BILANGAN TRANSENDEN: APA ITU, RUMUS, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The nomor transendental adalah mereka yang tidak dapat dapat diperoleh sebagai suatu hasil dari persamaan polinomial. Kebalikan dari bilangan transenden adalah bilangan aljabar, yang merupakan solusi dari persamaan polinomial berjenis:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Dimana koefisien a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ adalah bilangan rasional, disebut koefisien polinomial. Jika bilangan x adalah solusi dari persamaan sebelumnya, maka bilangan tersebut tidak transenden.

Gambar 1. Dua angka yang sangat penting dalam sains adalah angka transenden. Sumber: publicdomainpictures.net.

Kami akan menganalisis beberapa angka dan melihat apakah itu transenden atau tidak:

a) 3 tidak transenden karena merupakan solusi dari x - 3 = 0.

b) -2 tidak dapat transenden karena merupakan solusi dari x + 2 = 0.

c) ⅓ adalah solusi dari 3x - 1 = 0

d) Solusi dari persamaan x ² - 2x + 1 = 0 adalah √2 -1, sehingga bilangan tersebut menurut definisi tidak transenden.

e) Tidak keduanya √2 karena merupakan hasil dari persamaan x ² - 2 = 0. Penguadekan √2 memberikan hasil 2, yang dikurangi dari 2 sama dengan nol. Jadi √2 adalah bilangan irasional tetapi tidak transenden.

Apakah bilangan transenden itu?

Masalahnya adalah tidak ada aturan umum untuk mendapatkannya (kita akan mengatakannya nanti), tetapi beberapa yang paling terkenal adalah bilangan pi dan bilangan Neper, masing-masing dilambangkan dengan: π dan e.

Angka π

Angka π muncul secara alami dengan mengamati bahwa hasil bagi matematika antara keliling P sebuah lingkaran dan diameter D, terlepas dari apakah itu lingkaran kecil atau besar, selalu memberikan angka yang sama, disebut pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Artinya jika diameter keliling diambil sebagai satuan ukur, untuk semua keliling besar atau kecil kelilingnya akan selalu P = 3,14… = π, seperti terlihat pada animasi gambar 2.

Gambar 2. Panjang keliling lingkaran adalah pi kali panjang diameter, dengan pi kira-kira 3,1416.

Untuk menentukan lebih banyak desimal, perlu untuk mengukur P dan D dengan lebih teliti dan kemudian menghitung hasil bagi, yang telah dilakukan secara matematis. Kesimpulannya adalah desimal dari hasil bagi tidak memiliki akhir dan tidak pernah berulang, sehingga bilangan π selain transenden juga tidak rasional.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.

Diketahui bahwa setiap bilangan transenden adalah irasional, tetapi tidak benar bahwa semua bilangan irasional transenden. Misalnya √2 tidak rasional, tetapi tidak transenden.

Gambar 3. Bilangan transenden tidak rasional, tetapi kebalikannya tidak benar.

Angka e

Bilangan transenden e adalah basis dari logaritma natural dan pendekatan desimalnya adalah:

dan ≈ 2.718281828459045235360….

Jika Anda ingin menulis bilangan e dengan tepat, maka perlu untuk menulis desimal tak hingga, karena setiap bilangan transenden tidak rasional, seperti yang dikatakan sebelumnya.

Sepuluh digit pertama e mudah diingat:

2,7 1828 1828 dan meskipun tampaknya mengikuti pola berulang, ini tidak dicapai dalam desimal urutan lebih dari sembilan.

Definisi yang lebih formal dari e adalah sebagai berikut:

Artinya, nilai eksak dari e diperoleh dengan melakukan operasi yang ditunjukkan dalam rumus ini, ketika bilangan asli n cenderung tak terhingga.

Ini menjelaskan mengapa kita hanya dapat memperoleh perkiraan dari e, karena tidak peduli seberapa besar bilangan n ditempatkan, n yang lebih besar selalu dapat ditemukan.

Mari kita lihat beberapa perkiraan kita sendiri:

-Ketika n = 100 maka (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 yang hampir tidak sama di desimal pertama dengan nilai "benar" dari e.

-Jika Anda memilih n = 10.000, Anda memiliki (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, yang bertepatan dengan nilai "tepat" dari e di tiga tempat desimal pertama.

Proses ini harus diikuti tanpa batas untuk mendapatkan nilai "sebenarnya" dari e. Saya tidak berpikir kita punya waktu untuk melakukannya, tapi mari kita coba satu kali lagi:

Mari kita gunakan n = 100.000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2,7182682372

Itu hanya memiliki empat tempat desimal yang cocok dengan nilai yang dianggap tepat.

