- Produk dan contoh terkenal
- Kuadrat binomial
- Produk binomial terkonjugasi
- Produk dari dua binomial dengan suku yang sama
- Polinomial kuadrat
- Kubus binomial
- Kubus dari sebuah trinomial
- Latihan terselesaikan dari produk terkenal
- Latihan 1
- Larutan
- Latihan 2
- Larutan
- Referensi
Produk luar biasa adalah operasi aljabar, di mana perkalian polinomial diekspresikan, yang tidak perlu diselesaikan secara tradisional, tetapi dengan bantuan aturan tertentu, hasil yang sama dapat ditemukan.
Polinomial dikalikan dengan ya, oleh karena itu mungkin saja mereka memiliki banyak suku dan variabel. Untuk mempersingkat prosesnya, aturan hasil perkalian yang terkenal digunakan, yang memungkinkan perkalian tanpa harus pergi suku demi suku.
Produk dan contoh terkenal
Setiap produk penting adalah rumus yang dihasilkan dari faktorisasi, terdiri dari polinomial dari beberapa suku seperti binomial atau trinomial, yang disebut faktor.
Faktor adalah basis pangkat dan memiliki eksponen. Saat faktor dikalikan, eksponen harus dijumlahkan.
Ada beberapa rumus produk yang luar biasa, beberapa lebih banyak digunakan daripada yang lain, bergantung pada polinomialnya, dan adalah sebagai berikut:
Kuadrat binomial
Ini adalah perkalian binomial dengan sendirinya, dinyatakan sebagai pangkat, di mana suku-suku ditambahkan atau dikurangkan:
untuk. Jumlah kuadrat binomial: itu sama dengan kuadrat suku pertama, ditambah dua kali hasil kali suku, ditambah kuadrat suku kedua. Itu diungkapkan sebagai berikut:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Pada gambar berikut Anda dapat melihat bagaimana produk berkembang sesuai dengan aturan yang disebutkan di atas. Hasilnya disebut trinomial dari kuadrat sempurna.
Contoh 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Contoh 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomial pengurangan kuadrat: aturan binomial yang sama dari penjumlahan berlaku, hanya dalam kasus ini suku keduanya negatif. Rumusnya adalah sebagai berikut:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
Contoh 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Produk binomial terkonjugasi
Dua binomial dikonjugasikan jika suku kedua masing-masing memiliki tanda yang berbeda, yaitu yang pertama positif dan yang kedua negatif atau sebaliknya. Ini diselesaikan dengan menguadratkan setiap monomial dan mengurangi. Rumusnya adalah sebagai berikut:
(a + b) * (a - b)
Pada gambar berikut dikembangkan produk dari dua binomial terkonjugasi, di mana diamati bahwa hasilnya adalah selisih kuadrat.
Contoh 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Produk dari dua binomial dengan suku yang sama
Ini adalah salah satu produk penting yang paling kompleks dan jarang digunakan karena merupakan perkalian dari dua binomial yang memiliki istilah umum. Aturan tersebut menyatakan sebagai berikut:
- Kuadrat dari istilah umum.
- Ditambah jumlah suku yang tidak umum lalu kalikan dengan suku umum.
- Ditambah jumlah perkalian suku-suku yang tidak umum.
Itu direpresentasikan dalam rumus: (x + a) * (x + b) dan dikembangkan seperti yang ditunjukkan pada gambar. Hasilnya adalah trinomial kuadrat tidak sempurna.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Ada kemungkinan suku kedua (suku yang berbeda) bernilai negatif dan rumusnya adalah sebagai berikut: (x + a) * (x - b).
Contoh 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Bisa juga kasus kedua suku yang berbeda adalah negatif. Rumusnya adalah: (x - a) * (x - b).
Contoh 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinomial kuadrat
Dalam hal ini ada lebih dari dua suku dan untuk mengembangkannya, masing-masing suku dikuadratkan dan dijumlahkan dengan dua kali perkalian satu suku dengan suku lainnya; Rumusnya adalah: (a + b + c) 2 dan hasil operasinya adalah trinomial kuadrat.
Contoh 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Kubus binomial
Ini adalah produk yang sangat kompleks. Untuk mengembangkannya, binomial dikalikan dengan kuadratnya, sebagai berikut:
untuk. Untuk pangkat tiga binomial dari suatu penjumlahan:
- Pangkat tiga dari suku pertama, ditambah tiga kali lipat kuadrat dari suku pertama dikalikan suku kedua.
- Ditambah tiga kali lipat suku pertama, dikalikan dengan kuadrat kedua.
- Ditambah kubus dari suku kedua.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Contoh 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Untuk kubus binomial pengurangan:
- Pangkat tiga suku pertama, dikurangi tiga kali kuadrat suku pertama dikalikan suku kedua.
- Ditambah tiga kali lipat suku pertama, dikalikan dengan kuadrat kedua.
- Minus kubus dari suku kedua.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
Contoh 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Kubus dari sebuah trinomial
Ini dikembangkan dengan mengalikannya dengan kuadratnya. Ini adalah hasil kali luar biasa yang sangat ekstensif karena Anda memiliki 3 suku pangkat tiga, ditambah tiga kali setiap suku dikuadratkan, dikalikan dengan masing-masing suku, ditambah enam kali hasil kali dari ketiga suku. Dilihat dengan cara yang lebih baik:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Contoh 1
Latihan terselesaikan dari produk terkenal
Latihan 1
Perluas kubus binomial berikut: (4x - 6) 3 .
Larutan
Mengingat bahwa pangkat tiga binomial sama dengan pangkat tiga suku pertama, dikurangi tiga kali kuadrat suku pertama dikalikan suku kedua; ditambah tiga kali lipat suku pertama, dikalikan dengan kuadrat kedua, dikurangi pangkat tiga suku kedua.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
Latihan 2
Kembangkan binomial berikut: (x + 3) (x + 8).
Larutan
Ada binomial yang memiliki suku yang sama, yaitu x dan suku kedua bernilai positif. Untuk mengembangkannya, Anda hanya perlu mengkuadratkan suku persekutuan, ditambah jumlah suku yang tidak persekutuan (3 dan 8) lalu mengalikannya dengan suku persekutuan, ditambah jumlah perkalian suku yang tidak persekutuan.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Referensi
- Angel, AR (2007). Aljabar Dasar. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Inggris Raya: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Aljabar Dasar dan Menengah: Pendekatan Gabungan. Florida: Pembelajaran Cengage.
- Pérez, CD (2010). Pendidikan Pearson.