METODE AKSIOMATIK: KARAKTERISTIK, LANGKAH, CONTOH - KOSAKATA BUDAYA - 2025

The aksiomatik metode atau disebut juga axiomatics adalah prosedur formal yang digunakan oleh ilmu-ilmu dengan cara yang laporan atau proposisi disebut aksioma dirumuskan, terhubung satu sama lain melalui hubungan deductibility dan yang merupakan dasar dari hipotesis atau kondisi dari sistem tertentu.

Definisi umum ini harus dibingkai dalam evolusi yang telah dimiliki metodologi ini sepanjang sejarah. Pertama, ada metode kuno atau konten, lahir di Yunani Kuno dari Euclid dan kemudian dikembangkan oleh Aristoteles.

Kedua, pada awal abad ke-19, kemunculan geometri dengan aksioma-aksioma berbeda dengan yang dimiliki oleh Euclid. Dan akhirnya, metode aksiomatik formal atau modern, yang eksponen terbesarnya adalah David Hilbert.

Di luar perkembangannya dari waktu ke waktu, prosedur ini telah menjadi dasar dari metode deduktif, yang digunakan dalam geometri dan logika tempat asalnya. Ini juga telah digunakan dalam fisika, kimia, dan biologi.

Dan bahkan telah diterapkan dalam ilmu hukum, sosiologi dan ekonomi politik. Namun, saat ini bidang penerapannya yang paling penting adalah matematika dan logika simbolik dan beberapa cabang fisika seperti termodinamika, mekanika, dan disiplin ilmu lainnya.

karakteristik

Meskipun karakteristik fundamental dari metode ini adalah perumusan aksioma, hal ini tidak selalu dianggap dengan cara yang sama.

Ada beberapa yang dapat didefinisikan dan dibangun dengan cara yang sewenang-wenang. Dan lainnya, menurut model di mana kebenaran yang dijamin dipertimbangkan secara intuitif.

Untuk memahami secara spesifik apa perbedaan ini dan konsekuensinya, perlu melalui evolusi metode ini.

Metode aksiomatik kuno atau konten

Ini adalah yang didirikan di Yunani Kuno menjelang abad ke-5 SM. Lingkup aplikasinya adalah geometri. Pekerjaan mendasar dari tahap ini adalah Elemen Euclid, meskipun dianggap bahwa sebelumnya, Pythagoras, telah melahirkan metode aksiomatik.

Jadi, orang Yunani menganggap fakta tertentu sebagai aksioma, tanpa memerlukan bukti logis, yaitu, tanpa perlu bukti, karena bagi mereka fakta itu adalah kebenaran yang terbukti dengan sendirinya.

Untuk bagiannya, Euclid menyajikan lima aksioma untuk geometri:

1-Diberikan dua poin, ada garis yang berisi atau menggabungkan mereka.

2-Segmen apa pun dapat terus diperpanjang dalam garis tak terbatas di kedua sisi.

3-Anda dapat menggambar lingkaran yang memiliki pusat di titik mana pun dan radius apa pun.

4-Sudut siku-siku semuanya sama.

5-Mengambil garis lurus dan titik mana pun yang tidak ada di dalamnya, ada garis lurus yang sejajar dengannya dan yang berisi titik itu. Aksioma ini kemudian dikenal sebagai aksioma paralel dan juga telah dilafalkan sebagai: sebuah paralel tunggal dapat ditarik dari sebuah titik di luar garis.

Namun, baik Euclid dan ahli matematika kemudian setuju bahwa aksioma kelima tidak sejelas yang lain 4. Bahkan selama Renaissance, upaya dilakukan untuk menyimpulkan yang kelima dari 4 lainnya, tetapi itu tidak mungkin.

Ini membuat bahwa pada abad XIX, mereka yang mempertahankan kelima mendukung geometri Euclidean dan mereka yang menolak geometri kelima, adalah mereka yang menciptakan geometri non-Euclidean.

Metode aksiomatik non-Euclidean

Justru Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai dan Johann Karl Friedrich Gauss yang melihat kemungkinan untuk membangun, tanpa kontradiksi, geometri yang berasal dari sistem aksioma selain dari Euclid. Ini menghancurkan kepercayaan pada kebenaran absolut atau apriori dari aksioma dan teori yang berasal darinya.

Akibatnya, aksioma mulai dipahami sebagai titik awal untuk teori tertentu. Juga pilihannya dan masalah validitasnya dalam satu atau lain hal, mulai dikaitkan dengan fakta di luar teori aksiomatik.

Dengan cara ini, teori geometris, aljabar, dan aritmatika tampak dibangun dengan menggunakan metode aksiomatik.

