NOMOR EULER ATAU NOMOR E: BERAPA NILAINYA, PROPERTI, APLIKASI - MATEMATIKA - 2025

The Euler nomor atau nomor e adalah konstanta matematika terkenal yang sering muncul dalam berbagai aplikasi ilmiah dan ekonomi, bersama dengan π jumlah dan nomor penting lainnya dalam matematika.

Kalkulator ilmiah mengembalikan nilai berikut untuk bilangan e:

Gambar 1. Bilangan Euler sering muncul di Science. Sumber: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Tetapi lebih banyak desimal yang diketahui, misalnya:

e = 2,71828182845904523536…

Dan komputer modern telah menemukan triliunan tempat desimal untuk bilangan e.

Ini adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia memiliki jumlah tempat desimal yang tak terhingga tanpa pola yang berulang (urutan 1828 muncul dua kali di awal dan tidak lagi berulang).

Dan itu juga berarti bahwa bilangan e tidak dapat diperoleh sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat.

Sejarah

Angka e diidentifikasi oleh ilmuwan Jacques Bernoulli pada tahun 1683 ketika dia mempelajari masalah bunga majemuk, tetapi sebelumnya angka itu muncul secara tidak langsung dalam karya matematikawan Skotlandia John Napier, yang menemukan logaritma sekitar tahun 1618.

Namun, Leonhard Euler pada tahun 1727 yang memberinya nama nomor e dan mempelajari propertinya secara intensif. Inilah sebabnya mengapa ia juga dikenal sebagai bilangan Euler dan juga sebagai basis alami untuk logaritma natural (eksponen) yang saat ini digunakan.

Berapa nilai angka e?

Angka e bernilai:

e = 2,71828182845904523536…

Elipsis berarti bahwa ada jumlah tempat desimal yang tak terhingga dan faktanya, dengan komputer saat ini, jutaan diantaranya diketahui.

Representasi dari nomor e

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan e yang kami jelaskan di bawah ini:

Angka e sebagai pembatas

Salah satu dari berbagai cara pengungkapan bilangan e adalah yang ditemukan oleh ilmuwan Bernoulli dalam karyanya tentang bunga majemuk:

Di mana Anda harus membuat nilai n menjadi angka yang sangat besar.

Sangat mudah untuk memeriksa, dengan bantuan kalkulator, bahwa ketika n sangat besar, ekspresi sebelumnya cenderung ke nilai e yang diberikan di atas.

Tentu kita bisa bertanya pada diri kita sendiri seberapa besar n bisa dibuat, jadi mari kita coba bilangan bulat, seperti ini misalnya:

n = 1000; 10.000 atau 100.000

Dalam kasus pertama kita mendapatkan e = 2.7169239…. Dalam e = 2,7181459 kedua… dan yang ketiga itu lebih dekat dengan nilai e: 2,7182682. Kita sudah bisa membayangkan bahwa dengan n = 1.000.000 atau lebih besar, aproksimasi akan menjadi lebih baik.

Dalam bahasa matematika, prosedur membuat n semakin mendekati nilai yang sangat besar disebut limit to infinity dan dilambangkan seperti ini:

Untuk menunjukkan tak terhingga, simbol "∞" digunakan.

Angka e sebagai penjumlahan

Juga dimungkinkan untuk menentukan angka e melalui operasi ini:

Angka yang muncul pada penyebut: 1, 2, 6, 24, 120… sesuai dengan operasi n!, Dimana:

Dan menurut definisi 0! = 1.

Mudah untuk memeriksa bahwa semakin banyak tambahan yang ditambahkan, semakin tepat angka e dicapai.

Mari kita lakukan beberapa tes dengan kalkulator, menambahkan lebih banyak dan lebih banyak tambahan:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Semakin banyak suku yang ditambahkan ke dalam penjumlahan, semakin mirip hasilnya.

