ATURAN SIMPSON: RUMUS, BUKTI, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

Aturan Simpson adalah metode untuk menghitung, mendekati, integral pasti. Hal ini didasarkan pada pembagian interval integrasi ke dalam sub-interval dengan jarak yang sama.

Nilai ekstrim dari dua sub-interval yang berurutan menentukan tiga titik, yang dengannya parabola, yang persamaannya adalah polinomial derajat kedua, cocok.

Gambar 1. Dalam metode Simpson, interval integrasi dibagi menjadi beberapa interval genap dengan lebar yang sama. Fungsi diperkirakan dengan parabola di setiap 2 sub-interval dan integral didekati dengan jumlah area di bawah parabola. Sumber: upv.es.

Kemudian area di bawah kurva fungsi dalam dua interval berurutan didekati dengan luas polinomial interpolasi. Menambahkan kontribusi ke area di bawah parabola dari semua sub-interval yang berurutan, kami memiliki nilai perkiraan integral.

Sebaliknya, karena integral parabola dapat dihitung secara aljabar dengan tepat, maka dimungkinkan untuk mencari rumus analitik untuk nilai perkiraan integral pasti. Ini dikenal sebagai rumus Simpson.

Kesalahan dari hasil perkiraan yang diperoleh menurun karena jumlah subdivisi n lebih besar (di mana n adalah bilangan genap).

Sebuah ekspresi akan diberikan di bawah ini yang memungkinkan estimasi batas atas kesalahan aproksimasi ke integral I, ketika partisi dari n subinterval reguler dari total interval telah dibuat.

Rumus

Interval integrasi dibagi lagi menjadi n subinterval dengan n menjadi bilangan bulat genap. Lebar setiap subdivisi adalah:

h = (b - a) / n

Dengan cara ini, partisi dibuat selama interval:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Dimana X0 = a, X1 = X0 + jam, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Rumus yang memungkinkan untuk mendekati integral pasti I dari fungsi kontinyu, dan lebih disukai halus, dalam interval adalah:

Demonstrasi

Untuk mendapatkan rumus Simpson, di setiap subinterval fungsi f (X) didekati dengan polinomial derajat kedua p (X) (parabola) yang melewati tiga titik :; dan.

Kemudian integral dari polinomial p (x) yang mendekati integral dari fungsi f (X) dalam interval tersebut dihitung.

Gambar 2. Grafik untuk menunjukkan rumus Simpson. Sumber: F. Zapata.

Koefisien dari polinomial interpolasi

Persamaan parabola p (X) berbentuk umum: p (X) = AX ² + BX + C.Ketika parabola melewati titik-titik Q yang ditandai dengan warna merah (lihat gambar), maka koefisien A, B, C ditentukan dari sistem persamaan berikut:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Terlihat bahwa koefisien C ditentukan. Untuk menentukan koefisien A kita menambahkan persamaan pertama dan ketiga diperoleh:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Kemudian nilai C diganti dan A dihapus, meninggalkan:

A = / (2 jam ² )

Untuk menentukan koefisien B, persamaan ketiga dikurangi dari persamaan pertama dan B diselesaikan, sehingga diperoleh:

B = = 2 jam.

Ringkasnya, polinomial derajat kedua p (X) yang melewati titik Qi, Qi + 1 dan Qi + 2 memiliki koefisien:

A = / (2 jam ² )

B = = 2 jam

C = f (Xi + 1)

Penghitungan perkiraan integral dalam

Perhitungan perkiraan integral dalam

Seperti yang telah disebutkan, partisi {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} dibuat pada interval integrasi total dengan langkah h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, di mana n adalah bilangan genap.

Kesalahan perkiraan

Perhatikan bahwa kesalahan berkurang dengan pangkat empat dari jumlah subdivisi dalam interval. Misalnya, jika Anda beralih dari n subdivisi ke 2n, kesalahan berkurang dengan faktor 1/16.

Batas atas kesalahan yang diperoleh melalui pendekatan Simpson dapat diperoleh dari rumus yang sama ini, menggantikan turunan keempat untuk nilai absolut maksimum dari turunan keempat dalam interval.

Contoh yang Berhasil

- Contoh 1

Pertimbangkan fungsi f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Tentukan integral pasti dari fungsi f (X) pada interval menggunakan metode Simpson dengan dua subdivisi (n = 2).

Larutan

Kami mengambil n = 2. Batas integrasi adalah a = -1 dan b = -2, jadi partisi terlihat seperti ini:

X0 = -1; X1 = 0 dan X2 = +1.

Oleh karena itu, rumus Simpson mengambil bentuk berikut:

Gambar 3. Contoh integrasi numerik dengan aturan Simpson menggunakan perangkat lunak. Sumber: F. Zapata.

Referensi

1. Casteleiro, JM 2002. Kalkulus Komprehensif (Edisi Ilustrasi). Madrid: Editorial ESIC.
2. UPV. Metode Simpson. Universitas politeknik Valencia. Dipulihkan dari: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Kalkulus Edisi Kesembilan. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Aturan Simpson. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Interpolasi polinomial lagrange. Diperoleh dari: es.wikipedia.com