DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT: KARAKTERISTIK, LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

The distribusi probabilitas diskrit adalah fungsi yang ditunjuk untuk setiap elemen X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, di mana X adalah variabel acak diskrit diberikan dan S adalah ruang sampel, probabilitas bahwa acara tersebut terjadi. Fungsi f dari X (S) ini didefinisikan sebagai f (xi) = P (X = xi) kadang-kadang disebut fungsi massa probabilitas.

Massa probabilitas ini umumnya direpresentasikan dalam bentuk tabel. Karena X adalah variabel acak diskrit, X (S) memiliki jumlah kejadian terbatas atau tak terhingga yang dapat dihitung. Di antara distribusi probabilitas diskrit yang paling umum, kita memiliki distribusi seragam, distribusi binomial, dan distribusi Poisson.

karakteristik

Fungsi distribusi probabilitas harus memenuhi kondisi berikut:

Selanjutnya, jika X hanya mengambil sejumlah nilai terbatas (misalnya x1, x2,…, xn), maka p (xi) = 0 jika i> ny, oleh karena itu deret tak hingga kondisi b menjadi a seri terbatas.

Fungsi ini juga memenuhi properti berikut:

Misalkan B adalah peristiwa yang diasosiasikan dengan variabel acak X. Ini berarti bahwa B terkandung dalam X (S). Secara khusus, anggap B = {xi1, xi2, …}. Jadi:

Dengan kata lain, probabilitas peristiwa B sama dengan jumlah probabilitas hasil individu yang terkait dengan B.

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa jika a <b, peristiwa (X ≤ a) dan (a <X ≤ b) saling eksklusif dan, selanjutnya, penyatuannya adalah peristiwa (X ≤ b), jadi kita punya:

Jenis

Distribusi seragam di atas n poin

Dikatakan bahwa variabel acak X mengikuti distribusi yang dicirikan seragam pada n titik jika setiap nilai diberi probabilitas yang sama. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Misalkan kita memiliki eksperimen yang memiliki dua kemungkinan hasil, dapat berupa lemparan koin yang kemungkinan hasilnya adalah kepala atau ekor, atau pilihan bilangan bulat yang hasilnya dapat berupa bilangan genap atau ganjil; jenis percobaan ini dikenal sebagai tes Bernoulli.

Secara umum, dua kemungkinan hasil disebut sukses dan gagal, di mana p adalah probabilitas keberhasilan dan 1-p adalah probabilitas kegagalan. Kita dapat menentukan probabilitas x sukses dalam n tes Bernoulli yang tidak bergantung satu sama lain dengan distribusi berikut.

Distribusi binomial

Ini adalah fungsi yang mewakili probabilitas memperoleh x keberhasilan dalam n tes Bernoulli independen, yang probabilitas keberhasilannya adalah p. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Grafik berikut menunjukkan fungsi massa probabilitas untuk nilai parameter distribusi binomial yang berbeda.

Distribusi berikut berutang namanya pada ahli matematika Prancis Simeon Poisson (1781-1840), yang memperolehnya sebagai batas distribusi binomial.

distribusi racun

Variabel acak X dikatakan memiliki sebaran Poisson dari parameter λ apabila diperoleh nilai bilangan bulat positif 0,1,2,3, … dengan probabilitas sebagai berikut:

Dalam ekspresi ini λ adalah angka rata-rata yang sesuai dengan kemunculan peristiwa untuk setiap satuan waktu, dan x adalah berapa kali peristiwa tersebut terjadi.

Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Berikut adalah grafik yang mewakili fungsi massa probabilitas untuk berbagai nilai parameter distribusi Poisson.

Perhatikan bahwa, selama jumlah keberhasilan rendah dan jumlah pengujian yang dilakukan pada distribusi binomial tinggi, kami selalu dapat memperkirakan distribusi ini, karena distribusi Poisson adalah batas dari distribusi binomial.

Perbedaan utama antara kedua distribusi ini adalah bahwa, meskipun binomial bergantung pada dua parameter, yaitu n dan p, Poisson hanya bergantung pada λ, yang terkadang disebut intensitas distribusi.

Sejauh ini kita hanya berbicara tentang distribusi probabilitas untuk kasus-kasus di mana eksperimen yang berbeda tidak bergantung satu sama lain; yaitu, bila hasil salah satu tidak dipengaruhi oleh hasil lain.

Jika terjadi kasus eksperimen yang tidak independen, distribusi hipergeometrik sangat berguna.

Distribusi hipergeometrik

Misalkan N adalah jumlah total objek dari himpunan berhingga, yang mana kita dapat mengidentifikasi k dari beberapa cara, sehingga membentuk subset K, yang komplemennya dibentuk oleh elemen Nk yang tersisa.

Jika kita memilih n objek secara acak, variabel acak X yang mewakili jumlah objek milik K dalam pilihan tersebut memiliki distribusi hipergeometrik parameter N, n dan k. Fungsi massa probabilitasnya adalah:

Grafik berikut merepresentasikan fungsi massa probabilitas untuk nilai yang berbeda dari parameter distribusi hipergeometrik.

Latihan terselesaikan

Latihan pertama

Misalkan probabilitas tabung radio (ditempatkan pada jenis peralatan tertentu) akan beroperasi selama lebih dari 500 jam adalah 0,2. Jika 20 tabung diuji, berapakah probabilitas bahwa tepatnya k ini akan berjalan selama lebih dari 500 jam, k = 0, 1,2,…, 20?

Larutan

Jika X adalah banyaknya tabung yang bekerja lebih dari 500 jam, kita asumsikan X memiliki distribusi binomial. Begitu

Sehingga:

Untuk k≥11, probabilitasnya kurang dari 0,001

Dengan demikian kita dapat melihat bagaimana probabilitas bahwa k pekerjaan ini selama lebih dari 500 jam meningkat, hingga mencapai nilai maksimumnya (dengan k = 4) dan kemudian mulai menurun.

Latihan kedua

Koin dilemparkan 6 kali. Kalau hasilnya mahal, kita akan bilang sukses. Berapa probabilitas bahwa dua kepala akan muncul dengan tepat?

Larutan

Untuk kasus ini kita mendapatkan bahwa n = 6 dan probabilitas keberhasilan dan kegagalan keduanya adalah p = q = 1/2

Oleh karena itu, probabilitas dua kepala diberikan (yaitu, k = 2) adalah

Latihan ketiga

Berapa probabilitas untuk menemukan setidaknya empat kepala?

Larutan

Untuk kasus ini kita mendapatkan bahwa k = 4, 5 atau 6

Latihan ketiga

Misalkan 2% barang yang diproduksi di pabrik rusak. Temukan probabilitas P bahwa ada tiga item yang rusak dalam sampel yang terdiri dari 100 item.

Larutan

Untuk kasus ini kita dapat menerapkan distribusi binomial untuk n = 100 dan p = 0,02 sehingga diperoleh hasil:

Namun karena p kecil, kami menggunakan pendekatan Poisson dengan λ = np = 2. Begitu,

Referensi

1. Kai Lai Chung. Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen, Matematika Diskrit dan Aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilitas dan Aplikasi Statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Soal Latihan Matematika Diskrit. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah Teori dan Probabilitas. McGRAW-HILL.