PENJUMLAHAN TELESKOPIK: BAGAIMANA PEMECAHANNYA DAN LATIHAN-LATIHAN DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The sum teleskopik adalah operasi cabang seri numerik. Ini berkaitan dengan penjumlahan elemen dari nilai awal hingga "n" dari ekspresi yang argumennya mematuhi salah satu pola berikut:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Seperti juga:

Sumber: Pixabay.com

Mereka mewakili penjumlahan elemen yang ketika dikembangkan, akan mengalami pembatalan istilah yang berlawanan. Memungkinkan untuk menentukan persamaan berikut untuk penjumlahan teleskopik:

Namanya berasal dari keterkaitan dengan tampilan teleskop klasik, yang dapat dilipat dan dibuka, terutama mengubah dimensinya. Dengan cara yang sama, penjumlahan teleskopik, yang sifatnya tak terbatas, dapat diringkas dalam ungkapan yang disederhanakan:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstrasi

Saat mengembangkan penjumlahan suku, faktor eliminasi cukup jelas. Dimana untuk setiap kasus, elemen yang berlawanan akan muncul pada iterasi berikutnya.

Kasus pertama, (F _x - F _{x + 1} ), akan diambil sebagai contoh , karena proses tersebut bekerja secara homolog untuk (F _{x + 1} –F _x ).

Mengembangkan 3 nilai pertama {1, 2, 3} tren penyederhanaan diamati

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Dimana saat mengungkapkan jumlah elemen yang dijelaskan:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Teramati bahwa istilah F ₂ dan F ₃ dijelaskan bersama dengan kebalikannya, yang membuat penyederhanaannya tak terhindarkan. Dengan cara yang sama, terlihat bahwa istilah F ₁ dan F ₄ dipertahankan.

Jika penjumlahan dibuat dari x = 1 menjadi x = 3, itu berarti elemen F ₄ sesuai dengan istilah umum F _{n + 1.}

Dengan demikian menunjukkan kesetaraan:

Bagaimana cara mengatasinya?

Tujuan dari penjumlahan teleskopik adalah untuk memudahkan pekerjaan, sehingga tidak perlu mengembangkan jumlah suku yang tak terbatas, atau untuk menyederhanakan beberapa rantai penjumlahan yang terlalu panjang.

Untuk resolusinya, hanya perlu mengevaluasi istilah F ₁ dan F _{n + 1} . Substitusi sederhana ini merupakan hasil akhir penjumlahan.

Totalitas suku tidak akan diungkapkan, yang diperlukan hanya untuk demonstrasi hasil, tetapi tidak untuk proses kalkulasi normal.

Yang terpenting adalah memperhatikan konvergensi deret bilangan tersebut. Terkadang argumen penjumlahan tidak akan diungkapkan secara teleskop. Dalam kasus ini, penerapan metode anjak piutang alternatif sangat umum dilakukan.

Metode faktorisasi karakteristik dalam penambahan teleskopik adalah pecahan sederhana. Ini terjadi ketika pecahan asli diuraikan menjadi sejumlah beberapa pecahan, di mana pola teleskopik (F _x - F _{x + 1} ) atau (F _{x + 1} - F _x ) dapat diamati .

Dekomposisi menjadi pecahan sederhana

Untuk memverifikasi konvergensi deret numerik, sangat umum untuk mengubah ekspresi rasional dengan metode pecahan sederhana. Tujuannya adalah untuk memodelkan plot menjadi bentuk penjumlahan teleskopik.

Misalnya, persamaan berikut merepresentasikan dekomposisi menjadi pecahan sederhana:

Saat mengembangkan deretan angka dan menerapkan properti terkait, ekspresi tersebut mengambil bentuk berikut:

Dimana bentuk teleskopik dihargai (F _x - F _{x + 1} ).

Prosedurnya cukup intuitif dan terdiri dari menemukan nilai pembilang yang, tanpa melanggar persamaan, memungkinkan kita untuk memisahkan hasil kali yang ditemukan di penyebut. Persamaan yang muncul dalam penentuan nilai-nilai tersebut, dimunculkan sesuai dengan perbandingan antara kedua sisi persamaan tersebut.

