The Bolzano teorema menyatakan bahwa jika fungsi kontinu di setiap titik dari interval tertutup dan puas bahwa citra "a" dan "b" (di bawah fungsi) memiliki tanda-tanda yang berlawanan, maka akan ada setidaknya satu titik " c "dalam interval terbuka (a, b), sedemikian rupa sehingga fungsi yang dievaluasi dalam" c "akan sama dengan 0.
Teorema ini diucapkan oleh filsuf, teolog, dan matematikawan Bernard Bolzano pada tahun 1850. Ilmuwan ini, yang lahir di Republik Ceko saat ini, adalah salah satu ahli matematika pertama dalam sejarah yang membuat bukti formal sifat fungsi berkelanjutan.
Penjelasan
Teorema Bolzano juga dikenal sebagai teorema nilai antara, yang membantu dalam menentukan nilai tertentu, terutama nol, dari fungsi nyata tertentu dari variabel nyata.
Dalam fungsi tertentu, f (x) berlanjut -yaitu, f (a) dan f (b) dihubungkan oleh kurva-, di mana f (a) berada di bawah sumbu x (negatif), dan f (b) oleh di atas sumbu x (itu positif), atau sebaliknya, secara grafis akan ada titik potong pada sumbu x yang akan mewakili nilai antara «c», yang akan berada di antara «a» dan «b», dan nilai f (c) akan sama dengan 0.
Ketika menganalisis secara grafis teorema Bolzano, dapat dilihat bahwa untuk setiap fungsi kontinu f yang didefinisikan pada suatu interval, di mana f (a) * f (b) kurang dari 0, akan ada setidaknya satu akar «c» dari fungsi tersebut di dalam dari interval (a, b).
Teorema ini tidak menetapkan jumlah titik dalam interval terbuka itu, ia hanya menyatakan bahwa setidaknya ada 1 titik.
Demonstrasi
Untuk membuktikan teorema Bolzano, diasumsikan tanpa kehilangan keumuman bahwa f (a) <0 dan f (b)> 0; jadi, ada banyak nilai antara "a" dan "b" yang f (x) = 0, tetapi hanya satu yang perlu ditampilkan.
Kita mulai dengan mengevaluasi f di titik tengah (a + b) / 2. Jika f ((a + b) / 2) = 0 maka pembuktiannya berakhir di sini; jika tidak, maka f ((a + b) / 2) adalah positif atau negatif.
Salah satu bagian dari interval dipilih, sehingga tanda dari fungsi yang dievaluasi pada titik ekstrim berbeda. Interval baru ini akan terjadi.
Sekarang, jika f dievaluasi pada titik tengah bukan nol, maka operasi yang sama dilakukan; artinya, setengah dari interval ini dipilih yang memenuhi syarat dari tanda-tanda. Biarlah ini menjadi interval baru.
Jika Anda melanjutkan proses ini, Anda akan memiliki dua urutan {an} dan {bn}, seperti:
{an} meningkat dan {bn} menurun:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Jika Anda menghitung panjang setiap interval, Anda harus:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Oleh karena itu, limitnya ketika n mendekati tak terhingga dari (bn-an) sama dengan 0.
Menggunakan bahwa {an} bertambah dan dibatasi dan {bn} menurun dan dibatasi, kita memiliki nilai «c» seperti itu:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Limit dari sebuah adalah "c" dan limit dari {bn} juga "c". Oleh karena itu, jika ada δ> 0, selalu ada "n" sedemikian sehingga intervalnya terkandung dalam interval (c-δ, c + δ).
Sekarang, harus ditunjukkan bahwa f (c) = 0.
Jika f (c)> 0, maka karena f kontinu, terdapat ε> 0 sedemikian sehingga f positif selama seluruh interval (c - ε, c + ε). Namun, seperti disebutkan di atas, terdapat nilai "n" sehingga f mengubah sign in dan, terlebih lagi, terdapat di dalam (c - ε, c + ε) yang merupakan kontradiksi.
Jika f (c) <0, maka karena f kontinu, terdapat ε> 0 sedemikian sehingga f negatif sepanjang interval (c - ε, c + ε); tetapi ada nilai "n" sehingga f berubah masuk. Ternyata isinya ada di dalam (c - ε, c + ε), yang juga merupakan kontradiksi.
