DASAR ORTONORMAL: SIFAT, CONTOH DAN LATIHAN - FISIK - 2025

Basis ortonormal dibentuk dengan vektor tegak lurus satu sama lain dan yang modulusnya juga 1 (vektor satuan). Mari kita ingat bahwa basis B dalam ruang vektor V didefinisikan sebagai himpunan vektor bebas linier yang mampu menghasilkan ruang tersebut.

Pada gilirannya, ruang vektor adalah entitas matematika abstrak yang unsur-unsurnya adalah vektor, umumnya terkait dengan besaran fisik seperti kecepatan, gaya dan perpindahan atau juga dengan matriks, polinomial dan fungsi.

Gambar 1. Basis ortonormal di pesawat. Sumber: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektor memiliki tiga elemen yang berbeda: besaran atau modulus, arah, dan indra. Basis ortonormal sangat berguna untuk merepresentasikan dan mengoperasikannya, karena setiap vektor yang termasuk dalam ruang vektor tertentu V dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari vektor yang membentuk basis ortonormal.

Dengan cara ini, operasi antar vektor, seperti penjumlahan, pengurangan dan berbagai jenis produk yang ditentukan dalam ruang tersebut, dieksekusi secara analitis.

Di antara basis yang paling banyak digunakan dalam fisika adalah basis yang dibentuk oleh vektor satuan i , j , dan k yang mewakili tiga arah berbeda dari ruang tiga dimensi: tinggi, lebar, dan kedalaman. Vektor ini juga dikenal sebagai vektor kanonik satuan.

Sebaliknya, jika vektor dikerjakan dalam bidang, dua dari tiga komponen ini sudah cukup, sedangkan untuk vektor satu dimensi hanya satu yang diperlukan.

Properti pangkalan

1- A basis B adalah himpunan vektor terkecil yang menghasilkan ruang vektor V.

2- Unsur-unsur B tidak bergantung secara linier.

3- Setiap basis B dari ruang vektor V, memungkinkan untuk mengekspresikan semua vektor V sebagai kombinasi liniernya dan bentuk ini unik untuk setiap vektor. Untuk alasan ini, B juga dikenal sebagai sistem pembangkit.

4- Ruang vektor yang sama V dapat memiliki basis yang berbeda.

Contoh basa

Berikut beberapa contoh basa dan basa ortonormal secara umum:

Dasar kanonik di ℜ

Disebut juga alas alam atau alas baku ℜ ⁿ , di mana ℜ ⁿ adalah ruang berdimensi n, misalnya ruang tiga dimensi adalah ℜ ³ . Nilai n disebut dimensi ruang vektor dan dilambangkan sebagai dim (V).

Semua vektor milik ℜ ⁿ diwakili oleh n-ads yang berurutan. Untuk spasi ℜ ⁿ , dasar kanonisnya adalah:

e ₁ = <1,0,. . . , 0>; e ₂ = <0,1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0,. . . , 1>

Dalam contoh ini kita telah menggunakan notasi dengan tanda kurung atau "tanda kurung" dan tebal untuk vektor satuan e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Dasar kanonik di ℜ

Vektor familiar i , j dan k menerima representasi yang sama ini dan ketiganya cukup untuk merepresentasikan vektor pada ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Artinya alasnya bisa diekspresikan seperti ini:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Untuk memverifikasi bahwa mereka bebas linier, determinan yang dibentuk dengannya adalah bukan nol dan juga sama dengan 1:

Juga harus mungkin untuk menulis vektor apapun yang termasuk dalam ℜ ³ sebagai kombinasi linier dari mereka. Misalnya, gaya yang komponen persegi panjangnya F _x = 4 N, F _y = -7 N dan F _z = 0 N akan ditulis dalam bentuk vektor seperti ini:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Oleh karena itu i , j , dan k membentuk sistem generator ℜ ³ .

Basis ortonormal lainnya di ℜ

Basis standar yang dijelaskan di bagian sebelumnya bukan satu-satunya basis ortonormal di ℜ ³ . Di sini kita memiliki misalnya pangkalan:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Dapat ditunjukkan bahwa basa-basa ini adalah ortonormal, untuk ini kita mengingat syarat-syarat yang harus dipenuhi:

-Vektor yang membentuk basis harus ortogonal satu sama lain.

-Setiap dari mereka harus bersatu.

Kita dapat memverifikasi ini dengan mengetahui bahwa determinan yang dibentuk oleh mereka harus bukan nol dan sama dengan 1.

Basis B ₁ persis dengan koordinat silinder ρ, φ dan z, cara lain untuk menyatakan vektor dalam ruang.

Gambar 2. Koordinat silinder. Sumber: Wikimedia Commons. Penggemar matematika.

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan bahwa basis B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} adalah orthonormal.

Larutan

Untuk menunjukkan bahwa vektor saling tegak lurus, kita akan menggunakan hasil kali skalar, juga disebut hasil kali internal atau titik dari dua vektor.

Misalkan dua vektor u dan v , perkalian titiknya ditentukan oleh:

u • v = uv cosθ

Untuk membedakan vektor dari modulnya, kita akan menggunakan huruf tebal untuk huruf pertama dan huruf normal untuk huruf kedua. θ adalah sudut antara u dan v, oleh karena itu jika tegak lurus berarti θ = 90º dan hasil kali skalar adalah nol.

Alternatifnya, jika vektor diberikan dalam komponennya: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, produk skalar dari keduanya, yang bersifat komutatif, dihitung dengan cara ini:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Dengan cara ini, produk skalar antara setiap pasangan vektor adalah:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

Untuk kondisi kedua, dihitung modul dari masing-masing vektor yang diperoleh dengan cara:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Dengan demikian, modul dari setiap vektor adalah:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Oleh karena itu ketiganya adalah vektor satuan. Akhirnya, determinan yang mereka bentuk adalah bukan nol dan sama dengan 1:

- Latihan 2

Tuliskan koordinat vektor w = <2, 3,1> dalam basis di atas.

Larutan

Untuk melakukan ini, teorema berikut digunakan:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Ini berarti bahwa kita dapat menulis vektor dalam basis B, menggunakan koefisien < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, yang harus dihitung produk skalar yang ditunjukkan:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Dengan produk skalar yang diperoleh, sebuah matriks dibangun, yang disebut matriks koordinat w.

Oleh karena itu, koordinat vektor w di basis B dinyatakan dengan:

_B =

Matriks koordinat bukanlah vektor, karena vektor tidak sama dengan koordinatnya. Ini hanya sekumpulan angka yang berfungsi untuk mengekspresikan vektor dalam basis tertentu, bukan vektornya. Mereka juga bergantung pada basis yang dipilih.

Akhirnya, mengikuti teorema, vektor w akan diekspresikan sebagai berikut :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Dengan: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, yaitu vektor dari alas B.

Referensi

1. Larson, R. Yayasan Aljabar Linear. 6. Edisi. Pembelajaran Cengage.
2. Larson, R. 2006. Kalkulus. 7. Edisi. Jilid 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Aljabar Linear. Unit 10. Basis ortonormal. Diperoleh dari: ocw.uc3m.es.
4. Universitas Sevilla. Koordinat silinder. Basis vektor. Diperoleh dari: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Basis ortonormal. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.