Hal yang penting untuk dipahami adalah bahwa semakin tinggi nilai n yang dipilih untuk menghitung e _n , semakin dekat nilainya dengan nilai sebenarnya. Tetapi nilai sebenarnya itu hanya akan ada jika n tidak terbatas.

Gambar 4. Terlihat secara grafis bagaimana semakin tinggi nilai n, semakin mendekati e, tetapi untuk sampai pada nilai eksak n harus tak berhingga.

Nomor penting lainnya

Selain angka-angka terkenal ini ada angka transenden lainnya, misalnya:

- 2 ^√2

-Jumlah Champernowne di basis 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Nomor Champernowne di base 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Bilangan Gamma γ atau konstanta Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664901532860606

Yang diperoleh dengan melakukan perhitungan berikut:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Karena saat n sangat sangat besar. Untuk mendapatkan nilai pasti dari bilangan Gamma, maka perlu dilakukan perhitungan dengan n tak terhingga. Sesuatu yang mirip dengan apa yang kami lakukan di atas.

Dan masih banyak lagi angka transenden. Matematikawan besar Georg Cantor, lahir di Rusia dan hidup antara tahun 1845 dan 1918, menunjukkan bahwa himpunan bilangan transenden jauh lebih besar daripada himpunan bilangan aljabar.

Rumus di mana bilangan transenden π muncul

Garis keliling keliling

P = π D = 2 π R, di mana P adalah keliling, D diameter, dan R jari-jari keliling. Harus diingat bahwa:

-Diameter keliling adalah ruas terpanjang yang menghubungkan dua titik yang sama dan yang selalu melewati pusatnya,

-Jari-jari adalah setengah diameter dan merupakan ruas dari pusat ke tepi.

Luas lingkaran

L = π R ² = ¼ π D ²

Permukaan bola

S = 4 π R ^2.

Ya, meskipun kelihatannya tidak seperti itu, permukaan sebuah bola sama dengan permukaan empat lingkaran dengan jari-jari yang sama dengan bola tersebut.

Volume bola

V = 4/3 π R ³

Latihan

- Latihan 1

Restoran pizza “EXÓTICA” menjual pizza dengan tiga ukuran: kecil 30 cm, sedang 37 cm, dan besar 45 cm. Seorang anak laki-laki sangat lapar dan dia menyadari bahwa dua pizza kecil harganya sama dengan satu pizza besar. Apa yang lebih baik baginya, membeli dua pizza kecil atau satu pizza besar?

Gambar 5.- Luas pizza sebanding dengan kuadrat jari-jari, pi adalah konstanta proporsionalitas. Sumber: Pixabay.

Larutan

Semakin besar areanya, semakin banyak jumlah pizza, oleh karena itu luas pizza yang besar akan dihitung dan dibandingkan dengan dua pizza kecil:

Luas pizza besar = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Luas pizza kecil = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Oleh karena itu dua pizza kecil akan memiliki luas

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Jelas: Anda akan mendapatkan lebih banyak pizza untuk membeli satu pizza besar daripada dua pizza kecil.

- Latihan 2

Restoran pizza “EXÓTICA” juga menjual pizza setengah lingkaran dengan radius 30 cm dengan harga yang sama dengan pizza persegi panjang berukuran 30 x 40 cm di setiap sisinya. Mana yang akan kamu pilih?

Gambar 6.- Permukaan belahan bumi dua kali lipat permukaan lingkaran alasnya. Sumber: F. Zapata.

Larutan

Seperti yang disebutkan di bagian sebelumnya, permukaan bola adalah empat kali lipat dari lingkaran dengan diameter yang sama, sehingga diameter belahan bumi 30 cm akan memiliki:

Pizza belahan 30 cm: 1413,72 cm ² (dua kali lingkaran dengan diameter yang sama)

Pizza persegi panjang: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Pizza belahan memiliki area yang lebih luas.

Referensi

1. Fernández J. Nomor e. Asal dan keingintahuan. Diperoleh dari: soymatematicas.com
2. Selamat menikmati matematika. Nomor Euler. Diperoleh dari: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Diversifikasi. Edisi CO-BO.
4. García, M. Angka e dalam kalkulus dasar. Diperoleh dari: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Nomor PI. Diperoleh dari: wikipedia.com
6. Wikipedia. Angka transenden. Diperoleh dari: wikipedia.com