TALI (GEOMETRI): PANJANG, TEOREMA DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

Sebuah chord , dalam pesawat geometri, adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada kurva. Garis yang berisi ruas ini disebut sebagai garis potong ke kurva. Ini sering berupa lingkaran, tetapi akord pasti bisa ditarik pada banyak kurva lain, seperti elips dan parabola.

Pada gambar 1 di sebelah kiri ada kurva, di mana titik A dan B. Akord antara A dan B adalah segmen hijau. Di sebelah kanan adalah keliling dan salah satu senarnya, karena dimungkinkan untuk menggambar ketidakterbatasan.

Gambar 1. Di sebelah kiri tali busur sembarang dan di sebelah kanan tali lingkaran. Sumber: Wikimedia Commons.

Di bagian lingkar, diameternya sangat menarik, yang juga dikenal sebagai kunci utama. Ini adalah tali yang selalu berisi pusat keliling dan berukuran dua kali radius.

Gambar berikut menunjukkan jari-jari, diameter, tali busur dan juga busur keliling. Mengidentifikasi masing-masing dengan benar penting saat memecahkan masalah.

Gambar 2. Elemen lingkar. Sumber: Wikimedia Commons.

Panjang kord sebuah lingkaran

Kita dapat menghitung panjang tali dalam lingkaran dari Gambar 3a dan 3b. Perhatikan bahwa segitiga selalu dibentuk dengan dua sisi yang sama (sama kaki): segmen OA dan OB, yang mengukur R, jari-jari keliling. Sisi ketiga dari segitiga adalah segmen AB, disebut C, yang merupakan panjang tali pusat.

Anda perlu menggambar garis tegak lurus terhadap tali C untuk membagi dua sudut θ yang ada di antara dua jari-jari dan yang puncaknya adalah pusat O dari lingkaran. Ini adalah sudut pusat - karena puncaknya adalah pusat - dan garis pembagi juga merupakan garis potong keliling.

Dua segitiga siku-siku segera terbentuk, sisi miringnya mengukur R.Karena garis bagi, dan dengan itu diameter, membagi tali menjadi dua bagian yang sama, ternyata salah satu kakinya adalah setengah dari C, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3b.

Dari definisi sinus suatu sudut:

sin (θ / 2) = kaki berlawanan / sisi miring = (C / 2) / R.

Jadi:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Gambar 3. Segitiga yang dibentuk oleh dua jari-jari dan pita keliling adalah sama kaki (gambar 3), karena memiliki dua sisi yang sama. Pembagi membaginya menjadi dua segitiga siku-siku (Gambar 3b). Sumber: disiapkan oleh F. Zapata.

Teorema string

Teorema string seperti ini:

Gambar berikut menunjukkan dua akor dengan lingkar yang sama: AB dan CD, yang berpotongan di titik P. Pada akor AB segmen AP dan PB ditentukan, sedangkan di akor CD CP dan PD ditentukan. Jadi, menurut teorema:

AP. PB = CP. P.S.

Gambar 4. Teorema akor lingkaran. Sumber: F. Zapata.

Latihan string yang diselesaikan

- Latihan 1

Sebuah lingkaran memiliki tali 48 cm, yaitu 7 cm dari tengah. Hitung luas lingkaran dan keliling keliling.

Larutan

Untuk menghitung luas lingkaran A, cukup mengetahui jari-jari keliling kuadrat, karena itu benar:

L = π.R ²

Nah, sosok yang terbentuk dengan data yang diberikan adalah segitiga siku-siku yang masing-masing kakinya berukuran 7 dan 24 cm.

Gambar 5. Geometri untuk latihan yang diselesaikan 1. Sumber: F. Zapata.

Oleh karena itu, untuk mencari nilai R ² , teorema Pythagoras c ² = a ² + b ² diterapkan secara langsung , karena R adalah sisi miring segitiga:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Jadi area yang diminta adalah:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Mengenai keliling atau panjang L keliling dihitung dengan:

L = 2π. R

Mengganti nilai:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Latihan 2

Tentukan panjang tali lingkaran yang persamaannya adalah:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinat titik tengah tali dikenal sebagai P (17/2; 7/2).

Larutan

Titik tengah akor P bukan termasuk lingkar, tetapi titik akhir akor termasuk. Masalahnya dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema string yang disebutkan sebelumnya, tetapi pertama-tama akan lebih mudah untuk menuliskan persamaan keliling dalam bentuk kanonik, untuk menentukan jari-jarinya R dan pusatnya O.

Langkah 1: Dapatkan persamaan kanonik keliling

Persamaan kanonik lingkaran dengan pusat (h, k) adalah:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Untuk mendapatkannya, Anda harus menyelesaikan kotak:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Perhatikan bahwa 6x = 2. (3x) dan 14y = 2. (7y), sehingga ekspresi sebelumnya ditulis ulang seperti ini, tetap tidak berubah:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Dan sekarang, mengingat definisi perkalian luar biasa (ab) ² = a ² - 2ab + b ² Anda dapat menulis:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Keliling memiliki pusat (3,7) dan jari-jari R = √169 = 13. Gambar berikut menunjukkan grafik keliling dan tali yang akan digunakan dalam teorema:

Gambar 6. Grafik keliling latihan yang diselesaikan 2. Sumber: F. Zapata menggunakan kalkulator grafik online Mathway.

Langkah 2: Tentukan segmen yang akan digunakan dalam teorema string

Segmen yang akan digunakan adalah string CD dan AB, sesuai gambar 6 keduanya dipotong pada titik P, oleh karena itu:

CP. PD = AP. PB

Sekarang kita akan mencari jarak antara titik O dan P, karena ini akan memberi kita panjang segmen OP. Jika kita menambahkan radius ke panjang ini, kita akan mendapatkan segmen CP.

Jarak d _OP antara dua titik koordinat (x ₁ , y ₁ ) dan (x ₂ , y ₂ ) adalah:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Dengan semua hasil yang diperoleh, ditambah grafik, kami membuat daftar segmen berikut (lihat gambar 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2. AP = panjang akor

Mengganti dalam teorema string:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Panjang senar adalah 2. AP = 2 (√253 / 2) = √506

Bisakah pembaca memecahkan masalah dengan cara lain?

Referensi

1. Baldor, A. 2004. Geometri Bidang dan Ruang dengan Trigonometri. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Panjang Chord. Diperoleh dari: ck12.org.
3. Escobar, J. Lingkar. Diperoleh dari: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Diperoleh dari: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Tali (Geometri). Diperoleh dari: es.wikipedia.org.