VEKTOR: KARAKTERISTIK DAN PROPERTI, ELEMEN, JENIS, CONTOH - ILMU - 2025

The vektor adalah entitas matematika yang telah umumnya disertai dengan satuan ukuran -positiva- besar dan arah baik. Ciri-ciri tersebut sangat tepat untuk menggambarkan besaran fisik seperti kecepatan, gaya, percepatan, dan masih banyak lagi.

Dengan vektor dimungkinkan untuk melakukan operasi seperti penjumlahan, pengurangan dan perkalian. Pembagian tidak didefinisikan untuk vektor dan untuk hasil kali, ada tiga kelas yang akan kita jelaskan nanti: perkalian titik atau titik, perkalian vektor atau persilangan dan perkalian skalar oleh vektor.

Gambar 1. Elemen-elemen vektor. Sumber: Wikimedia Commons.

Untuk mendeskripsikan sebuah vektor secara lengkap, semua karakteristiknya harus ditunjukkan. Besaran atau modul adalah nilai numerik yang disertai dengan satuan, sedangkan arah dan pengertian ditetapkan dengan bantuan sistem koordinat.

Mari kita lihat contoh: misalkan sebuah pesawat terbang dari satu kota ke kota lain dengan kecepatan 850 km / jam ke arah timur laut. Di sini kita memiliki vektor yang ditentukan sepenuhnya, karena besarnya tersedia: 850 km / jam, sedangkan arah dan inderanya adalah NE.

Vektor biasanya diwakili secara grafis oleh segmen garis berorientasi, yang panjangnya sebanding dengan besaran.

Sedangkan untuk menentukan arah dan pengertian diperlukan garis acuan yang biasanya berupa sumbu horizontal, meskipun arah utara juga bisa dijadikan acuan, seperti halnya kecepatan bidang:

Gambar 2. Vektor kecepatan. Sumber: F. Zapata.

Gambar tersebut menunjukkan vektor kecepatan bidang, dilambangkan dengan v dalam huruf tebal , untuk membedakannya dari besaran skalar, yang hanya memerlukan nilai numerik dan beberapa unit untuk ditentukan.

Elemen vektor

Seperti yang telah kami katakan, elemen-elemen vektornya adalah:

-Magnitudo atau modul, kadang juga disebut nilai absolut atau norma vektor.

-Alamat

-Merasakan

Pada contoh di Gambar 2, modulus v adalah 850 km / jam. Modulus dilambangkan sebagai v tanpa huruf tebal, atau sebagai - v -, di mana batang mewakili nilai absolut.

Arah v ditentukan relatif ke Utara. Dalam hal ini adalah 45º Utara dari Timur (45º TL). Akhirnya ujung panah menginformasikan tentang arti v .

Dalam contoh ini, asal vektor telah digambar bertepatan dengan titik asal O dari sistem koordinat, ini dikenal sebagai vektor terkait. Sebaliknya, jika asal vektor tidak sama dengan yang ada pada sistem referensi, maka vektor tersebut disebut vektor bebas.

Perlu dicatat bahwa untuk menentukan vektor secara lengkap, ketiga elemen ini harus dicatat, jika tidak, deskripsi vektor tidak akan lengkap.

Komponen persegi panjang dari sebuah vektor

Gambar 3. Komponen persegi panjang dari sebuah vektor di bidang. Sumber: Wikimedia Commons. uranther

Pada gambar kita memiliki kembali contoh vektor v kita , yang ada di bidang xy.

Mudah untuk melihat bahwa proyeksi v pada sumbu koordinat x dan y menentukan segitiga siku-siku. Proyeksi ini adalah v _{y dan} v _x dan disebut komponen persegi panjang v .

Salah satu cara untuk menunjukkan v dengan komponen persegi panjangnya adalah seperti ini: v =x, v _dan >. Tanda kurung ini digunakan sebagai pengganti tanda kurung untuk menekankan fakta bahwa itu adalah vektor dan bukan titik, karena dalam hal ini tanda kurung akan digunakan.

Jika vektor berada dalam ruang tiga dimensi, diperlukan satu komponen lagi, sehingga:

v =x, v _y , v _z >

Mengetahui komponen persegi panjang besarnya vektor dihitung, setara dengan menemukan sisi miring dari segitiga siku-siku yang kakinya yang v _x dan v _{dan ,.} Melalui teorema Pythagoras sebagai berikut:

Bentuk kutub dari sebuah vektor

Jika besaran vektor - v - dan sudut θ yang dibuatnya dengan sumbu acuan, umumnya sumbu horizontal diketahui, vektor juga ditentukan. Vektor tersebut kemudian dinyatakan dalam bentuk kutub.

Komponen persegi panjang dalam hal ini mudah dihitung:

Berdasarkan penjelasan di atas, komponen persegi panjang dari vektor kecepatan v dari bidang tersebut adalah:

Jenis

Ada beberapa jenis vektor. Ada vektor kecepatan, posisi, perpindahan, gaya, medan listrik, momentum, dan masih banyak lagi. Seperti yang telah kami katakan, dalam fisika ada sejumlah besar besaran vektor.

