ACARA INDEPENDEN: DEMONSTRASI, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2025

Dua peristiwa bersifat independen , bila probabilitas salah satunya terjadi tidak dipengaruhi oleh fakta bahwa peristiwa lainnya terjadi -atau tidak terjadi-, mengingat peristiwa tersebut terjadi secara acak.

Keadaan ini terjadi setiap kali proses yang menghasilkan hasil peristiwa 1, tidak mengubah dengan cara apa pun kemungkinan hasil yang mungkin dari peristiwa 2. Tetapi jika ini tidak terjadi, peristiwa tersebut dikatakan bergantung.

Gambar 1. Kelereng berwarna sering digunakan untuk menjelaskan kemungkinan kejadian independen. Sumber: Pixabay.

Situasi acara independen adalah sebagai berikut: Misalkan dua dadu bersisi enam digulung, satu biru dan yang lainnya merah muda. Probabilitas bahwa angka 1 akan berguling pada dadu biru tidak bergantung pada probabilitas bahwa angka 1 akan berguling -atau tidak berguling- pada dadu merah muda.

Kasus lain dari dua peristiwa independen adalah melempar koin dua kali berturut-turut. Hasil lemparan pertama tidak akan tergantung pada hasil lemparan kedua dan sebaliknya.

Bukti dua peristiwa independen

Untuk memverifikasi bahwa dua peristiwa adalah independen, kita akan mendefinisikan konsep probabilitas bersyarat dari satu peristiwa dengan yang lainnya. Untuk itu, perlu dibedakan antara acara eksklusif dan acara inklusif:

Dua peristiwa bersifat eksklusif jika nilai atau elemen peristiwa A yang mungkin tidak memiliki kesamaan dengan nilai atau unsur peristiwa B.

Oleh karena itu, dalam dua peristiwa eksklusif, himpunan perpotongan A dengan B adalah vakum:

Tidak termasuk acara: A∩B = Ø

Sebaliknya, jika kejadiannya inklusif, mungkin saja hasil dari kejadian A juga bertepatan dengan kejadian B lain, dengan A dan B merupakan kejadian yang berbeda. Pada kasus ini:

Acara inklusif: A∩B ≠ Ø

Ini mengarahkan kita untuk menentukan probabilitas bersyarat dari dua peristiwa inklusif, dengan kata lain, kemungkinan terjadinya peristiwa A, setiap kali peristiwa B terjadi:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Oleh karena itu, probabilitas bersyarat adalah probabilitas bahwa A dan B akan terjadi dibagi dengan probabilitas B akan terjadi.Peluang B akan terjadi dengan syarat pada A juga dapat didefinisikan:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriteria untuk mengetahui apakah dua peristiwa berdiri sendiri

Selanjutnya kami akan memberikan tiga kriteria untuk mengetahui apakah dua peristiwa itu independen. Cukup salah satu dari ketiganya terpenuhi, sehingga kemandirian acara diperlihatkan.

1.- Jika probabilitas A terjadi setiap kali B muncul sama dengan probabilitas A, maka itu adalah peristiwa independen:

P (A¦B) = P (A) => A tidak bergantung pada B

2.- Jika probabilitas B terjadi diberikan A, sama dengan probabilitas B, maka ada peristiwa independen:

P (B¦A) = P (B) => B tidak bergantung pada A

3.- Jika probabilitas A dan B terjadi sama dengan hasil perkalian probabilitas A terjadi dan probabilitas B terjadi, maka keduanya adalah peristiwa independen. Kebalikannya juga benar.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A dan B adalah peristiwa independen.

Contoh acara independen

Sol karet yang diproduksi oleh dua pemasok berbeda dibandingkan. Sampel dari masing-masing pabrikan dikenai beberapa pengujian yang kemudian disimpulkan apakah mereka berada dalam spesifikasi atau tidak.

Gambar 2. Ragam sol karet. Sumber: Pixabay.

Ringkasan yang dihasilkan dari 252 sampel tersebut adalah sebagai berikut:

Produsen 1; 160 memenuhi spesifikasi; 8 tidak memenuhi spesifikasi.

