DISTRIBUSI POISSON: RUMUS, PERSAMAAN, MODEL, PROPERTI - DUDAS - 2025

The distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit, dengan mana dimungkinkan untuk mengetahui probabilitas bahwa, dalam ukuran sampel yang besar dan selama interval tertentu, suatu peristiwa yang kemungkinan kecil akan terjadi.

Seringkali, distribusi Poisson dapat digunakan sebagai pengganti distribusi binomial, selama kondisi berikut terpenuhi: sampel besar dan probabilitas kecil.

Gambar 1. Grafik distribusi Poisson untuk parameter yang berbeda. Sumber: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) membuat distribusi ini yang menyandang namanya, sangat berguna dalam hal peristiwa yang tidak terduga. Poisson menerbitkan hasilnya pada tahun 1837, sebuah karya investigasi tentang kemungkinan terjadinya hukuman pidana yang salah.

Belakangan, peneliti lain mengadaptasi distribusi di daerah lain, misalnya, jumlah bintang yang dapat ditemukan dalam volume ruang tertentu, atau kemungkinan seorang prajurit akan mati karena tendangan kuda.

Rumus dan persamaan

Bentuk matematis dari distribusi Poisson adalah sebagai berikut:

- μ (juga kadang dilambangkan sebagai λ) adalah mean atau parameter distribusi

- Nomor Euler: e = 2.71828

- Probabilitas y = k adalah P

- k adalah jumlah keberhasilan 0, 1,2,3 …

- n adalah jumlah tes atau kejadian (ukuran sampel)

Variabel acak diskrit, seperti namanya, bergantung pada kebetulan dan hanya mengambil nilai diskrit: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Rata-rata distribusi diberikan oleh:

Varians σ, yang mengukur penyebaran data, merupakan parameter penting lainnya. Untuk distribusi Poisson adalah:

σ = μ

Poisson menentukan bahwa ketika n → ∞, dan p → 0, mean μ - juga disebut nilai yang diharapkan - cenderung konstan:

-Peristiwa atau peristiwa yang dianggap independen satu sama lain dan terjadi secara acak.

-Peluang P dari peristiwa tertentu yang terjadi selama periode waktu tertentu sangat kecil: P → 0.

- Probabilitas lebih dari satu peristiwa yang terjadi dalam interval waktu adalah 0.

-Nilai rata-rata mendekati konstanta yang diberikan oleh: μ = np (n adalah ukuran sampel)

-Karena dispersi σ sama dengan μ, karena dispersi mengadopsi nilai yang lebih besar, variabilitas juga menjadi lebih besar.

-Acara harus didistribusikan secara merata dalam interval waktu yang digunakan.

-Himpunan nilai yang mungkin dari peristiwa y adalah: 0,1,2,3,4….

-Jumlah variabel i yang mengikuti distribusi Poisson juga merupakan variabel Poisson lainnya. Nilai rata-ratanya adalah jumlah dari nilai rata-rata variabel tersebut.

Beda dengan distribusi binomial

Distribusi Poisson berbeda dari distribusi binomial dalam beberapa hal penting berikut:

-Distribusi binomial dipengaruhi oleh ukuran sampel n dan probabilitas P, tetapi distribusi Poisson hanya dipengaruhi oleh mean μ.

-Dalam distribusi binomial, kemungkinan nilai variabel acak y adalah 0,1,2,…, N, sedangkan dalam distribusi Poisson tidak ada batas atas untuk nilai-nilai tersebut.

Contoh

Poisson awalnya menerapkan distribusinya yang terkenal ke kasus hukum, tetapi pada tingkat industri, salah satu penggunaan paling awal adalah dalam pembuatan bir. Dalam proses ini kultur ragi digunakan untuk fermentasi.

Ragi terdiri dari sel-sel hidup, populasinya bervariasi dari waktu ke waktu. Dalam pembuatan bir perlu dilakukan penambahan jumlah yang diperlukan, oleh karena itu perlu diketahui jumlah sel yang ada per satuan volume.

Selama Perang Dunia II, distribusi Poisson digunakan untuk mengetahui apakah Jerman benar-benar membidik London dari Calais, atau hanya menembak secara acak. Ini penting bagi Sekutu untuk menentukan seberapa bagus teknologi yang tersedia bagi Nazi.

Aplikasi praktis

Penerapan distribusi Poisson selalu mengacu pada hitungan dalam waktu atau hitungan dalam ruang. Dan karena probabilitas kemunculannya kecil, ini juga dikenal sebagai "hukum kejadian langka".

Berikut adalah daftar peristiwa yang termasuk dalam salah satu kategori ini:

-Registrasi partikel dalam peluruhan radioaktif, yang, seperti pertumbuhan sel ragi, merupakan fungsi eksponensial.

-Jumlah kunjungan ke situs web tertentu.

-Arrival orang ke baris untuk membayar atau dihadiri (teori antrian).

-Jumlah mobil yang melewati titik tertentu di jalan, selama interval waktu tertentu.

Gambar 2. Jumlah mobil yang melewati suatu titik secara kasar mengikuti distribusi Poisson. Sumber: Pixabay.

