METODE EULER: UNTUK APA, PROSEDUR DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The Metode Euler adalah prosedur dasar dan sederhana yang paling digunakan untuk mencari solusi numerik perkiraan untuk persamaan diferensial biasa dari yang urutan pertama, asalkan kondisi awal diketahui.

Persamaan diferensial biasa (ODE) adalah persamaan yang menghubungkan fungsi variabel independen tunggal yang tidak diketahui dengan turunannya.

Pendekatan berturut-turut dengan metode Euler. Sumber: Oleg Alexandrov

Jika turunan terbesar yang muncul dalam persamaan berderajat satu, maka itu adalah persamaan diferensial biasa berderajat pertama.

Cara paling umum untuk menulis persamaan derajat pertama adalah:

x = x ₀

y = y ₀

Apa metode Euler?

Ide metode Euler adalah menemukan solusi numerik untuk persamaan diferensial dalam interval antara X ₀ dan X _f .

Pertama, interval didiskritkan dalam n + 1 poin:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Yang diperoleh seperti ini:
x _i = x ₀ + ih

Di mana h adalah lebar atau langkah dari subinterval:

Dengan kondisi awal, maka dimungkinkan juga untuk mengetahui turunannya di awal:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Turunan ini merepresentasikan kemiringan garis singgung kurva fungsi y (x) tepat di titik:

Ao = (x _o , y _o )

Kemudian perkiraan perkiraan nilai fungsi y (x) dibuat pada poin berikut:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Perkiraan titik solusi selanjutnya telah diperoleh, yang akan sesuai dengan:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Prosedur diulangi untuk mendapatkan poin yang berurutan

A ₂ , A ₃ …, x _n

Pada gambar yang diperlihatkan di awal, kurva biru menunjukkan solusi tepat dari persamaan diferensial, dan kurva merah menunjukkan perkiraan titik-titik berurutan yang diperoleh dengan prosedur Euler.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

I ) Biarkan persamaan diferensial menjadi:

Dengan kondisi awal x = a = 0; dan _a = 1

Dengan menggunakan metode Euler, dapatkan solusi perkiraan y pada koordinat X = b = 0,5, yang membagi interval menjadi n = 5 bagian.

Larutan

Hasil numerik dirangkum sebagai berikut:

Dari situ disimpulkan bahwa solusi Y untuk nilai 0,5 adalah 1,4851.

Catatan: Smath Studio, program gratis untuk penggunaan gratis, telah digunakan untuk melakukan penghitungan.

Latihan 2

II ) Melanjutkan persamaan diferensial dari latihan I), mencari solusi eksak dan membandingkannya dengan hasil yang diperoleh dengan metode Euler. Temukan kesalahan atau perbedaan antara hasil persis dan perkiraan.

Larutan

Solusi yang tepat tidak terlalu sulit ditemukan. Turunan dari fungsi sin (x) dikenal sebagai fungsi cos (x). Oleh karena itu solusi y (x) akan menjadi:

y (x) = sin x + C

Agar kondisi awal terpenuhi dan (0) = 1, konstanta C harus sama dengan 1. Hasil eksak kemudian dibandingkan dengan perkiraan:

Disimpulkan bahwa dalam interval yang dihitung, aproksimasi memiliki tiga angka presisi yang signifikan.

Latihan 3

III ) Pertimbangkan persamaan diferensial dan kondisi awalnya yang diberikan di bawah ini:

y '(x) = - y ²

Dengan kondisi awal x ₀ = 0; dan ₀ = 1

Gunakan metode Euler untuk mencari nilai perkiraan dari solusi y (x) pada interval x =. Gunakan langkah h = 0.1.

Larutan

Metode Euler sangat cocok untuk digunakan dengan spreadsheet. Dalam hal ini kita akan menggunakan spreadsheet geogebra, program gratis dan bersumber terbuka.

Spreadsheet pada gambar menunjukkan tiga kolom (A, B, C), yang pertama adalah variabel x, kolom kedua mewakili variabel y, dan kolom ketiga adalah turunan y '.

Baris 2 berisi nilai awal X, Y, Y '.

Nilai langkah 0.1 telah ditempatkan di sel posisi absolut ($ D $ 4).

Nilai awal y0 ada di sel B2, dan y1 ada di sel B3. Untuk menghitung y ₁ digunakan rumus:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Rumus spreadsheet ini adalah Nomor B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Demikian pula y2 akan berada di sel B4 dan rumusnya ditunjukkan pada gambar berikut:

Gambar tersebut juga menunjukkan grafik solusi eksak, dan titik A, B,…, P dari solusi perkiraan dengan metode Euler.

Dinamika Newtonian dan metode Euler

Dinamika klasik dikembangkan oleh Isaac Newton (1643 - 1727). Motivasi asli Leonard Euler (1707 - 1783) untuk mengembangkan metodenya, justru untuk memecahkan persamaan hukum kedua Newton dalam berbagai situasi fisik.

Hukum kedua Newton biasanya dinyatakan sebagai persamaan diferensial derajat kedua:

Dimana x mewakili posisi suatu benda pada waktu t. Benda tersebut bermassa m dan dikenakan gaya F. Fungsi f berhubungan dengan gaya dan massa sebagai berikut:

Untuk menerapkan metode Euler dibutuhkan nilai awal waktu t, kecepatan v dan posisi x.

Tabel berikut menjelaskan bagaimana mulai dari nilai awal t1, v1, x1 suatu perkiraan kecepatan v2 dan posisi x2 dapat diperoleh, pada saat itu t2 = t1 + Δt, di mana Δt merupakan peningkatan kecil dan sesuai dengan langkah dalam metode Euler.

Latihan 4

IV ) Salah satu masalah mendasar dalam mekanika adalah masalah balok bermassa M yang diikat ke pegas (atau pegas) konstanta elastis K.

Hukum kedua Newton untuk masalah ini akan terlihat seperti ini:

Dalam contoh ini, untuk mempermudah kita akan mengambil M = 1 dan K = 1. Temukan solusi perkiraan untuk posisi x dan kecepatan v dengan metode Euler pada interval waktu dengan membagi interval menjadi 12 bagian.

Ambil 0 sebagai saat awal, kecepatan awal 0, dan posisi awal 1.

Larutan

Hasil numerik ditunjukkan pada tabel berikut:

Grafik posisi dan kecepatan antara waktu 0 dan 1,44 juga ditampilkan.

Usulan latihan untuk rumah

Latihan 1

Gunakan spreadsheet untuk menentukan solusi perkiraan menggunakan metode Euler untuk persamaan diferensial:

y '= - Exp (-y) dengan kondisi awal x = 0, y = -1 pada interval x =

Mulailah dengan 0,1 langkah. Plot hasilnya.

Latihan 2

Dengan menggunakan spreadsheet, temukan solusi numerik untuk persamaan kuadrat berikut, di mana y adalah fungsi dari variabel independen t.

y '' = - 1 / y² dengan kondisi awal t = 0; dan (0) = 0,5; y '(0) = 0

Temukan solusi dalam interval menggunakan langkah 0,05.

Plot hasilnya: y vs t; y 'vs t

Referensi

1. Metode Eurler Diambil dari wikipedia.org
2. Pemecah Euler. Diambil dari en.smath.com