Produsen 2; 80 memenuhi spesifikasi; 4 tidak memenuhi spesifikasi.

Peristiwa A: "bahwa sampel dari pabrikan 1".

Peristiwa B: "bahwa sampel memenuhi spesifikasi."

Kami ingin mengetahui apakah peristiwa A dan B ini independen atau tidak, yang karenanya kami menerapkan salah satu dari tiga kriteria yang disebutkan di bagian sebelumnya.

Kriteria: P (B¦A) = P (B) => B tidak tergantung A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Kesimpulan: Peristiwa A dan B bersifat independen.

Misalkan peristiwa C: "bahwa sampel berasal dari pabrikan 2"

Apakah acara B akan independen dari acara C?

Kami menerapkan salah satu kriteria.

Kriteria: P (B¦C) = P (B) => B tidak bergantung pada C.

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Oleh karena itu, berdasarkan data yang tersedia, probabilitas bahwa sol karet yang dipilih secara acak memenuhi spesifikasi tidak bergantung pada pabrikan.

Ubah Peristiwa Independen menjadi Peristiwa Dependen

Mari kita lihat contoh berikut untuk membedakan antara peristiwa dependen dan independen.

Kami memiliki tas dengan dua bola coklat putih dan dua bola hitam. Probabilitas mendapatkan bola putih atau bola hitam sama pada percobaan pertama.

Misalkan hasilnya adalah bola isyarat. Jika bola yang ditarik diganti di dalam tas, situasi asli diulangi: dua bola putih dan dua bola hitam.

Jadi dalam pertandingan atau seri kedua, peluang menggambar bola putih atau bola hitam identik dengan yang pertama kali. Oleh karena itu, acara tersebut adalah acara independen.

Namun jika cue ball yang ditarik pada event pertama tidak diganti karena kita sudah memakannya, pada seri kedua peluangnya lebih besar untuk menarik bola hitam. Probabilitas bahwa ekstraksi kedua akan mendapatkan warna putih lagi berbeda dari kejadian pertama dan dikondisikan oleh hasil sebelumnya.

Latihan

- Latihan 1

Dalam sebuah kotak kami meletakkan 10 kelereng pada gambar 1, dimana 2 berwarna hijau, 4 berwarna biru dan 4 berwarna putih. Dua kelereng akan dipilih secara acak, satu pertama dan satu lagi nanti. Itu diminta untuk menemukan
probabilitas bahwa tidak ada satupun yang berwarna biru, dalam kondisi berikut:

a) Dengan penggantian, yaitu mengembalikan marmer pertama sebelum pemilihan kedua ke kotak. Tunjukkan apakah peristiwa itu independen atau bergantung.

b) Tanpa penggantian, kelereng yang pertama diekstraksi tidak dimasukkan ke dalam kotak pada saat pemilihan kedua. Demikian pula, tunjukkan apakah peristiwa itu tergantung atau independen.

Solusi untuk

Kami menghitung probabilitas marmer pertama yang diekstraksi tidak biru, yaitu 1 dikurangi probabilitas itu biru P (A), atau secara langsung tidak biru, karena keluar hijau atau putih:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (jangan biru) = 1 - (2/5) = 3/5

O baik:

P (hijau atau putih) = 6/10 = 3/5.

Jika marmer yang diekstraksi dikembalikan, semuanya seperti sebelumnya. Pada pengundian kedua ini juga ada kemungkinan 3/5 bahwa kelereng yang digambar tidak berwarna biru.

P (bukan biru, bukan biru) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Peristiwa tidak bergantung, karena kelereng yang diekstraksi dikembalikan ke kotak dan peristiwa pertama tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya peristiwa kedua.

Solusi b

Untuk ekstraksi pertama, lanjutkan seperti pada bagian sebelumnya. Probabilitas bahwa itu bukan biru adalah 3/5.

Untuk ekstraksi kedua kami memiliki 9 kelereng di dalam tas, karena yang pertama tidak kembali, tetapi tidak berwarna biru, oleh karena itu di dalam tas ada 9 kelereng dan 5 tidak berwarna biru:

P (hijau atau putih) = 5/9.