-Mutasi yang terjadi pada rantai DNA tertentu setelah menerima paparan radiasi.

-Jumlah meteorit dengan diameter lebih dari 1 m jatuh dalam setahun.

-Defek per meter persegi kain.

-Jumlah sel darah dalam 1 sentimeter kubik.

-Panggilan per menit ke pertukaran telepon.

- Chocolate chips hadir dalam 1 kg adonan kue.

-Jumlah pohon yang tertular parasit tertentu dalam 1 hektar hutan.

Perhatikan bahwa variabel acak ini mewakili berapa kali suatu peristiwa terjadi selama periode waktu tertentu (panggilan per menit ke pertukaran telepon), atau wilayah ruang tertentu (cacat kain per meter persegi).

Peristiwa ini, sebagaimana telah ditetapkan, tidak bergantung pada waktu yang telah berlalu sejak kejadian terakhir.

Mendekati distribusi binomial dengan distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah pendekatan yang baik untuk distribusi binomial selama:

-Ukuran sampel besar: n ≥ 100

- Probabilitas p kecil: p ≤ 0,1

- μ berada di urutan: np ≤ 10

Dalam kasus seperti itu, distribusi Poisson adalah alat yang sangat baik, karena distribusi binomial mungkin sulit untuk diterapkan dalam kasus ini.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Sebuah studi seismologi menentukan bahwa selama 100 tahun terakhir, ada 93 gempa bumi besar di seluruh dunia, dengan setidaknya 6,0 pada skala Richter -logaritmik-. Misalkan distribusi Poisson adalah model yang sesuai dalam kasus ini. Temukan:

a) Rata-rata kejadian gempa bumi besar per tahun.

b) Jika P (y) adalah probabilitas gempa bumi yang terjadi selama tahun yang dipilih secara acak, temukan probabilitas berikut:

Ini cukup kurang dari P (2).

Hasilnya tercantum di bawah ini:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Sebagai contoh, kita dapat mengatakan bahwa ada kemungkinan 39,5% bahwa tidak ada gempa bumi besar yang akan terjadi pada tahun tertentu. Atau bahwa ada 5,29% dari 3 gempa bumi besar yang terjadi pada tahun tersebut.

Solusi c)

c) Frekuensi dianalisis, dikalikan dengan n = 100 tahun:

39,5; 36,7; 17.1; 5.29; 1,23; 0,229; 0,0355 dan 0,00471.

Sebagai contoh:

- Frekuensi 39,5 menunjukkan bahwa dalam 39,5 dari 100 tahun tidak ada gempa bumi besar yang terjadi, dapat dikatakan cukup dekat dengan hasil sebenarnya dari 47 tahun tanpa gempa besar.

Mari bandingkan hasil Poisson lain dengan hasil aktual:

- Nilai yang diperoleh sebesar 36,7 artinya dalam kurun waktu 37 tahun terjadi 1 gempa besar. Hasil sebenarnya adalah dalam 31 tahun terjadi 1 gempa besar, sesuai dengan model.

- Diperkirakan 17,1 tahun dengan 2 gempa bumi besar dan diketahui bahwa dalam 13 tahun yang mendekati nilai tersebut memang telah terjadi 2 gempa besar.

Oleh karena itu model Poisson dapat diterima untuk kasus ini.

Latihan 2

Sebuah perusahaan memperkirakan jumlah komponen yang gagal sebelum mencapai 100 jam operasi mengikuti distribusi Poisson. Jika jumlah rata-rata kegagalan adalah 8 dalam waktu itu, temukan kemungkinan berikut:

a) Bahwa komponen gagal dalam 25 jam.

b) Kegagalan kurang dari dua komponen, dalam 50 jam.

c) Setidaknya tiga komponen rusak dalam 125 jam.

Solusi untuk)

a) Diketahui bahwa rata-rata kegagalan dalam 100 jam adalah 8, oleh karena itu dalam 25 jam diharapkan seperempat kegagalan, yaitu 2 kegagalan. Ini akan menjadi parameter μ.

Diminta probabilitas 1 komponen gagal, variabel acaknya adalah "komponen yang gagal sebelum 25 jam" dan nilainya adalah y = 1. Dengan mengganti fungsi probabilitas:

Namun, pertanyaannya adalah probabilitas bahwa kurang dari dua komponen gagal dalam 50 jam, bukan berarti 2 komponen gagal dalam 50 jam, oleh karena itu kita harus menambahkan probabilitas bahwa:

-Tidak ada yang gagal

- Kegagalan hanya 1

Parameter μ dari distribusi dalam hal ini adalah:

μ = 8 + 2 = 10 kegagalan dalam 125 jam.

P (3 atau lebih komponen gagal) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Referensi

1. MathWorks. Distribusi racun. Diperoleh dari: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistik Manajemen dan Ekonomi. 3. edisi. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Ajari diri Anda Statistik. Distribusi racun. Diperoleh dari: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Statistika Dasar. 11. Ed. Pendidikan Pearson.
5. Wikipedia. Distribusi racun. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org