PERMUTASI MELINGKAR: BUKTI, CONTOH, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - DUDAS - 2025

The permutasi melingkar berbagai jenis pengelompokan semua elemen dari suatu himpunan, ketika mereka harus harus diatur dalam lingkaran. Dalam jenis permutasi ini urutannya penting dan elemennya tidak diulang.

Misalnya, Anda ingin mengetahui jumlah deretan digit yang berbeda satu sampai empat, menempatkan setiap nomor di salah satu simpul belah ketupat. Ini akan menjadi 6 pengaturan secara total:

Tidak perlu bingung bahwa angka satu berada di posisi atas belah ketupat dalam semua kasus sebagai posisi tetap. Permutasi melingkar tidak diubah oleh rotasi array. Berikut ini adalah permutasi tunggal atau sama:

Demo dan rumus

Dalam contoh dari array melingkar 4-digit berbeda yang terletak di simpul belah ketupat, jumlah array (6) dapat ditemukan seperti ini:

1- Salah satu dari empat digit diambil sebagai titik awal pada salah satu simpul dan maju ke simpul berikutnya. (tidak masalah jika diputar searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam)

2- Ada 3 pilihan tersisa untuk memilih simpul kedua, lalu ada 2 pilihan untuk memilih simpul ketiga dan, tentu saja, hanya ada satu pilihan pilihan untuk simpul keempat.

3- Jadi, jumlah permutasi melingkar, dilambangkan dengan (4 - 1) P (4 - 1), diperoleh dari produk pilihan pemilihan di setiap posisi:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 larik melingkar 4 digit yang berbeda.

Secara umum, jumlah permutasi melingkar yang dapat dicapai dengan semua n elemen himpunan adalah:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Perhatikan bahwa (n - 1)! Ini dikenal sebagai n faktorial dan menyingkat hasil kali dari semua angka dari bilangan (n - 1) menjadi bilangan satu, inklusif.

Contoh

Contoh 1

Berapa banyak cara berbeda yang dimiliki 6 orang untuk duduk di meja bundar?

Anda ingin menemukan jumlah cara berbeda di mana 6 orang dapat duduk di sekitar meja bundar.

N ° cara duduk = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Jumlah cara duduk = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 cara berbeda

Contoh 2

Berapa banyak cara berbeda yang dimiliki 5 orang untuk menempatkan diri mereka di simpul segi lima?

Jumlah cara di mana 5 orang dapat ditemukan di setiap simpul segi lima dicari.

N ° cara untuk ditempatkan = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

N ° cara untuk ditemukan = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 cara berbeda

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Seorang penjual perhiasan memperoleh 12 batu berharga yang berbeda untuk ditempatkan di titik-titik jam yang dia persiapkan atas nama rumah kerajaan sebuah negara Eropa.

a) Berapa banyak cara yang dia miliki untuk menyusun batu pada jam?

b) Berapa banyak bentuk berbeda yang dimilikinya jika batu yang menuju ke arah jam 12 itu unik?

c) Berapa banyak bentuk yang berbeda jika batu pada pukul 12 itu unik dan batu pada tiga titik mata angin lainnya, pukul 3, 6 dan 9; Apakah ada tiga batu tertentu, yang bisa ditukar, dan sisa jam ditentukan dari batu lainnya?

Solusi

a) Jumlah cara untuk mengatur semua batu di lingkar jam diminta; yaitu, jumlah susunan melingkar yang melibatkan semua batu yang tersedia.

Jumlah susunan pada jam = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Jumlah perbaikan pada jam = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Jumlah susunan pada jam = 39976800 bentuk berbeda

b) Dia bertanya-tanya berapa banyak cara pemesanan yang berbeda, mengetahui bahwa batu pada pegangan jam 12 itu unik dan tetap; Artinya, jumlah susunan melingkar yang melibatkan 11 batu yang tersisa.

Jumlah susunan pada jam = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Jumlah perbaikan pada jam = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Jumlah susunan pada jam = 3.628.800 bentuk berbeda

c) Akhirnya, dicari jumlah cara untuk memesan semua batu kecuali untuk batu jam 12 yang sudah diperbaiki, batu 3, 6 dan 9 yang memiliki 3 batu untuk disambungkan satu sama lain; yaitu, 3! kemungkinan susunan, dan jumlah susunan melingkar yang melibatkan 8 batu yang tersisa.

Jumlah perbaikan dalam jam = 3! * = 3! * (8–1)!

Jumlah pengaturan di jam = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Jumlah susunan pada jam = 241920 bentuk berbeda

- Latihan 2

Komite pengarah sebuah perusahaan terdiri dari 8 anggota dan mereka bertemu di meja oval.

a) Berapa banyak bentuk pengaturan di sekitar meja yang dimiliki komite?

b) Misalkan ketua duduk sebagai ketua meja dalam pengaturan komite apa pun, berapa banyak bentuk pengaturan yang dimiliki oleh anggota komite lainnya?

c) Misalkan wakil presiden dan sekretaris duduk di kedua sisi presiden dalam setiap pengaturan komite Berapa banyak bentuk pengaturan yang dimiliki komite lainnya?

Solusi

a) Kami ingin menemukan sejumlah cara berbeda untuk mengatur 12 anggota komite di sekitar meja oval.

N ° pengaturan komite = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

N ° pengaturan komite = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° pengaturan komite = 39976800 bentuk yang berbeda

b) Karena ketua komite ditempatkan pada posisi tetap, jumlah cara untuk memesan 11 anggota komite yang tersisa di sekitar meja oval dicari.

N ° pengaturan komite = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

N ° pengaturan komite = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° pengaturan komite = 3.628.800 bentuk berbeda

c) Presiden ditempatkan pada posisi tetap dan di samping adalah wakil presiden dan sekretaris dengan dua kemungkinan pengaturan: wakil presiden di sebelah kanan dan sekretaris di sebelah kiri atau wakil presiden di sebelah kiri dan sekretaris di sebelah kanan. Kemudian Anda ingin menemukan jumlah cara berbeda untuk mengatur 9 anggota komite yang tersisa di sekitar meja oval dan mengalikan dengan 2 bentuk pengaturan yang dimiliki wakil presiden dan sekretaris.

N ° pengaturan komite = 2 * = 2 *

N ° pengaturan komite = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

N ° pengaturan komite = 80640 bentuk yang berbeda

Referensi

1. Boada, A. (2017). Penggunaan permutasi dengan pengulangan sebagai pengajaran eksperimen. Majalah Vivat Academia. Dipulihkan dari researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilitas dan statistik. Aplikasi dan metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Kaca, G.; Stanley, J. (1996). Metode statistik tidak diterapkan pada ilmu sosial. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistik. Edisi keempat. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ya, Ka. (2007). Probabilitas & Statistik untuk insinyur & ilmuwan. Edisi kedelapan. Balai Prentice Internasional Pendidikan Pearson.
6. Webster, A. (2000). Statistik diterapkan pada bisnis dan ekonomi. Edisi ketiga. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutasi. Dipulihkan dari en.wikipedia.org.