Oleh karena itu, f (c) = 0 dan inilah yang ingin kami buktikan.
Untuk apa ini?
Dari interpretasi grafisnya, teorema Bolzano digunakan untuk mencari akar atau nol dalam fungsi kontinu, melalui pembagian dua (aproksimasi), yang merupakan metode pencarian inkremental yang selalu membagi interval dengan 2.
Kemudian diambil interval atau di mana terjadi perubahan tanda, dan proses tersebut diulangi hingga interval tersebut semakin kecil, agar dapat mendekati nilai yang diinginkan; yaitu, ke nilai yang dihasilkan oleh fungsi tersebut 0.
Singkatnya, untuk menerapkan teorema Bolzano dan dengan demikian menemukan akarnya, membatasi nol suatu fungsi atau memberikan solusi pada suatu persamaan, dilakukan langkah-langkah berikut:
- Ini diverifikasi jika f adalah fungsi kontinu pada interval.
- Jika interval tidak diberikan, harus ditemukan dimana fungsinya kontinu.
- Ini diverifikasi jika interval ekstrim memberikan tanda yang berlawanan ketika dievaluasi pada f.
- Jika tidak didapatkan tanda berlawanan, interval harus dibagi menjadi dua subinterval menggunakan titik tengah.
- Evaluasi fungsi di titik tengah dan verifikasi bahwa hipotesis Bolzano terpenuhi, di mana f (a) * f (b) <0.
- Bergantung pada tanda (positif atau negatif) dari nilai yang ditemukan, proses tersebut diulangi dengan subinterval baru hingga hipotesis tersebut terpenuhi.
Latihan terselesaikan
Latihan 1
Tentukan apakah fungsi f (x) = x 2 - 2, memiliki setidaknya satu solusi nyata dalam interval.
Larutan
Kita memiliki fungsi f (x) = x 2 - 2. Karena polinomial, artinya kontinu dalam interval apa pun.
Itu diminta untuk menentukan apakah ia memiliki solusi nyata dalam interval, jadi sekarang hanya perlu mengganti interval ekstrem dalam fungsi untuk mengetahui tanda ini dan untuk mengetahui apakah memenuhi syarat untuk menjadi berbeda:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negatif)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (positif)
Oleh karena itu, tanda f (1) ≠ tanda f (2).
Ini memastikan bahwa setidaknya ada satu titik "c" yang termasuk dalam interval, di mana f (c) = 0.
Dalam hal ini, nilai "c" dapat dengan mudah dihitung sebagai berikut:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Jadi, √2 ≈ 1,4 termasuk dalam interval dan memenuhi bahwa f (√2) = 0.
Latihan 2
Tunjukkan bahwa persamaan x 5 + x + 1 = 0 memiliki setidaknya satu solusi nyata.
Larutan
Pertama-tama perhatikan bahwa f (x) = x 5 + x + 1 adalah fungsi polinomial, yang berarti fungsi ini kontinu pada semua bilangan real.
Dalam kasus ini, tidak ada interval yang diberikan, jadi nilai harus dipilih secara intuitif, sebaiknya mendekati 0, untuk mengevaluasi fungsi dan menemukan perubahan tanda:
Jika Anda menggunakan interval Anda harus:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Karena tidak ada perubahan tanda, proses diulangi dengan interval lain.
Jika Anda menggunakan interval Anda harus:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
Pada interval ini terjadi perubahan tanda: tanda f (-1) ≠ tanda f (0), artinya fungsi f (x) = x 5 + x + 1 minimal memiliki satu akar nyata «c» dalam interval, sehingga f (c) = 0. Dengan kata lain, benar bahwa x 5 + x + 1 = 0 memiliki solusi nyata dalam interval tersebut.
Referensi
- Bronshtein I, SK (1988). Manual Matematika untuk Insinyur dan Siswa. . Editorial MIR.
- George, A. (1994). Matematika dan Pikiran. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Analisis matematis. Dalam tiga jilid. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Guru Pendidikan Menengah. Jilid II. GILA.
- Mateos, ML (2013). Sifat dasar analisis di R. Editores, 20 Des.
- Piskunov, N. (1980). Kalkulus Diferensial dan Integral. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika untuk Analisis Ekonomi. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Simetri Berkelanjutan: Dari Euclid ke Klein. American Mathematical Soc.