Mengenai vektor yang memiliki karakteristik tertentu, kita dapat menyebutkan jenis vektor berikut:

-Null : ini adalah vektor yang besarnya 0 dan dilambangkan sebagai 0. Ingatlah bahwa huruf tebal melambangkan tiga karakteristik dasar vektor, sedangkan huruf normal hanya mewakili modul.

Misalnya, pada benda dalam kesetimbangan statis, jumlah gaya harus berupa vektor nol.

- Bebas dan ditautkan : vektor bebas adalah vektor yang titik asal dan kedatangannya adalah pasangan titik mana pun di bidang atau ruang, tidak seperti vektor terkait, yang asalnya bertepatan dengan sistem referensi yang digunakan untuk mendeskripsikannya.

Pasangan atau momen yang dihasilkan oleh sepasang gaya adalah contoh yang baik dari vektor bebas, karena pasangan tidak berlaku untuk titik tertentu.

- Equipolentes : mereka adalah dua vektor bebas yang memiliki karakteristik identik. Oleh karena itu, mereka memiliki besaran, arah, dan indra yang sama.

- Koplanar atau koplanar : vektor yang dimiliki bidang yang sama.

- Berlawanan : vektor dengan besaran dan arah yang sama, tetapi berlawanan arah. Vektor yang berlawanan dengan vektor v adalah vektor - v dan jumlah keduanya adalah vektor nol: v + (- v ) = 0 .

- Concurrent : vektor yang semua garis aksinya melewati titik yang sama.

- Sliders : adalah vektor yang titik aplikasinya dapat meluncur di sepanjang garis tertentu.

- Collinear : vektor yang terletak pada garis yang sama.

- Unitary : vektor yang modulnya 1.

Vektor satuan ortogonal

Ada jenis vektor yang sangat berguna dalam fisika yang disebut vektor satuan ortogonal. Vektor satuan ortogonal memiliki modul sama dengan 1 dan dapat berupa apa saja, misalnya kecepatan, posisi, gaya atau lainnya.

Ada sekumpulan vektor khusus yang membantu merepresentasikan vektor lain dengan mudah dan melakukan operasi dengannya: vektor tersebut adalah vektor satuan ortogonal i , j , dan k , satuan, dan tegak lurus satu sama lain.

Dalam dua dimensi, vektor ini diarahkan sepanjang arah positif sumbu x dan sumbu y. Dan dalam tiga dimensi vektor satuan ditambahkan ke arah sumbu z positif. Mereka direpresentasikan sebagai berikut:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Sebuah vektor dapat diwakili oleh vektor satuan i , j dan k sebagai berikut:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Sebagai contoh, vektor kecepatan v pada contoh sebelumnya dapat dituliskan sebagai:

v = 601,04 i + 601,04 j km / jam

Komponen dalam k tidak diperlukan, karena vektor ini ada di dalam bidang.

Penambahan vektor

Jumlah vektor sangat sering muncul dalam berbagai situasi, misalnya saat Anda ingin mencari gaya resultan pada benda yang dipengaruhi oleh berbagai gaya. Untuk memulai, anggaplah kita memiliki dua vektor bebas u dan v pada bidang, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut di sebelah kiri:

Gambar 4. Grafik penjumlahan dari dua vektor. Sumber: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Itu segera ditransfer dengan hati-hati ke vektor v , tanpa mengubah besarnya, arah, atau rasa, sehingga asalnya bertepatan dengan akhir u .

Jumlah vektor disebut w dan diambil mulai dari u diakhiri dengan v , menurut gambar di kanan. Penting untuk dicatat bahwa besar vektor w belum tentu merupakan penjumlahan besar v dan u .

Jika Anda memikirkannya dengan hati-hati, satu-satunya waktu besarnya vektor yang dihasilkan adalah jumlah dari besarnya penjumlahan adalah ketika kedua penjumlahan berada dalam arah yang sama dan memiliki pengertian yang sama.

Dan apa yang terjadi jika vektor tidak bebas? Menambahkannya juga sangat mudah. Cara melakukannya adalah dengan menambahkan komponen ke komponen, atau metode analitik.

Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan vektor pada gambar berikut, hal pertama adalah mengekspresikannya dalam salah satu cara Cartesian yang dijelaskan sebelumnya:

Gambar 5. Jumlah dua vektor terkait. Sumber: Wikimedia Commons.

v = <5.1>

u = <2,3>

Untuk mendapatkan komponen x dari vektor penjumlahan w , tambahkan komponen x masing-masing dari v dan u : w _x = 5 + 2 = 7. Dan untuk mendapatkan w _y prosedur analognya diikuti: w _y = 1 + 3. Jadi:

u = <7,4>

Sifat penjumlahan vektor

-Jumlah dua atau lebih vektor menghasilkan vektor lain.

