau jasa, bilangan pecahan atau rasional muncul.

Misalnya, dalam pertukaran setengah roti dengan dua buah apel, pada saat pencatatan transaksi, terpikir oleh seseorang bahwa setengahnya harus ditulis sebagai satu dibagi atau dibagi menjadi dua bagian: ½. Tetapi setengah dari setengah roti akan dicatat dalam buku besar sebagai berikut: ½ / ½ = ¼.

Jelas bahwa proses pembagian ini dalam teori tidak ada habisnya, meskipun dalam praktiknya hal itu sampai partikel terakhir roti tercapai.

Kumpulan bilangan rasional (atau pecahan) dilambangkan sebagai berikut:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Elipsis antara dua bilangan bulat berarti di antara kedua bilangan atau nilai tersebut terdapat partisi atau divisi yang tak terhingga. Itulah mengapa himpunan bilangan rasional dikatakan padat tak terhingga. Ini karena tidak peduli seberapa dekat dua bilangan rasional satu sama lain, nilai tak hingga dapat ditemukan.

Untuk menggambarkan hal di atas, misalkan kita diminta untuk mencari bilangan rasional antara 2 dan 3. Bilangan ini bisa berupa 2 can, yang disebut bilangan campuran yang terdiri dari 2 bagian utuh ditambah sepertiga satuan, yaitu setara dengan tulisan 4/3.

Antara 2 dan 2⅓ nilai lain dapat ditemukan, misalnya 2⅙. Dan antara 2 dan 2⅙ nilai lain dapat ditemukan, misalnya 2⅛. Antara dua yang lainnya, dan di antara mereka yang lain, yang lain dan yang lainnya.

Gambar 2. Pembagian tak terbatas dalam bilangan rasional. (wikimedia commons)

Bilangan irasional I

Ada bilangan yang tidak bisa dituliskan sebagai pembagian atau pecahan dari dua bilangan bulat. Himpunan numerik inilah yang dikenal sebagai himpunan I dari bilangan irasional dan juga merupakan himpunan tak hingga.

Beberapa elemen penting atau perwakilan dari himpunan numerik ini adalah bilangan pi (π), bilangan Euler (e), rasio emas atau bilangan emas (φ). Angka-angka ini hanya dapat ditulis secara kasar dengan angka rasional:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (dan terus berlanjut hingga tak terbatas dan seterusnya…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (dan berlanjut melampaui tak terhingga…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (hingga tak terbatas… ..dan seterusnya… ..)

Bilangan irasional lainnya muncul saat mencoba mencari solusi untuk persamaan yang sangat sederhana, misalnya persamaan X ^ 2 = 2 tidak memiliki solusi rasional eksak. Solusi eksaknya diungkapkan dengan simbologi berikut: X = √2, yang dibaca x sama dengan akar dua. Perkiraan ekspresi rasional (atau desimal) untuk √2 adalah:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Ada bilangan irasional yang tak terhitung jumlahnya, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) untuk beberapa nama.

Himpunan real R

Bilangan real adalah himpunan bilangan yang paling sering digunakan dalam kalkulus matematika, fisika, dan teknik. Kumpulan bilangan ini adalah gabungan bilangan rasional Q dan bilangan irasional I :

R = Q U I

Tak terhingga lebih besar dari tak terhingga

Di antara himpunan tak hingga beberapa lebih besar dari yang lain. Misalnya, himpunan bilangan N tak terbatas tetapi adalah bagian dari bilangan bulat Z yang terbatas, sehingga himpunan tak terhingga Z lebih besar dari himpunan tak terhingga N .

Demikian pula, himpunan bilangan bulat Z adalah himpunan bagian dari bilangan real R , dan karena itu set R adalah "tak terhingga" tak terbatas set Z .

Referensi

1. Celeberrima. Contoh himpunan tak hingga. Diperoleh dari: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). MATEMATIKA DASAR. Pengantar Kalkulus. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematika: persamaan kuadrat: Bagaimana memecahkan persamaan kuadrat. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematika untuk manajemen dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang.
6. Preciado, CT (2005). Kursus Matematika ke-3. Progreso Editorial.
7. Rock, NM (2006). Aljabar I Itu Mudah! Begitu mudah. Tim Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Aljabar dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.
9. Wikipedia. Set tak terbatas. Diperoleh dari: es.wikipedia.com