Tahap ini memuncak dalam penciptaan sistem aksiomatik untuk aritmatika seperti Giuseppe Peano pada tahun 1891; Geometri David Hubert pada tahun 1899; pernyataan dan perhitungan predikat Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, di Inggris pada tahun 1910; Teori aksiomatik Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo dari himpunan pada tahun 1908.

Metode aksiomatik modern atau formal

Adalah David Hubert yang memulai konsepsi metode aksiomatik formal dan yang mengarah pada puncaknya, David Hilbert.

Justru Hilbert yang meresmikan bahasa ilmiah, mengingat pernyataannya sebagai rumus atau urutan tanda yang tidak memiliki arti dalam dirinya. Mereka hanya memperoleh makna dalam interpretasi tertentu.

Dalam "Dasar-dasar geometri" dia menjelaskan contoh pertama dari metodologi ini. Dari sini, geometri menjadi ilmu dengan konsekuensi logis murni, yang diekstraksi dari sistem hipotesis atau aksioma, diartikulasikan lebih baik daripada sistem Euclidean.

Ini karena dalam sistem kuno teori aksiomatik didasarkan pada bukti aksioma. Sedangkan dalam fondasi teori formal diberikan oleh demonstrasi non-kontradiksi aksioma-aksioma tersebut.

Langkah

Prosedur yang melakukan penataan aksiomatik dalam teori ilmiah mengakui:

a-pilihan sejumlah aksioma, yaitu sejumlah proposisi dari teori tertentu yang diterima tanpa perlu dibuktikan.

b-konsep yang merupakan bagian dari proposisi ini tidak ditentukan dalam kerangka teori yang diberikan.

c-aturan definisi dan deduksi dari teori yang diberikan ditetapkan dan memungkinkan pengenalan konsep-konsep baru dalam teori dan secara logis menyimpulkan beberapa proposisi dari yang lain.

d-proposisi lain dari teori, yaitu teorema, disimpulkan dari a atas dasar c.

Contoh

Metode ini dapat diverifikasi melalui bukti dari dua teorema Euclid yang paling terkenal: teorema kaki dan teorema ketinggian.

Keduanya muncul dari pengamatan ahli geologi Yunani ini bahwa ketika ketinggian yang berkaitan dengan sisi miring diplot dalam segitiga siku-siku, dua segitiga lagi yang asli akan muncul. Segitiga-segitiga ini mirip satu sama lain dan pada saat yang sama mirip dengan segitiga asal. Ini mengasumsikan bahwa sisi homolog masing-masing proporsional.

Dapat dilihat bahwa sudut kongruen dalam segitiga dengan cara ini memverifikasi kesamaan yang ada di antara tiga segitiga yang terlibat menurut kriteria kesamaan AAA. Kriteria ini menyatakan bahwa jika dua segitiga memiliki semua sudut yang sama, keduanya serupa.

Setelah terlihat bahwa segitiga-segitiga tersebut serupa, proporsi yang ditentukan dalam teorema pertama dapat ditetapkan. Pernyataan yang sama bahwa dalam segitiga siku-siku, ukuran setiap kaki adalah rata-rata proporsional geometris antara sisi miring dan proyeksi kaki di atasnya.

Teorema kedua adalah tinggi. Ini menentukan bahwa setiap segitiga siku-siku dengan tinggi yang digambar menurut sisi miring adalah rata-rata proporsional geometris antara segmen yang ditentukan oleh rata-rata geometris tersebut pada sisi miring.

Tentu saja, kedua teorema tersebut memiliki banyak aplikasi di seluruh dunia tidak hanya dalam pengajaran, tetapi juga dalam teknik, fisika, kimia, dan astronomi.

Referensi

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme dan intuisi: David Hilbert dan metode aksiomatik formal (1895-1905). Revista de Filosofía, Vol.39 No.2, hal.121-146. Diambil dari magazines.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Pikiran aksiomatik. Di W. Ewald, editor, dari Kant ke Hilbert: buku sumber di dasar matematika. Volume II, hlm 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Apa metode aksiomatik? Synthese, November 2011, volume 189, hlm. 69-85. Diambil dari link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Pengantar Filsafat Hukum kontemporer. (hlm. 48-49). Diambil dari books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Metode Aksiomatik, bacaan oleh Ricardo Nirenberg, Musim Gugur 1996, Universitas di Albany, Proyek Renaissance. Diambil dari Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert antara Matematika sisi formal dan informal. Naskah vol. 38 no. 2, Campinas Juli / Agustus 2015. Diambil dari scielo.br.