-Itu bersifat komutatif, urutan aden tidak mengubah jumlah, sedemikian rupa sehingga:

u + v = v + u

- Elemen netral dari jumlah vektor adalah vektor nol: v + 0 = v

- Pengurangan dua vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dari kebalikannya: v - u = v + (-u)

Contoh Vektor

Seperti yang telah kami katakan, ada banyak besaran vektor dalam fisika. Di antara yang paling terkenal adalah:

-Posisi

-Pemindahan

Kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat

-Percepatan

-Memaksa

-Jumlah gerakan

-Torque atau momen suatu gaya

-Impuls

-Medan listrik

-Medan gaya

-Momen magnetis

Di sisi lain, mereka bukanlah vektor tetapi skalar:

-Cuaca

-Massa

-Suhu

-Volume

-Massa jenis

-Pekerjaan mekanis

-Energi

-Panas

-Kekuasaan

-Tegangan

-Arus listrik

Operasi lain antar vektor

Selain penjumlahan dan pengurangan vektor, ada tiga operasi lain yang sangat penting di antara vektor, karena menghasilkan besaran fisik baru yang sangat penting:

-Produk skalar oleh vektor.

-Perkali titik atau perkalian titik antar vektor

-Dan perkalian silang atau vektor antara dua vektor.

Produk dari skalar dan vektor

Perhatikan hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa gaya F dan percepatan a sebanding. Konstanta proporsionalitas adalah massa m benda, oleh karena itu:

F = m. untuk

Massa adalah skalar; untuk bagiannya, gaya dan percepatan adalah vektor. Karena gaya diperoleh dengan mengalikan massa dengan percepatan, ini adalah hasil dari produk skalar dan vektor.

Jenis produk ini selalu menghasilkan vektor. Berikut contoh lainnya: jumlah gerakan. Misalkan P adalah vektor momentum, v vektor kecepatan, dan seperti biasa, m adalah massa:

P = m. v

Perkalian titik atau perkalian titik antar vektor

Kami telah menempatkan pekerjaan mekanis pada daftar kuantitas yang bukan vektor. Namun, pekerjaan dalam fisika adalah hasil dari operasi antar vektor yang disebut perkalian skalar, perkalian dalam atau perkalian titik.

Misalkan vektor v dan u , tentukan titik atau hasil kali skalar di antara mereka sebagai:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Dimana θ adalah sudut antara keduanya. Dari persamaan yang ditunjukkan segera berikut bahwa hasil perkalian titik adalah skalar dan jika kedua vektor tegak lurus, perkalian titiknya adalah 0.

Kembali ke pekerjaan mekanik W, ini adalah hasil kali skalar antara vektor gaya F dan vektor perpindahan ℓ .

Ketika vektor tersedia dalam komponennya, perkalian titik juga sangat mudah dihitung. Jika v =x, v _y , v _z > y u =x, u _y , u _z >, hasil perkalian titik di antara keduanya adalah:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Perkalian titik antar vektor bersifat komutatif, oleh karena itu:

v ∙ u = u ∙ v

Perkalian silang atau perkalian vektor antar vektor

Jika v dan u adalah dua contoh vektor kita, kita mendefinisikan perkalian vektor sebagai:

v x u = w

Ini segera mengikuti bahwa hasil perkalian silang dalam vektor, yang modulusnya didefinisikan sebagai:

Dimana θ adalah sudut antar vektor.

Hasil perkalian silang tidak komutatif, oleh karena itu v x u ≠ u x v. Faktanya v x u = - (u x v).

Jika dua contoh vektor dinyatakan dalam vektor satuan, perhitungan produk vektor dipermudah:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Produk silang antara vektor satuan

Perkalian silang antara vektor satuan identik adalah nol, karena sudut di antara vektor-vektor tersebut adalah 0º. Tetapi antara vektor satuan yang berbeda, sudut antara keduanya adalah 90º dan sin 90º = 1.

Diagram berikut membantu menemukan produk ini. Searah panah memiliki arah positif dan berlawanan arah negatif:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Menerapkan properti distributif, yang masih berlaku untuk produk antar vektor ditambah properti vektor satuan, kita memiliki:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k ) x (u _x i + u _y j + u _z k ) =

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Diberikan vektor:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Berapa vektor w untuk menjumlahkan v + u + w menjadi 6 i +8 j -10 k ?

Larutan

Oleh karena itu, harus dipenuhi bahwa:

Jawabannya adalah: w = 9 i +7 j - 18 k

- Latihan 2

Berapakah sudut antara vektor v dan u dalam Latihan 1?

Larutan

Kami akan menggunakan produk titik. Dari definisi yang kami miliki:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Mengganti nilai-nilai ini:

Referensi

1. Figueroa, D. (2005). Seri: Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Kinematika. Diedit oleh Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fisika: Prinsip dengan Aplikasi. 6. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Dasar-dasar Fisika. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Fisika Universitas dengan Fisika Modern. 14. Ed. Volume 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. 7. Ed. Pembelajaran Cengage.