FAKTOR UMUM DENGAN MENGELOMPOKKAN ISTILAH: CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The Faktor umum dengan mengelompokkan istilah merupakan prosedur aljabar yang memungkinkan Anda untuk menulis beberapa ekspresi aljabar dalam bentuk faktor. Untuk mencapai tujuan ini, pertama-tama Anda harus mengelompokkan ungkapan dengan benar dan mengamati bahwa setiap kelompok yang terbentuk memiliki, pada dasarnya, faktor yang sama.

Menerapkan teknik dengan benar membutuhkan latihan, tetapi dalam waktu singkat Anda menguasainya. Pertama mari kita lihat contoh ilustratif yang dijelaskan langkah demi langkah. Kemudian pembaca dapat menerapkan apa yang telah dipelajari di setiap latihan yang akan muncul nanti.

Gambar 1. Mengambil faktor persekutuan dengan mengelompokkan suku membuat bekerja dengan ekspresi aljabar lebih mudah. Sumber: Pixabay.

Misalnya, Anda perlu memfaktorkan ekspresi berikut:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ungkapan aljabar ini terdiri dari 4 monomial atau suku yang dipisahkan oleh tanda + dan -, yaitu:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Jika dicermati, x sama dengan tiga yang pertama, tetapi tidak sama dengan yang terakhir, sedangkan y umum untuk ketiga dan keempat, dan z umum untuk ketiga dan keempat.

Jadi pada prinsipnya tidak ada faktor persekutuan ke empat suku sekaligus, tetapi jika dikelompokkan seperti yang akan diperlihatkan pada bagian selanjutnya, ada kemungkinan akan muncul satu faktor yang membantu menuliskan ungkapan tersebut sebagai hasil perkalian dua atau lebih. faktor.

Contoh

Faktorkan pernyataannya: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Langkah 1 : Grup

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Langkah 2: Temukan faktor persekutuan dari setiap kelompok

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Saya mportant : tanda negatif juga merupakan faktor umum yang harus diperhitungkan.

Sekarang perhatikan bahwa tanda kurung (x + y) diulangi dalam dua suku yang diperoleh dengan pengelompokan. Itulah faktor umum yang sedang dicari.

Langkah 3: Faktorkan seluruh ekspresi

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Dengan hasil sebelumnya, tujuan pemfaktoran telah tercapai, yang tidak lain adalah mengubah ekspresi aljabar berdasarkan penjumlahan dan pengurangan suku, menjadi hasil kali dari dua faktor atau lebih, dalam contoh kita, dari: (x + y) dan (2x - 3z).

Pertanyaan penting tentang faktor persekutuan dengan pengelompokan

Pertanyaan 1 : Bagaimana cara mengetahui bahwa hasilnya benar?

Jawaban : Sifat distributif diterapkan pada hasil yang diperoleh dan setelah dikurangi dan disederhanakan, ekspresi yang diperoleh harus sesuai dengan aslinya, jika tidak, ada kesalahan.

Dalam contoh sebelumnya, kami bekerja secara terbalik dengan hasilnya, untuk memeriksa apakah sudah benar:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Karena urutan penjumlahan tidak mengubah penjumlahan, setelah menerapkan sifat distributif semua suku asli dikembalikan, termasuk tanda, oleh karena itu, faktorisasinya benar.

Pertanyaan 2: Mungkinkah itu dikelompokkan dengan cara lain?

Jawaban: Ada ekspresi aljabar yang memungkinkan lebih dari satu bentuk pengelompokan dan lainnya tidak. Dalam contoh yang dipilih, pembaca dapat mencoba kemungkinan lain sendiri, misalnya pengelompokan seperti ini:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Dan Anda dapat memeriksa bahwa hasilnya sama dengan yang diperoleh di sini. Menemukan pengelompokan yang optimal adalah soal praktik.

Pertanyaan 3: Mengapa perlu mengambil faktor persekutuan dari ekspresi aljabar?

Jawaban : Karena ada aplikasi di mana ekspresi terfaktor membuat perhitungan lebih mudah. Misalnya, Anda ingin menyetel 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy sama dengan 0. Apa saja kemungkinannya?

Untuk menjawab pertanyaan ini, versi yang difaktorkan jauh lebih berguna daripada versi pengembangan aslinya. Dinyatakan seperti ini:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Satu kemungkinan ekspresi bernilai 0 adalah x = -y, berapapun nilai z. Dan yang lainnya adalah bahwa x = (3/2) z, terlepas dari nilai y.

Latihan

- Latihan 1

Ekstrak faktor persekutuan dari ekspresi berikut dengan mengelompokkan istilah:

ax + ay + bx + by

Larutan

Dua yang pertama dikelompokkan, dengan faktor persekutuan "a" dan dua yang terakhir dengan faktor persekutuan "b":

ax + ay + bx + oleh = a (x + y) + b (x + y)

Setelah ini dilakukan, faktor persekutuan baru terungkap, yaitu (x + y), sehingga:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Cara lain untuk berkelompok

Ekspresi ini mendukung cara pengelompokan lain. Mari kita lihat apa yang terjadi jika suku-suku tersebut diatur ulang dan sebuah grup dibuat dengan yang mengandung x dan yang lain dengan yang mengandung y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Dengan cara ini faktor persekutuan baru adalah (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Yang mengarah pada hasil yang sama dari pengelompokan pertama yang diujikan.

- Latihan 2

Ekspresi aljabar berikut harus dituliskan sebagai hasil kali dua faktor:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Larutan

Ekspresi ini mengandung 6 istilah. Mari kita coba mengelompokkan pertama dan keempat, kedua dan ketiga dan terakhir kelima dan keenam:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Sekarang setiap tanda kurung difaktorkan:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Sekilas tampaknya situasinya rumit, tetapi pembaca tidak boleh berkecil hati, karena kami akan menulis ulang istilah terakhir:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Dua suku terakhir sekarang memiliki faktor persekutuan, yaitu (3b-a), sehingga dapat difaktorkan. Sangat penting untuk tidak melupakan istilah pertama a ² (3a - 1), yang harus terus menyertai semuanya sebagai tambahan, bahkan jika Anda tidak sedang mengerjakannya:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Pernyataan tersebut telah direduksi menjadi dua suku dan faktor persekutuan baru ditemukan pada suku terakhir, yaitu "b". Sekarang tetap:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Faktor persekutuan berikutnya yang muncul adalah 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Atau jika Anda lebih suka tanpa tanda kurung:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Dapatkah pembaca menemukan cara pengelompokan lain yang mengarah pada hasil yang sama?

Gambar 2. Usulan latihan anjak piutang. Sumber: F. Zapata.

Referensi

1. Baldor, A. 1974. Aljabar Dasar. Budaya Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
3. Kasus utama anjak piutang. Diperoleh dari: julioprofe.net.
4. UNAM. Matematika Dasar: Faktorisasi dengan mengelompokkan istilah. Fakultas Akuntansi dan Administrasi.
5. Zill, D. 1984. Aljabar dan Trigonometri. MacGraw Hill.