SELISIH KUBUS: RUMUS, PERSAMAAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The perbedaan kubus adalah ekspresi aljabar binomial dari bentuk ³ - b ³ , di mana istilah a dan b dapat bilangan real atau ekspresi aljabar dari berbagai jenis. Contoh perbedaan kubus adalah: 8 - x ³ , karena 8 dapat ditulis sebagai 2 ³ .

Secara geometris kita dapat membayangkan sebuah kubus besar, dengan sisi a, dari mana kubus kecil dengan sisi b dikurangi, seperti yang diilustrasikan pada gambar 1:

Gambar 1. Perbedaan kubus. Sumber: F. Zapata.

Volume gambar yang dihasilkan adalah selisih kubus:

V = a ³ - b ³

Untuk mencari ekspresi alternatif, terlihat bahwa gambar ini dapat diuraikan menjadi tiga prisma, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Gambar 2. Selisih kubus (kiri persamaan) sama dengan jumlah volume parsial (kanan). Sumber: F. Zapata.

Prisma memiliki volume yang diberikan oleh produk dari tiga dimensinya: lebar x tinggi x kedalaman. Dengan cara ini, volume yang dihasilkan adalah:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Faktor b sama di sebelah kanan. Selain itu, pada gambar di atas, memang benar bahwa:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Oleh karena itu dapat dikatakan bahwa: b = a - b. Jadi:

Cara menyatakan perbedaan kubus ini akan terbukti sangat berguna dalam banyak aplikasi dan itu akan diperoleh dengan cara yang sama, bahkan jika sisi kubus yang hilang di sudut berbeda dari b = a / 2.

Perhatikan bahwa tanda kurung kedua sangat mirip dengan hasil perkalian penting dari jumlah tersebut, tetapi suku silang tidak dikalikan dengan 2. Pembaca dapat memperluas ruas kanan untuk memverifikasi bahwa ³ - b ³ benar-benar diperoleh .

Contoh

Ada beberapa perbedaan kubus:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² dan ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Mari kita analisis masing-masing. Pada contoh pertama, angka 1 dapat ditulis sebagai 1 = 1 ³ dan suku m ⁶ menjadi: (m ² ) ³ . Kedua istilah tersebut adalah kubus sempurna, oleh karena itu perbedaannya adalah:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

Dalam contoh kedua, istilah-istilahnya ditulis ulang:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Perbedaan kubus ini adalah: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Akhirnya, pecahan (1/125) adalah (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, dan y ⁹ = (y ³ ) ³ . Mengganti semua ini dalam ekspresi aslinya, Anda mendapatkan:

(1/125). X ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Memfaktorkan selisih kubus

Memfaktorkan selisih kubus menyederhanakan banyak operasi aljabar. Untuk melakukan ini, cukup gunakan rumus yang disimpulkan di atas:

Gambar 3. Faktorisasi selisih kubus dan ekspresi hasil bagi yang luar biasa. Sumber: F. Zapata.

Sekarang, prosedur untuk menerapkan rumus ini terdiri dari tiga langkah:

- Pertama-tama akar pangkat tiga dari masing-masing suku perbedaan diperoleh.

- Kemudian binomial dan trinomial yang muncul di sisi kanan rumus dibangun.

- Terakhir, binomial dan trinomial diganti untuk mendapatkan faktorisasi akhir.

Mari kita ilustrasikan penggunaan langkah-langkah ini dengan masing-masing contoh perbedaan kubus yang diusulkan di atas dan dengan demikian mendapatkan persamaan faktornya.

Contoh 1

Faktorkan ekspresi 1 - m ⁶ mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan. Kita mulai dengan menulis ulang ekspresi sebagai 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ untuk mengekstrak akar pangkat tiga masing-masing suku:

Selanjutnya, binomial dan trinomial dibangun:

a = 1

b = m ²

Begitu:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.M ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Akhirnya, itu diganti dengan rumus a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Contoh 2

Menguraikan pd pengali:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Karena ini adalah kubus sempurna, akar pangkat tiga bersifat langsung: a ² b dan 2z ⁴ dan ² , maka berikut ini:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ dan ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Dan sekarang faktorisasi yang diinginkan dibuat:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Pada prinsipnya, pemfaktoran sudah siap, tetapi sering kali perlu untuk menyederhanakan setiap suku. Kemudian produk yang luar biasa - kuadrat dari jumlah - yang muncul di akhir dikembangkan dan kemudian istilah serupa ditambahkan. Mengingat bahwa kuadrat dari suatu penjumlahan adalah:

Produk penting di sebelah kanan dikembangkan seperti ini:

(a ² b + 2z ⁴ dan ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ dan ² + 4z ⁸ dan ⁴

Mengganti ekspansi yang diperoleh dalam faktorisasi selisih kubus:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Terakhir, mengelompokkan suku-suku sejenis dan memfaktorkan koefisien numerik, yang semuanya genap, kita memperoleh:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Contoh 3

Memfaktorkan (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ jauh lebih mudah daripada kasus sebelumnya. Pertama, persamaan dari a dan b diidentifikasi:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Kemudian mereka langsung diganti dalam rumus:

(1/125). X ⁶ - 27y ⁹ =.

Latihan diselesaikan

Seperti yang telah kita katakan, perbedaan kubus memiliki beragam penerapan dalam Aljabar. Mari kita lihat beberapa:

Latihan 1

Pecahkan persamaan berikut:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Solusi untuk

Pertama, persamaan difaktorkan sebagai berikut:

x ² (x ³ - 125) = 0

Karena 125 adalah kubus sempurna, tanda kurung ditulis sebagai selisih kubus:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Solusi pertama adalah x = 0, tetapi kita mencari lebih banyak jika kita membuat x ³ - 5 ³ = 0, maka:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Solusi b

Ruas kiri persamaan ditulis ulang menjadi 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Jadi:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Karena eksponennya sama:

9x = 4 → x = 9/4

Latihan 2

Faktorkan ekspresi:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Larutan

Ekspresi ini adalah selisih pangkat tiga, jika dalam rumus pemfaktoran kita mencatat bahwa:

a = x + y

b = x- y

Kemudian binomial dibangun terlebih dahulu:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Dan sekarang trinomialnya:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Produk terkenal dikembangkan:

Selanjutnya Anda harus mengganti dan mengurangi suku-suku sejenis:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Mempertimbangkan hasil dalam:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Referensi

1. Baldor, A. 1974. Aljabar. Editorial Budaya Venezolana SA
2. Yayasan CK-12. Jumlah dan selisih kubus. Diperoleh dari: ck12.org.
3. Khan Academy. Memfaktorkan perbedaan kubus. Diperoleh dari: es.khanacademy.org.
4. Matematika adalah Tingkat Lanjut yang Menyenangkan. Selisih dua kubus. Diperoleh dari: mathsisfun.com
5. UNAM. Memfaktorkan selisih kubus. Diperoleh dari: dcb.fi-c.unam.mx.