HOMOTHECY: SIFAT, JENIS DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The pelebaran adalah perubahan geometris pada bidang yang, dari titik tetap yang disebut pusat (O), jarak dikalikan dengan faktor umum. Dengan cara ini, setiap titik P berhubungan dengan produk titik P 'lain dari transformasi, dan ini disejajarkan dengan titik O.

Jadi, homothecy adalah tentang korespondensi antara dua figur geometris, di mana titik-titik yang ditransformasikan disebut homothetic, dan ini disejajarkan dengan titik tetap dan dengan segmen yang sejajar satu sama lain.

Homothecy

Homothecy adalah transformasi yang tidak memiliki citra yang kongruen, karena dari suatu figur akan diperoleh satu atau lebih figur yang lebih besar atau lebih kecil dari gambar aslinya; Artinya, homothecy itu mengubah poligon menjadi poligon serupa lainnya.

Agar homothecy dapat terpenuhi, titik ke titik dan baris ke baris harus sesuai, sehingga pasangan titik homolog sejajar dengan titik tetap ketiga, yang merupakan pusat homologi.

Begitu pula pasangan garis yang menghubungkannya harus sejajar. Hubungan antara segmen tersebut adalah konstanta yang disebut rasio homothecy (k); sedemikian rupa sehingga homothecy dapat didefinisikan sebagai:

Untuk melakukan jenis transformasi ini, kita mulai dengan memilih titik yang berubah-ubah, yang akan menjadi pusat homothecy.

Dari titik ini, segmen garis digambar untuk setiap simpul dari gambar yang akan ditransformasikan. Skala di mana reproduksi gambar baru dibuat diberikan oleh rasio homothecy (k).

Properti

Salah satu sifat utama homothecy adalah, menurut alasan homothetic (k), semua figur homothetic adalah serupa. Di antara properti luar biasa lainnya adalah sebagai berikut:

- Pusat homothecia (O) adalah satu-satunya titik ganda dan ini berubah menjadi dirinya sendiri; artinya, itu tidak berbeda.

- Garis-garis yang melewati pusat diubah menjadi garis-garis itu sendiri (berganda), tetapi titik-titik yang menyusunnya tidak berlipat ganda.

- Garis yang tidak melewati pusat diubah menjadi garis sejajar; dengan cara ini, sudut homothecy tetap sama.

- Bayangan suatu segmen dengan homothecy dari pusat O dan rasio k, adalah segmen yang sejajar dengan ini dan memiliki k kali panjangnya. Misalnya, seperti dapat dilihat pada gambar berikut, segmen AB menurut homothecy akan menghasilkan segmen lain A'B ', sehingga AB akan sejajar dengan A'B' dan k menjadi:

- Sudut homothetic kongruen; artinya, mereka memiliki ukuran yang sama. Oleh karena itu bayangan suatu sudut adalah sudut yang memiliki amplitudo yang sama.

Di sisi lain, kita mendapati bahwa homothecy bervariasi tergantung pada nilai rasionya (k), dan kasus-kasus berikut dapat terjadi:

- Jika konstanta k = 1, semua titik ditetapkan karena mereka mengubah dirinya sendiri. Dengan demikian, figur homothetic bertepatan dengan yang asli dan transformasi akan disebut fungsi identitas.

- Jika k ≠ 1, satu-satunya titik tetap akan menjadi pusat homothetic (O).

- Jika k = -1, homothecy menjadi simetri pusat (C); yaitu terjadi rotasi di sekitar C, pada sudut 180 ^atau .

- Jika k> 1, ukuran gambar yang diubah akan lebih besar dari ukuran aslinya.

- Jika 0 <k <1, ukuran gambar yang diubah akan lebih kecil dari aslinya.

- Jika -1 <k <0, ukuran gambar yang ditransformasikan akan lebih kecil dan akan diputar sesuai dengan aslinya.

- Jika k <-1, ukuran gambar yang ditransformasikan akan lebih besar dan akan diputar sesuai dengan aslinya.

Jenis

Homothecy juga dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, tergantung pada nilai rasionya (k):

Homothecy langsung

Itu terjadi jika konstanta k> 0; Artinya, poin homothetic berada di sisi yang sama sehubungan dengan pusat:

Faktor proporsionalitas atau rasio kesamaan antara angka-angka homothetic langsung akan selalu positif.

Homothecy terbalik

Itu terjadi jika konstanta k <0; Artinya, titik-titik awal dan homothetics mereka terletak di ujung yang berlawanan sehubungan dengan pusat homothetic tetapi selaras dengannya. Pusatnya akan berada di antara dua gambar:

Faktor proporsionalitas atau rasio kesamaan antara angka homothetic terbalik akan selalu negatif.

Komposisi

Ketika beberapa gerakan dilakukan secara berurutan hingga diperoleh gambar yang sama dengan aslinya, maka terjadilah komposisi gerakan. Komposisi beberapa gerakan juga merupakan gerakan.

Komposisi antara dua homothecies menghasilkan homothecy baru; yaitu, ada produk homotheties di mana pusat akan disejajarkan dengan pusat dari dua transformasi asli, dan rasio (k) adalah produk dari kedua rasio.

Dengan demikian, pada komposisi dua homotheties H ₁ (O ₁ , k ₁ ) dan H ₂ (O ₂ , k ₂ ), perkalian rasionya : k ₁ xk ₂ = 1 akan menghasilkan homothecy rasio k ₃ = k ₁ xk ₂ . Pusat dari homothecy baru (O ₃ ) ini akan terletak di garis O ₁ O ₂ .

Homothecia berhubungan dengan perubahan datar dan tidak dapat diubah; Jika diterapkan dua homothet yang memiliki pusat dan rasio yang sama tetapi dengan tanda yang berbeda, maka akan diperoleh gambar asli.

Contoh

Contoh pertama

Terapkan homothecy ke poligon pusat (O) yang ditentukan, yang terletak 5 cm dari titik A dan yang rasionya k = 0,7.

Larutan

Setiap titik dipilih sebagai pusat homothecy, dan dari titik ini sinar ditarik melalui simpul gambar:

Jarak dari pusat (O) ke titik A adalah OA = 5; Dengan ini, jarak salah satu titik homothetic (OA ') dapat ditentukan, juga mengetahui bahwa k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Prosesnya dapat dilakukan untuk setiap simpul, atau poligon homothetic juga dapat digambar mengingat kedua poligon tersebut memiliki sisi yang sejajar:

Akhirnya, transformasi terlihat seperti ini:

Contoh kedua

Terapkan homothecy ke poligon yang diberikan dengan pusat (O), terletak 8,5 cm dari titik C dan yang y rasio k = -2.

Larutan

Jarak dari pusat (O) ke titik C adalah OC = 8,5; Dengan data ini, dimungkinkan untuk menentukan jarak salah satu titik homothetic (OC '), juga mengetahui bahwa k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Setelah menggambar segmen simpul dari poligon yang ditransformasikan, kita mendapatkan bahwa titik awal dan homothetiknya terletak di ujung yang berlawanan sehubungan dengan pusatnya:

Referensi

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Gambar Teknis: notebook aktivitas.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Afinitas, Homologi, dan Homologi.
3. Baer, ​​R. (2012). Aljabar Linear dan Geometri Proyektif. Perusahaan Kurir.
4. Hebert, Y. (1980). Matematika umum, probabilitas dan statistik.
5. Meserve, BE (2014). Konsep Dasar Geometri. Perusahaan Kurir.
6. Nachbin, L. (1980). Pengantar aljabar. Kembalikan.