TEOREMA STEINER: PENJELASAN, APLIKASI, LATIHAN - FISIK - 2025

The Steiner 's Teorema , juga dikenal sebagai teorema sumbu sejajar, untuk menilai momen inersia badan diperpanjang, tentang sumbu yang sejajar dengan passing lain melalui pusat massa objek.

Hal ini ditemukan oleh matematikawan Swiss Jakob Steiner (1796–1863) dan menyatakan sebagai berikut: misalkan I _{CM adalah} momen inersia benda terhadap sumbu yang melewati pusat massanya CM dan I _z momen inersia terhadap sumbu lain sejajar dengan ini.

Gambar 1. Pintu persegi panjang yang berputar pada engselnya memiliki momen inersia yang dapat dihitung dengan menerapkan teorema Steiner. Sumber: Pixabay.

Mengetahui jarak D yang memisahkan kedua sumbu dan massa M benda yang bersangkutan, momen inersia terhadap sumbu yang tidak diketahui adalah:

Momen inersia menunjukkan betapa mudahnya sebuah benda berputar di sekitar sumbu tertentu. Ini tidak hanya bergantung pada massa tubuh, tetapi juga bagaimana distribusinya. Untuk alasan ini juga dikenal sebagai inersia rotasi, menjadi unitnya dalam Sistem Internasional Kg. m ² .

Teorema tersebut menunjukkan bahwa momen inersia I _z selalu lebih besar dari momen inersia I _CM dengan besaran yang diberikan oleh MD ² .

Aplikasi

Karena sebuah objek mampu berputar di sekitar banyak sumbu, dan dalam tabel biasanya hanya momen inersia yang diberikan sehubungan dengan sumbu yang melewati centroid, teorema Steiner memfasilitasi perhitungan ketika diperlukan untuk memutar benda pada sumbu. yang tidak cocok dengan ini.

Misalnya, pintu biasanya tidak berputar pada sumbu melalui pusat massanya, tetapi tentang sumbu lateral, di mana engselnya menempel.

Dengan mengetahui momen inersia, dimungkinkan untuk menghitung energi kinetik yang terkait dengan rotasi pada sumbu tersebut. Jika K adalah energi kinetik, I momen inersia di sekitar sumbu tersebut dan ω kecepatan sudut, maka berikut ini:

Persamaan ini sangat mirip dengan rumus umum energi kinetik untuk benda bermassa M yang bergerak dengan kecepatan v: K = ½ Mv ² . Dan momen inersia atau inersia rotasi I memainkan peran yang sama dalam rotasi sebagai massa M dalam terjemahan.

Bukti teorema Steiner

Momen inersia dari objek yang diperpanjang didefinisikan sebagai:

I = ∫ r ² dm

Dimana dm adalah bagian yang sangat kecil dari massa dan r adalah jarak antara dm dan sumbu rotasi z. Pada gambar 2 sumbu ini melintasi pusat massa CM, namun bisa juga sembarang.

Gambar 2. Sebuah objek diperpanjang dalam rotasi di sekitar dua sumbu paralel. Sumber: F. Zapata.

Di sekitar sumbu z lainnya, momen inersia adalah:

Saya _z = ∫ (r ') ² dm

Sekarang, menurut segitiga yang dibentuk oleh vektor D , r dan r ' (lihat gambar 2 di sebelah kanan), ada penjumlahan vektor:

r + r ' = D → r' = D - r

Tiga vektor terletak pada bidang objek, yang bisa menjadi xy. Asal dari sistem koordinat (0,0) dipilih dalam CM untuk memfasilitasi kalkulasi selanjutnya.

Dengan cara ini modul kuadrat dari vektor r ' adalah:

Sekarang perkembangan ini disubstitusi dalam integral momen inersia I _z dan juga definisi massa jenis dm = ρ.dV digunakan:

Istilah M. D ² yang muncul dalam teorema Steiner berasal dari integral pertama, yang kedua adalah momen inersia terhadap sumbu yang melewati CM.

Untuk bagiannya, integral ketiga dan keempat bernilai 0, karena menurut definisi mereka merupakan posisi CM, yang telah dipilih sebagai asal dari sistem koordinat (0,0).

Latihan terselesaikan

-Latihan terselesaikan 1

Pintu persegi panjang pada Gambar 1 memiliki massa 23 kg, lebar 1,30 dan tinggi 2,10 m. Tentukan momen inersia pintu sehubungan dengan sumbu yang melewati engsel, dengan asumsi pintu itu tipis dan seragam.

Gambar 3. Contoh Skema untuk Pekerjaan 1. Sumber: dimodifikasi dari Pixabay.

Larutan

Dari tabel momen inersia, untuk pelat persegi panjang bermassa M dan dimensi a dan b, momen inersia terhadap sumbu yang melewati pusat massanya adalah: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Sebuah gerbang homogen akan diasumsikan (sebuah perkiraan, karena gerbang pada gambar mungkin tidak demikian). Dalam kasus seperti itu, pusat massa melewati pusat geometrisnya. Pada gambar 3 sebuah sumbu yang melewati pusat massa telah digambar dan juga sejajar dengan sumbu yang melewati engselnya.

Saya _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Menerapkan teorema Steiner untuk sumbu hijau rotasi:

I = I _CM + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

-Latihan terselesaikan 2

Temukan momen inersia batang tipis homogen saat ia berputar pada sumbu yang melewati salah satu ujungnya, lihat gambar. Apakah lebih besar atau lebih kecil dari momen inersia saat berputar di sekitar pusatnya? Mengapa?

Gambar 4. Skema untuk contoh yang diselesaikan 2. Sumber: F. Zapata.

Larutan

Berdasarkan tabel momen inersia, momen inersia I _CM batang tipis bermassa M dan panjang L adalah: I _CM = (1/12) ML ²

Dan teorema Steiner menyatakan bahwa ketika diputar mengelilingi sumbu yang melewati salah satu ujung D = L / 2, ia tetap:

Ini lebih besar, meskipun tidak hanya dua kali, tetapi 4 kali lebih banyak, karena separuh lainnya dari batang (tidak diarsir pada gambar) berputar menggambarkan radius yang lebih besar.

Pengaruh jarak terhadap sumbu rotasi tidak linier, melainkan kuadrat. Sebuah massa yang jaraknya dua kali lipat massa lainnya akan memiliki momen inersia yang sebanding dengan (2D) ² = 4D ² .

Referensi

1. Bauer, W. 2011. Fisika untuk Teknik dan Sains. Jilid 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Universitas Negeri Georgia. Gerak Rotasi. Diperoleh dari: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorema Sumbu Paralel. Diperoleh dari: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Dasar-dasar Fisika. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema sumbu paralel. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org