VEKTOR DALAM RUANG: CARA MEMBUAT GRAFIK, APLIKASI, LATIHAN - FISIK - 2025

Sebuah vektor dalam ruang adalah semua yang diwakili oleh sistem koordinat yang diberikan oleh x, y, dan z. Sebagian besar waktu bidang xy adalah bidang permukaan horizontal dan sumbu z mewakili ketinggian (atau kedalaman).

Sumbu koordinat Kartesius yang ditunjukkan pada gambar 1 membagi ruang menjadi 8 daerah yang disebut oktan, analog dengan bagaimana sumbu x - y membagi bidang menjadi 4 kuadran. Kami kemudian akan memiliki oktan pertama, oktan ke-2 dan seterusnya.

Gambar 1. Vektor di luar angkasa. Sumber: buatan sendiri.

Gambar 1 berisi representasi vektor v dalam ruang. Beberapa perspektif diperlukan untuk menciptakan ilusi tiga dimensi pada bidang layar, yang dicapai dengan menggambar tampilan miring.

Untuk membuat grafik vektor 3D, seseorang harus menggunakan garis putus-putus yang menentukan pada grid koordinat proyeksi atau "bayangan" v pada permukaan xy. Proyeksi ini dimulai pada O dan berakhir pada titik hijau.

Sesampai di sana, Anda harus melanjutkan sepanjang vertikal ke ketinggian (atau kedalaman) yang diperlukan sesuai dengan nilai z, sampai Anda mencapai P. Vektor digambar mulai dari O dan berakhir di P, yang dalam contoh berada di oktan ke-1.

Aplikasi

Vektor di ruang angkasa banyak digunakan dalam mekanika dan cabang fisika dan teknik lainnya, karena struktur yang mengelilingi kita memerlukan geometri dalam tiga dimensi.

Vektor posisi dalam ruang digunakan untuk memposisikan objek sehubungan dengan titik referensi yang disebut asal OR. Oleh karena itu, mereka juga merupakan alat yang diperlukan dalam navigasi, tetapi itu belum semuanya.

Gaya yang bekerja pada struktur seperti baut, braket, kabel, penyangga, dan lainnya bersifat vektor dan berorientasi pada ruang. Untuk mengetahui efeknya perlu diketahui alamatnya (dan juga titik aplikasinya).

Dan seringkali arah suatu gaya diketahui dengan mengetahui dua titik dalam ruang yang merupakan bagian dari garis aksinya. Dengan cara ini gaya tersebut adalah:

F = F u

Dimana F adalah besarnya atau besarnya gaya dan u adalah vektor satuan (modul 1) diarahkan sepanjang garis aksi F .

Notasi dan Representasi Vektor 3D

Sebelum kita melanjutkan untuk memecahkan beberapa contoh, kita akan meninjau notasi vektor 3D secara singkat.

Pada contoh di Gambar 1, vektor v, yang titik asalnya bertepatan dengan titik asal O dan ujungnya adalah titik P, memiliki koordinat xyz positif, sedangkan koordinat y negatif. Koordinat ini adalah: x ₁ , y ₁ , z ₁ , yang merupakan koordinat P.

Jadi jika kita memiliki vektor yang ditautkan ke titik asal, yaitu, yang titik awalnya bertepatan dengan O, sangat mudah untuk menunjukkan koordinatnya, yang akan menjadi titik ekstrem atau P.Untuk membedakan antara titik dan vektor, kita akan menggunakan to huruf tebal dan tanda kurung terakhir, seperti ini:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Sedangkan titik P dilambangkan dengan tanda kurung:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Representasi lain menggunakan vektor satuan i , j dan k yang masing-masing mendefinisikan tiga arah ruang pada sumbu x, y dan z.

Vektor-vektor ini tegak lurus satu sama lain dan membentuk dasar ortonormal (lihat gambar 2). Ini berarti bahwa vektor 3D dapat ditulis sebagai berikut:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Sudut dan Direktur Cosines of a Vector

Gambar 2 juga menunjukkan sudut pengarah γ ₁ , γ ₂ dan γ ₃ yang dibuat oleh vektor v dengan sumbu x, y dan z. Mengetahui sudut-sudut ini dan besarnya vektor, itu sepenuhnya ditentukan. Selain itu, cosinus sudut pengarah memenuhi hubungan berikut:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Gambar 2. Vektor satuan i, j dan k menentukan 3 arah preferensial ruang. Sumber: buatan sendiri.

Latihan terselesaikan

-Latihan 1

Pada gambar 2 sudut γ ₁ , γ ₂ dan γ ₃ yang dibentuk oleh vektor v modulus 50 dengan sumbu koordinat masing-masing: 75.0º, 60.0º dan 34.3º. Carilah komponen Kartesius dari vektor ini dan wakili dalam suku-suku vektor satuan i , j, dan k .

Larutan

Proyeksi vektor v pada sumbu _x adalah v _x = 50. cos 75º = 12.941. Demikian pula proyeksi v pada sumbu y adalah v _y = 50 cos 60 º = 25 dan terakhir pada sumbu z adalah v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. Sekarang v dapat diekspresikan sebagai:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Latihan 2

Tentukan tegangan di masing-masing kabel yang menahan bucket pada gambar yang berada dalam kesetimbangan, jika beratnya adalah 30 N.

Gambar 3. Diagram stres untuk latihan 2.

Larutan

Pada bucket, diagram benda-bebas menunjukkan bahwa T _D (hijau) mengimbangi bobot W (kuning), oleh karena itu T _D = W = 30 N.

Pada node, vektor T _D diarahkan secara vertikal ke bawah, kemudian:

T _D = 30 (- k ) N.

Untuk menetapkan tegangan yang tersisa, ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Temukan Koordinat Semua Titik

A = (4.5,0,3) (A ada di bidang dinding xz)

B = (1.5,0,0) (B berada pada sumbu x)

C = (0, 2.5, 3) (C ada di bidang dinding dan z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D berada pada bidang xy horizontal)

Langkah 2: Temukan vektor di setiap arah dengan mengurangkan koordinat akhir dan awal

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; satu; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Langkah 3: Hitung modul dan vektor satuan

Vektor satuan diperoleh dengan ekspresi: u = r / r, dengan r (dicetak tebal) sebagai vektor dan r (tidak dicetak tebal) sebagai modul vektor tersebut.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; satu; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -satu; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Langkah 4: Ekspresikan semua tegangan sebagai vektor

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -satu; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Langkah 5: Terapkan kondisi kesetimbangan statis dan selesaikan sistem persamaan

Akhirnya, kondisi kesetimbangan statis diterapkan pada bucket, sehingga jumlah vektor semua gaya pada node adalah nol:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Karena tegangan berada dalam ruang, maka akan menghasilkan sistem tiga persamaan untuk setiap komponen tegangan (x, y, dan z).

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Solusinya adalah: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Referensi

1. Bedford, 2000. A. Teknik Mekanika: Statika. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Seri: Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Kinematika 31-68.
3. Fisik. Modul 8: Vektor. Diperoleh dari: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mekanika untuk Insinyur. Statis Edisi ke-6. Perusahaan Penerbitan Continental. 15-53.
5. Kalkulator Penambahan Vektor. Diperoleh dari: 1728.org