Prosedur ini diamati selangkah demi selangkah dalam pengembangan latihan 2.

Sejarah

Tidaklah pasti untuk dapat menentukan momen bersejarah di mana penjumlahan teleskopik disajikan. Namun, implementasinya mulai terlihat pada abad ketujuh belas, dalam studi deret numerik yang dilakukan oleh Leibniz dan Huygens.

Kedua ahli matematika, menjelajahi penjumlahan bilangan segitiga, mulai memperhatikan tren dalam konvergensi serangkaian elemen berurutan tertentu. Tetapi yang lebih menarik adalah permulaan pemodelan ekspresi ini, dalam elemen yang tidak harus mengikuti satu sama lain.

Faktanya, ungkapan yang digunakan sebelumnya untuk merujuk pada pecahan sederhana:

Itu diperkenalkan oleh Huygens dan segera menarik perhatian Leibniz. Yang dari waktu ke waktu dapat mengamati konvergensi ke nilai 2. Tanpa menyadarinya, ia menerapkan format penjumlahan teleskopik.

Latihan

Latihan 1

Tentukan ke istilah mana jumlah berikut ini berkumpul:

Saat mengembangkan penjumlahan secara manual, pola berikut diamati:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Di mana faktor dari 2 ⁴ hingga 2 ¹⁰ menghadirkan bagian positif dan negatif, membuat pembatalannya menjadi jelas. Maka satu-satunya faktor yang tidak akan disederhanakan adalah "2 ³ " pertama dan "2 ¹¹ " terakhir.

Dengan cara ini, saat menerapkan kriteria penjumlahan teleskopik, diperoleh hal-hal berikut:

Latihan 2

Ubah argumen menjadi penjumlahan tipe teleskopik dan tentukan konvergensi rangkaian:

Seperti yang ditunjukkan dalam pernyataan tersebut, hal pertama yang harus dilakukan adalah menguraikannya menjadi pecahan sederhana, untuk menyatakan kembali argumen dan mengungkapkannya dengan cara teleskopik.

Anda harus menemukan 2 pecahan yang penyebutnya masing-masing adalah "n" dan "n + 1", di mana metode yang digunakan di bawah ini harus mendapatkan nilai pembilang yang memenuhi persamaan.

Kami melanjutkan untuk menentukan nilai A dan B. Pertama, tambahkan pecahan.

Kemudian penyebutnya disederhanakan dan persamaan linier dibuat.

Pada langkah berikutnya, ekspresi di sebelah kanan dioperasikan, sampai diperoleh pola yang sebanding dengan "3" di kiri.

Untuk menentukan persamaan yang akan digunakan, hasil dari kedua sisi persamaan harus dibandingkan. Dengan kata lain, tidak ada nilai variabel n yang diamati di sisi kiri, dengan cara ini A + B harus sama dengan nol.

A + B = 0; A = -B

Di sisi lain, nilai konstanta A harus sama dengan nilai konstanta 3.

A = 3

Jadi.

A = 3 dan B = -3

Setelah nilai pembilang untuk pecahan sederhana telah ditentukan, penjumlahan disajikan kembali.

Dimana bentuk umum penjumlahan teleskopik telah tercapai. Seri teleskopik dikembangkan.

Dimana ketika membagi dengan angka yang sangat besar hasilnya akan semakin mendekati nol, mengamati konvergensi deret ke nilai 3.

Jenis rangkaian ini tidak dapat diselesaikan dengan cara lain, karena jumlah iterasi yang tidak terbatas yang menentukan masalah. Namun, metode ini, bersama dengan banyak metode lainnya, membingkai cabang studi deret numerik, yang tujuannya adalah untuk menentukan nilai konvergensi atau menentukan divergensi deret tersebut.

Referensi

1. Pelajaran kalkulus yang sangat kecil. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Kalkulus Integral: Urutan dan Rangkaian Fungsi. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 Oktober. 2014.
3. Kursus Kalkulus dan Analisis Nyata. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 Jun. 2006.
4. Seri tak terbatas. Benteng Tomlinson. The Clarendon Press, 1930.
5. Elemen Teori Proses Tak Terbatas. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.