KOPLANAR POIN: PERSAMAAN, CONTOH DAN LATIHAN DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2024

Semua poin coplanar dimiliki oleh bidang yang sama. Dua titik selalu coplanar, karena titik-titik ini menentukan garis yang dilewati bidang tak hingga. Kemudian, kedua titik tersebut menjadi milik masing-masing bidang yang melewati garis tersebut dan oleh karena itu, keduanya akan selalu bersilang.

Di sisi lain, tiga titik menentukan bidang tunggal, yang kemudian diikuti bahwa tiga titik akan selalu coplanar ke bidang yang mereka tentukan.

Gambar 1. A, B, C dan D adalah koplanar ke bidang (Ω). E, F dan G bukan koplanar ke (Ω) tetapi mereka koplanar ke bidang yang mereka tentukan. Sumber: F. Zapata.

Lebih dari tiga poin bisa coplanar atau tidak. Misalnya pada gambar 1, titik A, B, C dan D adalah koplanar ke bidang (Ω). Tetapi E, F dan G bukan coplanar ke (Ω), meskipun keduanya coplanar ke bidang yang mereka tentukan.

Persamaan bidang diberi tiga poin

Persamaan bidang yang ditentukan oleh tiga titik A, B, C yang diketahui adalah relasi matematis yang menjamin bahwa setiap titik P dengan koordinat umum (x, y, z) yang memenuhi persamaan tersebut termasuk dalam bidang tersebut.

Pernyataan sebelumnya setara dengan mengatakan bahwa jika P koordinat (x, y, z) memenuhi persamaan bidang, maka titik tersebut akan bersilang dengan tiga titik A, B, C yang menentukan bidang tersebut.

Untuk mencari persamaan bidang ini, mari kita mulai dengan mencari vektor AB dan AC :

AB =

AC =

Hasil kali vektor AB X AC menghasilkan vektor tegak lurus atau normal terhadap bidang yang ditentukan oleh titik A, B, C.

Setiap titik P dengan koordinat (x, y, z) termasuk dalam bidang jika vektor AP tegak lurus dengan vektor AB X AC , yang dijamin jika:

AP • (AB X AC) = 0

Ini sama dengan mengatakan bahwa perkalian tiga dari AP , AB, dan AC adalah nol. Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks:

Contoh

Misalkan titik A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) dan D (a, 0, 1). Nilai apa yang harus dimiliki agar empat poin menjadi coplanar?

Larutan

Untuk mencari nilai a, titik D harus merupakan bagian dari bidang yang ditentukan oleh A, B, dan C, yang dijamin jika memenuhi persamaan bidang tersebut.

Mengembangkan determinan yang kami miliki:

Persamaan sebelumnya memberi tahu kita bahwa a = -1 agar persamaan terpenuhi. Dengan kata lain, satu-satunya cara titik D (a, 0,1) adalah koplanar dengan titik A, B dan C agar a menjadi -1. Jika tidak, itu tidak akan menjadi coplanar.

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Sebuah bidang memotong sumbu Kartesius X, Y, Z masing-masing pada 1, 2, dan 3. Perpotongan bidang ini dengan sumbu menentukan titik A, B dan C. Tentukan komponen Dz dari titik D, yang komponen Kartesiannya adalah:

Asalkan D coplanar dengan titik A, B dan C.

Larutan

Ketika perpotongan sebuah bidang dengan sumbu Cartesian diketahui, bentuk segmental dari persamaan bidang tersebut dapat digunakan:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Karena titik D harus milik bidang sebelumnya, ia harus:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Artinya:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa titik D (3, -2, -3) adalah koplanar dengan titik A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) dan C (0, 0, 3).

- Latihan 2

Tentukan apakah titik A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) dan D (2, 3, 1) adalah koplanar.

Larutan

Kami membentuk matriks yang barisnya adalah koordinat DA, BA, dan CA. Kemudian determinan dihitung dan diverifikasi apakah itu nol atau tidak.

Setelah melakukan semua perhitungan, disimpulkan bahwa mereka adalah coplanar.

- Latihan 3

Ada dua garis di luar angkasa. Salah satunya adalah garis (R) yang persamaan parametriknya adalah:

Dan yang lainnya adalah garis (S) yang persamaannya adalah:

Tunjukkan bahwa (R) dan (S) adalah garis coplanar, yaitu, mereka terletak pada bidang yang sama.

Larutan

Mari kita mulai dengan mengambil dua titik pada garis (R) dan dua pada garis (S):

Garis (R): λ = 0; A (1, 1, 1) dan λ = 1; B (3, 0, 1)

Misalkan x = 0 pada garis (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Dan sebaliknya, jika kita membuat y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Artinya, kita telah mengambil titik A dan B yang menjadi milik garis (R) dan titik C dan D yang menjadi milik garis (S). Jika titik-titik tersebut coplanar, maka kedua garis tersebut juga akan sama.

Sekarang kita memilih titik A sebagai pivot dan kemudian kita menemukan koordinat vektor AB , AC dan AD. Dengan cara ini Anda mendapatkan:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Langkah selanjutnya adalah menyusun dan menghitung determinan yang baris pertamanya adalah koefisien vektor AB , baris kedua adalah koefisien AC dan baris ketiga adalah koefisien vektor AD :

Karena determinannya ternyata nol, maka kita dapat menyimpulkan bahwa keempat titik tersebut adalah koplanar. Selain itu dapat dinyatakan bahwa garis (R) dan (S) juga koplanar.

- Latihan 4

Garis (R) dan (S) adalah koplanar, seperti yang ditunjukkan pada Latihan 3. Tentukan persamaan bidang yang memuatnya.

Larutan

Titik A, B, C sepenuhnya mendefinisikan bidang tersebut, tetapi kami ingin memaksakan bahwa setiap titik X koordinat (x, y, z) adalah miliknya.

Agar X termasuk dalam bidang yang ditentukan oleh A, B, C dan di mana terdapat garis (R) dan (S), determinan yang dibentuk di baris pertama oleh komponen AX , di baris kedua oleh AB dan yang ketiga oleh AC :

Mengikuti hasil ini, kami mengelompokkan dengan cara ini:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Dan segera Anda melihat bahwa itu dapat ditulis ulang seperti ini:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Oleh karena itu x + 2y - z = 2 adalah persamaan bidang yang mengandung garis (R) dan (S).

Referensi

1. Fleming, W. 1989. Matematika Prekalkulus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Aljabar Linear. Pendidikan Pearson.
3. Leal, JM 2005. Geometri Analitik Datar. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektor. Dipulihkan dari: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Pra-perhitungan. Pendidikan Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Konsep Dasar Geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pendidikan Pearson.