PERSAMAAN POLINOMIAL (DENGAN LATIHAN DISELESAIKAN) - MATEMATIKA - 2025

The banyak persamaan adalah pernyataan yang menimbulkan kesamaan dua ekspresi atau anggota, di mana salah satu paling istilah yang membuat up setiap sisi kesetaraan adalah polinomial P (x). Persamaan-persamaan ini diberi nama sesuai dengan derajat variabelnya.

Secara umum, persamaan adalah pernyataan yang menetapkan persamaan dua ekspresi, di mana setidaknya salah satunya ada kuantitas yang tidak diketahui, yang disebut variabel atau tidak diketahui. Meskipun ada banyak jenis persamaan, secara umum persamaan diklasifikasikan menjadi dua jenis: aljabar dan transenden.

Persamaan polinomial hanya berisi ekspresi aljabar, yang dapat memiliki satu atau lebih hal yang tidak diketahui yang terlibat dalam persamaan tersebut. Berdasarkan eksponen (derajat) yang dimilikinya, mereka dapat diklasifikasikan menjadi: derajat pertama (linier), derajat kedua (kuadrat), derajat ketiga (kubik), derajat keempat (kuartik), derajat lebih besar dari atau sama dengan lima dan irasional.

karakteristik

Persamaan polinomial adalah ekspresi yang dibentuk oleh persamaan antara dua polinomial; yaitu, dengan jumlah terbatas perkalian antara nilai yang tidak diketahui (variabel) dan bilangan tetap (koefisien), di mana variabel dapat memiliki eksponen, dan nilainya dapat berupa bilangan bulat positif, termasuk nol.

Eksponen menentukan derajat atau jenis persamaan. Suku dalam ekspresi dengan eksponen tertinggi akan mewakili derajat absolut polinomial.

Persamaan polinomial juga dikenal sebagai persamaan aljabar, koefisiennya dapat berupa bilangan real atau kompleks dan variabelnya adalah bilangan yang tidak diketahui yang direpresentasikan dengan huruf, seperti: "x".

Jika mengganti nilai untuk variabel "x" dalam P (x) hasilnya sama dengan nol (0), maka nilai tersebut dikatakan memenuhi persamaan (ini adalah solusi), dan umumnya disebut akar polinomial.

Saat mengembangkan persamaan polinomial, Anda ingin mencari semua akar atau solusi.

Jenis

Ada beberapa jenis persamaan polinom, yang dibedakan menurut jumlah variabelnya, dan juga menurut derajat eksponennya.

Jadi, persamaan polinomial -dimana suku pertamanya adalah polinomial yang memiliki satu diketahui, mengingat derajatnya dapat berupa bilangan asli (n) dan suku kedua adalah nol-, dapat dinyatakan sebagai berikut:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Dimana:

- a _n, a _n-1 dan ₀ adalah koefisien riil (bilangan).

- a _n berbeda dari nol.

- Eksponen n adalah bilangan bulat positif yang mewakili derajat persamaan.

- x adalah variabel atau tidak diketahui untuk dicari.

Derajat absolut atau lebih besar dari persamaan polinomial adalah eksponen dengan nilai tertinggi di antara semua yang membentuk polinomial; dengan demikian, persamaan tersebut diklasifikasikan sebagai:

Kelas satu

Persamaan polinomial tingkat pertama, juga dikenal sebagai persamaan linier, adalah persamaan yang derajat (eksponen terbesarnya) sama dengan 1, polinomialnya berbentuk P (x) = 0; y terdiri dari suku linier dan suku independen. Itu tertulis sebagai berikut:

kapak + b = 0.

Dimana:

- a dan b adalah bilangan real dan a ≠ 0.

- ax adalah istilah linier.

- b adalah istilah independen.

Misalnya persamaan 13x - 18 = 4x.

Untuk menyelesaikan persamaan linier, semua suku yang mengandung x yang tidak diketahui harus dipindahkan ke satu sisi persamaan, dan yang tidak memiliki mereka pindah ke sisi lain, untuk menyelesaikannya dan mendapatkan solusi:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Jadi, persamaan yang diberikan hanya memiliki satu solusi atau akar, yaitu x = 2.

Kelas dua

Persamaan polinomial derajat dua, juga dikenal sebagai persamaan kuadrat, adalah persamaan yang derajat (eksponen terbesarnya) sama dengan 2, polinomialnya berbentuk P (x) = 0, dan terdiri dari suku kuadrat , satu linier dan satu independen. Itu diungkapkan sebagai berikut:

kapak ² + bx + c = 0.

Dimana:

- a, b dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0.

- ax ² adalah suku kuadrat, dan "a" adalah koefisien dari suku kuadrat.

- bx adalah suku linier, dan "b" adalah koefisien dari suku linier.

- c adalah istilah independen.

