VEKTOR DIREKTUR: PERSAMAAN GARIS, LATIHAN DISELESAIKAN - FISIK - 2025

Vektor pengarah dipahami sebagai vektor yang menentukan arah garis, baik di bidang maupun di luar angkasa. Oleh karena itu, vektor yang sejajar dengan garis dapat dianggap sebagai vektor pengarahnya.

Hal ini dimungkinkan berkat aksioma geometri Euclidean yang menyatakan bahwa dua titik mendefinisikan sebuah garis. Kemudian segmen berorientasi yang dibentuk oleh dua titik ini juga mendefinisikan vektor pengarah dari garis tersebut.

Gambar 1. Vektor direktur dari sebuah garis. (Elaborasi sendiri)

Diberikan titik P milik garis (L) dan diberi vektor pengarah u dari garis tersebut, garis tersebut sepenuhnya ditentukan.

Persamaan vektor garis dan sutradara

Gambar 2. Persamaan vektor garis dan sutradara. (Elaborasi sendiri)

Diketahui titik P dari koordinat P: (Xo, I) dan pengarah vektor u dari sebuah garis (L), setiap titik Q dari koordinat Q: (X, Y) harus memenuhi bahwa vektor PQ sejajar dengan u. Kondisi terakhir ini dijamin jika PQ sebanding dengan u :

PQ = t⋅ u

dalam ekspresi di atas t adalah parameter yang termasuk dalam bilangan real.

Jika komponen Kartesius dari PQ dan u ditulis, persamaan di atas dituliskan sebagai berikut:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Jika komponen persamaan vektor disamakan, diperoleh pasangan persamaan berikut:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Persamaan parametrik garis

Koordinat X dan Y dari titik yang termasuk dalam garis (L) yang melewati titik koordinat (Xo, Yo) dan sejajar dengan vektor direktur u = (a, b) ditentukan dengan memberikan nilai nyata ke parameter variabel t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Contoh 1

Untuk mengilustrasikan arti persamaan parametrik garis, kita ambil sebagai vektor pengarah

u = (a, b) = (2, -1)

dan sebagai titik titik yang diketahui

P = (Xo, I) = (1, 5).

Persamaan parametrik garis tersebut adalah:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Untuk mengilustrasikan makna persamaan ini, ditunjukkan gambar 3, di mana parameter t berubah nilainya dan titik Q dari koordinat (X, Y) mengambil posisi yang berbeda pada garis.

Gambar 3. PQ = t u. (Elaborasi sendiri)

Garis dalam bentuk vektor

Diketahui titik P pada garis dan pengarahnya vektor u, persamaan garis tersebut dapat ditulis dalam bentuk vektor:

OQ = OP + λ⋅ u

Dalam persamaan di atas, Q adalah sembarang titik tetapi tergolong dalam garis dan λ adalah bilangan real.

Persamaan vektor garis dapat diterapkan ke sejumlah dimensi, bahkan hyper-line pun dapat ditentukan.

Dalam kasus tiga dimensi untuk vektor pengarah u = (a, b, c) dan titik P = (Xo, Yo, Zo), koordinat titik umum Q = (X, Y, Z) milik garis adalah :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Contoh 2

Perhatikan kembali garis yang memiliki vektor pengarah

u = (a, b) = (2, -1)

dan sebagai titik titik yang diketahui

P = (Xo, I) = (1, 5).

Persamaan vektor garis tersebut adalah:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Bentuk kontinyu dari garis dan vektor sutradara

Mulai dari bentuk parametrik, kliring dan persamaan parameter λ, kita punya:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Ini adalah bentuk persamaan garis yang simetris. Perhatikan bahwa a, b, dan c adalah komponen dari vektor direktur.

Contoh 3

Pertimbangkan garis yang memiliki vektor pengarah

u = (a, b) = (2, -1)

dan sebagai titik titik yang diketahui

P = (Xo, I) = (1, 5). Temukan bentuk simetrisnya.

Bentuk garis simetris atau kontinu adalah:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Bentuk umum persamaan garis

Bentuk umum garis pada bidang XY dikenal dengan persamaan yang memiliki struktur sebagai berikut:

A⋅X + B⋅Y = C

Ekspresi bentuk simetris dapat ditulis ulang menjadi bentuk umum:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

membandingkan dengan bentuk umum garis itu adalah:

A = b, B = -a dan C = b⋅Xo - a⋅Yo

Contoh 3

Tentukan bentuk umum dari garis yang vektor pengarahnya adalah u = (2, -1)

dan melewati titik P = (1, 5).

Untuk mencari bentuk umum kita dapat menggunakan rumus yang diberikan, namun jalur alternatif akan dipilih.

Kita mulai dengan mencari vektor ganda w dari vektor pengarah u, yang didefinisikan sebagai vektor yang diperoleh dengan menukar komponen u dan mengalikan detik dengan -1:

w = (-1, -2)

vektor ganda w sesuai dengan putaran 90 ° searah jarum jam dari vektor pengarah v .

Kami mengalikan secara skalar w dengan (X, Y) dan dengan (Xo, Yo) dan menetapkan sama:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

akhirnya tersisa:

X + 2Y = 11

Bentuk standar persamaan garis

Ini dikenal sebagai bentuk standar garis pada bidang XY, yang memiliki struktur sebagai berikut:

Y = m⋅X + d

dimana m melambangkan kemiringan dan d perpotongan dengan sumbu Y.

Diketahui arah vektor u = (a, b), gradien m adalah b / a.

Y d diperoleh dengan mengganti X dan Y untuk titik yang diketahui Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Singkatnya, m = b / a dan d = I - (b / a) Xo

Perhatikan bahwa kemiringan m adalah hasil bagi antara komponen y dari vektor pengarah dan komponen x darinya.

Contoh 4

Tentukan bentuk standar dari garis yang vektor pengarahnya adalah u = (2, -1)

dan melewati titik P = (1, 5).

m = -½ dan d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Latihan terselesaikan

-Latihan 1

Temukan vektor pengarah dari garis (L) yang merupakan perpotongan bidang (Π): X - Y + Z = 3 dan bidang (Ω): 2X + Y = 1.

Kemudian tuliskan bentuk kontinyu dari persamaan garis (L).

Larutan

Dari persamaan jarak bidang (Ω) Y: Y = 1 -2X

Kemudian kami mengganti persamaan bidang (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Kemudian kita melakukan parameterisasi X, kita memilih parameterisasi X = λ

Artinya garis tersebut memiliki persamaan vektor yang diberikan oleh:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

yang dapat ditulis ulang sebagai:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

dimana jelas bahwa vektor u = (1, -2, -3) adalah vektor pengarah dari garis (L).

Bentuk kontinyu dari garis (L) adalah:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Latihan 2

Diketahui bidang 5X + a Y + 4Z = 5

dan garis yang persamaannya X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Tentukan nilai a sedemikian rupa sehingga bidang dan garis sejajar.

Solusi 2

Vektor n = (5, a, 4) adalah vektor normal pada bidang.

Vektor u = (1, 3, -2) adalah vektor pengarah dari garis.

Jika garis tersebut sejajar dengan bidang, maka n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Referensi

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Aljabar linier. Pendidikan Pearson.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometri Analitik Bidang. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektor. Dipulihkan dari: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Konsep Dasar Geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.