The Aturan Sarrus digunakan untuk menghitung hasil dari 3 × 3 faktor penentu. Ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dan mencari tahu apakah keduanya kompatibel.
Sistem yang kompatibel memudahkan untuk mendapatkan solusi. Mereka juga digunakan untuk menentukan apakah himpunan vektor tidak bergantung linier dan untuk membentuk dasar ruang vektor.
Aplikasi ini didasarkan pada matriks yang dapat dibalik. Jika matriks beraturan, determinannya berbeda dari 0. Jika matriks tunggal, determinannya sama dengan 0. Determinan hanya dapat dihitung dalam matriks persegi.
Untuk menghitung matriks urutan apa pun, teorema Laplace dapat digunakan. Teorema ini memungkinkan kita untuk menyederhanakan matriks berdimensi tinggi, dalam jumlah determinan kecil yang kita dekomposisi dari matriks utama.
Ini menyatakan bahwa determinan matriks sama dengan jumlah produk dari setiap baris atau kolom, dikalikan determinan matriks adjoinnya.
Hal ini mereduksi determinan sehingga determinan derajat n menjadi n determinan n-1. Jika kita menerapkan aturan ini secara berturut-turut, kita dapat memperoleh determinan dengan dimensi 2 (2 × 2) atau 3 (3 × 3), yang jauh lebih mudah perhitungannya.
Aturan Sarrus
Pierre Frederic Sarrus adalah seorang matematikawan Prancis abad ke-19. Sebagian besar risalah matematika didasarkan pada metode penyelesaian persamaan dan kalkulus variasi, dalam persamaan numerik.
Dalam salah satu risalahnya, dia memecahkan salah satu teka-teki paling rumit di bidang mekanika. Untuk mengatasi masalah potongan yang diartikulasikan, Sarrus memperkenalkan transformasi gerakan bujursangkar alternatif, dalam gerakan melingkar seragam. Sistem baru ini dikenal sebagai mekanisme Sarrus.
Penelitian yang paling membuat matematikawan ini terkenal adalah di mana ia memperkenalkan metode baru untuk menghitung determinan, dalam artikel "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Metode baru untuk memecahkan persamaan), yang diterbitkan di tahun 1833. Cara memecahkan persamaan linier ini dikenal sebagai aturan Sarrus.
Aturan Sarrus memungkinkan kita menghitung determinan matriks 3 × 3, tanpa perlu menggunakan teorema Laplace, memperkenalkan metode yang jauh lebih sederhana dan lebih intuitif. Untuk memeriksa nilai aturan Sarrus, kami mengambil matriks berdimensi 3:
Perhitungan determinannya akan dilakukan dengan menggunakan produk dari diagonal utamanya, dengan mengurangkan hasil kali diagonal terbalik. Ini akan menjadi sebagai berikut:
Aturan Sarrus memungkinkan kita untuk mendapatkan penglihatan yang jauh lebih mudah saat menghitung diagonal determinan. Ini akan disederhanakan dengan menambahkan dua kolom pertama ke bagian belakang matriks. Dengan cara ini, lebih jelas terlihat mana diagonal utamanya dan mana yang merupakan invers, untuk perhitungan produknya.
Melalui gambar ini kita dapat melihat penerapan aturan Sarrus, kita menyertakan baris 1 dan 2, di bawah representasi grafik dari matriks awal. Dengan cara ini, diagonal utama adalah tiga diagonal yang muncul pertama kali.
Tiga diagonal terbalik, pada gilirannya, adalah yang muncul pertama kali di belakang.
Dengan cara ini, diagonal muncul dengan cara yang lebih visual, tanpa memperumit resolusi determinan, mencoba mencari tahu elemen matriks mana yang termasuk dalam setiap diagonal.
Seperti yang terlihat pada gambar, kami memilih diagonal dan menghitung produk yang dihasilkan dari setiap fungsi. Diagonal yang muncul dengan warna biru adalah yang menjumlahkan. Untuk jumlah ini, kami mengurangi nilai diagonal yang muncul dengan warna merah.
Untuk membuat kompresi lebih mudah, kita dapat menggunakan contoh numerik, daripada menggunakan istilah aljabar dan subterm.
Jika kita mengambil matriks 3 × 3, misalnya:
Untuk menerapkan aturan Sarrus, dan menyelesaikannya dengan cara yang lebih visual, kita harus menyertakan baris 1 dan 2, masing-masing sebagai baris 4 dan 5. Penting untuk menjaga baris 1 di posisi ke-4, dan baris 2 di posisi ke-5. Karena jika kita menukarnya, Aturan Sarrus tidak akan efektif.
Untuk menghitung determinan, matriks kita adalah sebagai berikut:
Untuk melanjutkan perhitungan, kita akan mengalikan elemen diagonal utama. Keturunan yang dimulai dari kiri akan memiliki tanda positif; sedangkan diagonal terbalik, yang dimulai dari kanan, bertanda negatif.
Dalam contoh ini, yang biru memiliki tanda positif dan merah dengan tanda negatif. Perhitungan akhir Aturan Sarrus akan terlihat seperti ini:
Jenis determinan
Determinan dimensi 1
Jika dimensi dari matriks tersebut adalah 1, maka matriks tersebut akan terlihat seperti ini: A = (a)
Oleh karena itu determinannya adalah sebagai berikut: det (A) = -A- = a
Singkatnya, determinan matriks A sama dengan nilai absolut matriks A, yang dalam hal ini adalah a.
Determinan dimensi 2
Jika kita meneruskan ke matriks dimensi 2, kita mendapatkan matriks jenis:
Dimana determinannya didefinisikan sebagai:
Resolusi determinan ini didasarkan pada perkalian diagonal utamanya, dengan mengurangkan hasil kali diagonal terbalik.
Sebagai mnemonik, kita dapat menggunakan diagram berikut untuk mengingat determinannya:
Determinan dimensi 3
Jika dimensi matriksnya adalah 3, matriks yang dihasilkan akan berjenis ini:
Determinan matriks ini akan diselesaikan melalui aturan Sarrus dengan cara ini:
Referensi
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matematika 30 Detik: 50 Teori Paling Memperluas Pikiran dalam Matematika. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Awol Assen (2013) Studi tentang Perhitungan Determinan Matriks 3 × 3. Penerbitan Akademik Lap Lambert.
- Anthony Nicolaides (1994) Penentu & Matriks. Lulus Publikasi.
- Jesse Russell (2012) Aturan Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Pengantar aljabar linier. Editorial ESIC.