VEKTOR NON-COPLANAR: DEFINISI, KONDISI, LATIHAN - FISIK - 2025

The non - vektor coplanar adalah mereka yang tidak berbagi bidang yang sama. Dua vektor bebas dan satu titik menentukan bidang tunggal. Vektor ketiga mungkin atau mungkin tidak berbagi bidang itu, dan jika tidak, mereka adalah vektor non-koplanar.

Vektor non-koplanar tidak dapat direpresentasikan dalam ruang dua dimensi seperti papan tulis atau selembar kertas, karena beberapa diantaranya terdapat pada dimensi ketiga. Untuk merepresentasikannya dengan benar, Anda harus menggunakan perspektif.

Gambar 1. Vektor koplanar dan non-koplanar. (Elaborasi sendiri)

Jika kita melihat gambar 1, semua objek yang ditampilkan berada tepat di bidang layar, namun berkat perspektif, otak kita dapat membayangkan sebuah bidang (P) yang keluar darinya.

Pada bidang tersebut (P) adalah vektor r , s , u , sedangkan vektor v dan w bukan pada bidang tersebut.

Oleh karena itu vektor r , s , u adalah koplanar atau koplanar satu sama lain karena mereka berbagi bidang yang sama (P). Vektor v dan w tidak berbagi bidang dengan salah satu vektor lain yang ditunjukkan, oleh karena itu mereka non-koplanar.

Vektor Koplanar dan Persamaan Bidang

Sebuah bidang didefinisikan secara unik jika ada tiga titik dalam ruang tiga dimensi.

Misalkan ketiga titik tersebut adalah titik A, titik B dan titik C yang mendefinisikan bidang (P). Dengan titik-titik ini dimungkinkan untuk membangun dua vektor AB = u dan AC = v yaitu dengan konstruksi coplanar dengan bidang (P).

Perkalian silang (atau perkalian silang) dari kedua vektor ini menghasilkan vektor ketiga tegak lurus (atau normal) terhadap keduanya dan karenanya tegak lurus terhadap bidang (P):

n = u X v => n ⊥ u dan n ⊥ v => n ⊥ (P)

Titik lain yang termasuk dalam bidang (P) harus memenuhi bahwa vektor AQ tegak lurus dengan vektor n ; Ini sama dengan mengatakan bahwa perkalian titik (atau perkalian titik) dari n dengan AQ harus nol:

n • AQ = 0 (*)

Kondisi sebelumnya setara dengan mengatakan bahwa:

AQ • ( u X v ) = 0

Persamaan ini memastikan bahwa titik Q milik bidang (P).

Persamaan Cartesian dari pesawat

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk Cartesian. Untuk melakukan ini, kami menulis koordinat titik A, Q dan komponen vektor normal n :

Jadi komponen AQ adalah:

Kondisi vektor AQ yang akan berada pada bidang (P) adalah kondisi (*) yang sekarang ditulis seperti ini:

Menghitung hasil perkalian titik tetap:

Jika dikembangkan dan diatur ulang, tetap:

Persamaan sebelumnya adalah persamaan Cartesian dari sebuah bidang (P), sebagai fungsi dari komponen-komponen vektor normal ke (P) dan koordinat titik A milik (P).

Kondisi untuk tiga vektor menjadi non-koplanar

Seperti yang terlihat pada bagian sebelumnya, kondisi AQ • ( u X v ) = 0 menjamin bahwa vektor AQ adalah coplanar ke u dan v .

Jika kita memanggil vektor AQ w maka kita dapat menegaskan bahwa:

w , u dan v adalah koplanar, jika dan hanya jika w • ( u X v ) = 0.

Kondisi non-coplanarity

Jika hasil kali tiga (atau hasil kali campuran) dari tiga vektor berbeda dari nol maka ketiga vektor tersebut adalah non-koplanar.

Jika w • ( u X v ) ≠ 0 maka vektor u, v, dan w adalah non-koplanar.

Jika komponen Cartesian dari vektor u, v, dan w dimasukkan, kondisi non-koplanaritas dapat ditulis seperti ini:

Produk rangkap tiga memiliki interpretasi geometris dan mewakili volume parallelepiped yang dihasilkan oleh tiga vektor non-koplanar.

Gambar 2. Tiga vektor non-koplanar mendefinisikan parallelepiped yang volumenya merupakan modul dari perkalian tiga. (Elaborasi sendiri)

Alasannya adalah sebagai berikut; Ketika dua vektor non-koplanar dikalikan secara vektor, sebuah vektor diperoleh yang besarnya adalah luas jajaran genjang yang mereka hasilkan.

Kemudian ketika vektor ini dikalikan secara skalar dengan vektor non-koplanar ketiga, yang kita miliki adalah proyeksi ke vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang ditentukan oleh dua pertama dikalikan dengan luas yang ditentukan.

Dengan kata lain, kita memiliki luas jajaran genjang yang dihasilkan oleh dua yang pertama dikalikan dengan tinggi vektor ketiga.

Kondisi alternatif non-koplanaritas

Jika Anda memiliki tiga vektor dan salah satunya tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari dua vektor lainnya, maka ketiga vektor tersebut adalah non-koplanar. Artinya, tiga vektor u , v dan w adalah non-coplanar jika kondisi:

α u + β v + γ w = 0

Itu hanya terpenuhi jika α = 0, β = 0 dan γ = 0.

Latihan terselesaikan

-Latihan 1

Ada tiga vektor

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) dan w = (-1, 2, z)

Perhatikan bahwa komponen z dari vektor w tidak diketahui.

Tentukan rentang nilai yang dapat diambil z sedemikian sehingga ketiga vektor dijamin tidak berbagi bidang yang sama.

Larutan

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Kami mengatur ekspresi ini sama dengan nilai nol

21 z + 18 = 0

dan kami pecahkan untuk z

z = -18 / 21 = -6/7

Jika variabel z mengambil nilai -6/7 maka ketiga vektor tersebut adalah koplanar.

Jadi nilai z yang menjamin bahwa vektor-vektor tersebut non-coplanar adalah pada interval berikut:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Latihan 2

Temukan volume dari parallelepiped yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Larutan

Untuk mencari volume dari parallelepiped yang ditunjukkan pada gambar, akan ditentukan komponen Cartesian dari tiga vektor non-koplanar bersamaan pada asal sistem koordinat. Yang pertama adalah vektor u 4m dan sejajar dengan sumbu X:

u = (4, 0, 0) m

Yang kedua adalah vektor v pada bidang XY ukuran 3m yang membentuk 60º dengan sumbu X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

Dan ketiga adalah vektor w sebesar 5m yang proyeksi pada bidang XY membentuk 60º dengan sumbu X, selain itu w membentuk 30º dengan sumbu Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Setelah perhitungan dilakukan, kita memiliki: w = (1.25, 2.17, 2.5) m.

Referensi

1. Figueroa, D. Seri: Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Kinematika. 31-68.
2. Fisik. Modul 8: Vektor. Diperoleh dari: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanika untuk Insinyur. Statis Edisi ke-6. Perusahaan Penerbitan Continental 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mekanika untuk Insinyur: Statika dan Dinamika. Edisi ke-3. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Diperoleh dari: es.wikipedia.org