P (tidak ada yang biru) = P (pertama bukan biru). P (kedua bukan biru / pertama bukan biru) = (3/5). (5/9) = 1/3

Dalam hal ini mereka bukan peristiwa independen, karena peristiwa pertama mengkondisikan peristiwa kedua.

- Latihan 2

Sebuah toko memiliki 15 kemeja dalam tiga ukuran: 3 kecil, 6 sedang dan 6 besar. 2 kemeja dipilih secara acak.

a) Berapa probabilitas kedua kaos yang dipilih berukuran kecil, jika salah satunya diambil terlebih dahulu dan tanpa mengganti yang lain dalam lot?

b) Berapa probabilitas kedua kaos yang dipilih berukuran kecil, jika satu ditarik pertama, diganti dalam kelompok, dan yang kedua dihilangkan?

Solusi untuk

Berikut dua peristiwa:

Event A: kaos pertama yang dipilih berukuran kecil

Event B: kaos yang dipilih kedua berukuran kecil

Probabilitas terjadinya peristiwa A adalah: P (A) = 3/15

Probabilitas event B terjadi adalah: P (B) = 2/14, karena kaos sudah dilepas (tersisa 14), selain itu event A juga ingin dipenuhi, kaos pertama yang dilepas harus kecil dan oleh karena itu keduanya 2 kecil.

Artinya, probabilitas bahwa A dan B akan menjadi produk dari probabilitas adalah:

P (A dan B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Oleh karena itu, probabilitas peristiwa A dan B terjadi sama dengan produk saat peristiwa A terjadi, dikalikan probabilitas peristiwa B terjadi jika peristiwa A.

Perlu diperhatikan bahwa:

P (B¦A) = 2/14

Probabilitas peristiwa B terjadi terlepas dari apakah peristiwa A terjadi atau tidak akan menjadi:

P (B) = (2/14) jika yang pertama kecil, atau P (B) = 3/14 jika yang pertama tidak kecil.

Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut:

P (B¦A) tidak sama dengan P (B) => B tidak independen dari A

Solusi b

Sekali lagi ada dua peristiwa:

Event A: kaos pertama yang dipilih berukuran kecil

Event B: kaos yang dipilih kedua berukuran kecil

P (A) = 3/15

Ingatlah bahwa apa pun hasilnya, kemeja yang diambil dari kelompok diganti dan sekali lagi kemeja yang diambil secara acak. Probabilitas peristiwa B terjadi, jika peristiwa A terjadi adalah:

P (B¦A) = 3/15

Kemungkinan terjadinya peristiwa A dan B adalah:

P (A dan B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Perhatikan bahwa:

P (B¦A) sama dengan P (B) => B tidak tergantung A.

- Latihan 3

Pertimbangkan dua peristiwa independen A dan B. Diketahui bahwa probabilitas terjadinya peristiwa A adalah 0,2 dan probabilitas peristiwa B terjadi adalah 0,3. Berapa probabilitas kedua peristiwa itu terjadi?

Solusi 2

Mengetahui bahwa peristiwa itu independen, maka diketahui bahwa probabilitas kedua peristiwa tersebut terjadi adalah hasil perkalian dari probabilitas individu. Artinya,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Perhatikan bahwa ini adalah probabilitas yang jauh lebih kecil daripada probabilitas bahwa setiap peristiwa akan terjadi terlepas dari hasil peristiwa lainnya. Atau dengan kata lain, jauh lebih rendah daripada peluang individu.

Referensi

1. Berenson, M. 1985. Statistik untuk manajemen dan ekonomi. Interamericana SA 126-127.
2. Institut Monterrey. Kemungkinan acara independen. Diperoleh dari: monterreyinstitute.org
3. Guru matematika. Acara independen. Dipulihkan dari: youtube.com
4. Superprof. Jenis acara, acara dependen. Diperoleh dari: superprof.es
5. Guru virtual. Kemungkinan. Diperoleh dari: vitutor.net
6. Wikipedia. Independensi (probabilitas). Diperoleh dari: wikipedia.com