Pelarut

Umumnya, solusi untuk jenis persamaan ini diberikan dengan menghapus x dari persamaan tersebut, dan itu adalah sebagai berikut, yang disebut penyelesai:

Di sana, (b ² - 4ac) disebut diskriminan dari persamaan tersebut dan ekspresi ini menentukan jumlah solusi yang dapat dimiliki persamaan tersebut:

- Jika (b ² - 4ac) = 0, persamaan akan memiliki solusi tunggal yang ganda; artinya, ia akan memiliki dua solusi yang sama.

- Jika (b ² - 4ac)> 0, persamaan akan memiliki dua solusi nyata yang berbeda.

- Jika (b ² - 4ac) <0, persamaan tersebut tidak memiliki solusi (akan memiliki dua solusi kompleks yang berbeda).

Misalnya, kita memiliki persamaan 4x ² + 10x - 6 = 0, untuk menyelesaikannya, kenali dulu suku-suku a, b, dan c, lalu gantikan ke dalam rumus:

a = 4

b = 10

c = -6.

Ada kasus di mana persamaan polinom tingkat dua tidak memiliki ketiga suku, dan itulah mengapa persamaan tersebut diselesaikan secara berbeda:

- Dalam kasus persamaan kuadrat tidak memiliki suku linier (yaitu, b = 0), persamaan tersebut akan dinyatakan sebagai ax ² + c = 0. Untuk menyelesaikannya, selesaikan x ² dan gunakan akar kuadrat di setiap anggota , mengingat bahwa dua kemungkinan tanda yang mungkin tidak diketahui harus dipertimbangkan:

kapak ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Misalnya, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Jika persamaan kuadrat tidak memiliki suku independen (yaitu, c = 0), persamaan tersebut akan dinyatakan sebagai ax ² + bx = 0. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengambil faktor persekutuan dari x yang tidak diketahui di anggota pertama; Karena persamaannya sama dengan nol, memang benar bahwa setidaknya salah satu faktor akan sama dengan 0:

kapak ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Jadi, Anda harus:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Sebagai contoh: kita memiliki persamaan 5x ² + 30x = 0. Pertama kita memfaktorkan:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dua faktor yang dihasilkan adalah xy (5x + 30). Dianggap bahwa salah satu dari ini akan sama dengan nol dan yang lainnya diselesaikan:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Nilai Tertinggi

Persamaan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi adalah persamaan yang dimulai dari derajat ketiga dan seterusnya, yang dapat diekspresikan atau diselesaikan dengan persamaan polinomial umum untuk derajat apa pun:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Ini digunakan karena persamaan dengan derajat lebih besar dari dua adalah hasil pemfaktoran polinomial; yaitu, itu dinyatakan sebagai perkalian polinomial dengan derajat satu atau lebih, tetapi tanpa akar nyata.

Solusi dari jenis persamaan ini adalah langsung, karena perkalian dua faktor akan sama dengan nol jika salah satu faktornya adalah nol (0); oleh karena itu, setiap persamaan polinom yang ditemukan harus diselesaikan, dengan menetapkan masing-masing faktornya sama dengan nol.

Misalnya, kita memiliki persamaan derajat ketiga (kubik) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Untuk menyelesaikannya, ikuti langkah-langkah berikut:

- Istilah-istilah tersebut dikelompokkan:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Anggota diuraikan untuk mendapatkan faktor persekutuan yang tidak diketahui:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Dengan cara ini, diperoleh dua faktor, yang harus sama dengan nol:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Dapat dilihat bahwa faktor (x ² + 4) = 0 tidak akan mempunyai solusi nyata, sedangkan faktor (x + 1) = 0 memiliki solusi nyata. Jadi solusinya adalah:

(x + 1) = 0

x = -1.

Latihan terselesaikan

Pecahkan persamaan berikut:

Latihan pertama

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Larutan

Dalam hal ini persamaan tersebut dinyatakan sebagai perkalian polinomial; yaitu, difaktorkan. Untuk mengatasinya, setiap faktor harus diatur sama dengan nol:

- 2x ² + 5 = 0, tidak ada solusinya.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Jadi, persamaan yang diberikan memiliki dua solusi: x = 3 dan x = -1.

Latihan kedua

x ⁴ - 36 = 0.

Larutan

Polinomial diberikan, yang dapat ditulis ulang sebagai selisih kuadrat untuk mendapatkan penyelesaian yang lebih cepat. Jadi, persamaannya adalah:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Untuk mencari solusi persamaan, kedua faktor ditetapkan sama dengan nol:

(x ² + 6) = 0, tidak ada solusi.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Jadi, persamaan awal memiliki dua solusi:

x = √6.

x = - √6.

Referensi

1. Andres, T. (2010). Latihan Matematika Olimpiade. Peloncat. New York.
2. Angel, AR (2007). Aljabar Dasar. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Aljabar Linear dan Geometri Proyektif. Perusahaan Kurir.
4. Baldor, A. (1941). Aljabar. Havana: Budaya.
5. Castaño, HF (2005). Matematika sebelum perhitungan. Universitas Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Manual Matematika Persiapan Olimpiade. Universitas Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Aljabar I. Lebih Tinggi
8. Massara, NC-L. (sembilan belas sembilan puluh lima). Matematika 3.