Matematikawan merancang notasi ringkas untuk jumlah-jumlah ini yang melibatkan banyak suku, menggunakan simbol penjumlahan Σ:

Ekspresi ini dibaca seperti ini "jumlah dari n = 0 sampai tak terhingga 1 antara n faktorial".

Angka e dari sudut pandang geometris

Angka e memiliki representasi grafis yang terkait dengan area di bawah grafik kurva:

y = 1 / x

Jika nilai x berada di antara 1 dan e, luas ini sama dengan 1, seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut:

Gambar 2. Representasi grafis dari bilangan e: area di bawah kurva 1 / x, antara x = 1 dan x = e bernilai 1. Sumber: F. Zapata.

Properti nomor e

Beberapa sifat bilangan e adalah:

-Ini irasional, dengan kata lain, tidak dapat diperoleh hanya dengan membagi dua bilangan bulat.

-Bilangan e juga merupakan bilangan transenden, yang berarti e bukanlah solusi untuk persamaan polinomial apa pun.

-Hal ini terkait dengan empat bilangan terkenal lainnya di bidang matematika yaitu: π, i, 1 dan 0, melalui identitas Euler:

-Bilangan kompleks yang disebut dapat diekspresikan melalui e.

-Ini merupakan dasar dari logaritma natural atau natural saat ini (definisi asli John Napier sedikit berbeda).

-Ini adalah satu-satunya bilangan yang logaritma aslinya sama dengan 1, yaitu:

Aplikasi

Statistik

Angka e sangat sering muncul di bidang probabilitas dan statistik, muncul dalam berbagai distribusi, seperti normal atau Gaussian, Poisson dan lainnya.

Teknik

Dalam teknik sering terjadi, karena fungsi eksponensial y = e ^x terdapat dalam mekanika dan elektromagnetisme, misalnya. Di antara banyak aplikasi yang dapat kami sebutkan:

-Kabel atau rantai yang digantung di ujungnya, mengadopsi bentuk kurva yang diberikan oleh:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-Kapasitor C yang awalnya habis, yang dihubungkan secara seri ke resistor R dan sumber tegangan V untuk diisi, memperoleh muatan tertentu Q sebagai fungsi waktu t yang diberikan oleh:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

biologi

Fungsi eksponensial y = Ae ^Bx , dengan konstanta A dan B, digunakan untuk memodelkan pertumbuhan sel dan pertumbuhan bakteri.

Fisik

Dalam fisika nuklir, peluruhan radioaktif dan penentuan usia dimodelkan dengan penanggalan radiokarbon.

Ekonomi

Dalam perhitungan bunga majemuk, angka e muncul secara alami.

Misalkan Anda memiliki sejumlah uang P _o untuk diinvestasikan dengan tingkat bunga i% per tahun.

Jika Anda meninggalkan uang selama 1 tahun, setelah itu Anda akan memiliki:

Setelah satu tahun tanpa menyentuhnya, Anda akan memiliki:

Dan berlanjut seperti ini selama n tahun:

Sekarang mari kita ingat salah satu definisi e:

Ini terlihat seperti ekspresi P, jadi pasti ada hubungan.

Kami akan mendistribusikan suku bunga nominal i dalam n periode waktu, dengan cara ini suku bunga majemuk adalah i / n:

Ekspresi ini terlihat sedikit lebih seperti batas kami, tetapi masih tidak persis sama.

Namun, setelah beberapa manipulasi aljabar dapat ditunjukkan bahwa dengan melakukan perubahan variabel ini:

Uang kita P menjadi:

Dan apa yang ada di antara tanda kurung, bahkan jika ditulis dengan huruf h, sama dengan argumen batas yang mendefinisikan angka e, hanya kehilangan batasnya.

Mari kita buat h → ∞, dan apa yang ada di antara tanda kurung menjadi bilangan e. Ini tidak berarti bahwa kita harus menunggu waktu yang sangat lama untuk menarik uang kita.

Jika kita melihat lebih dekat, dengan membuat h = n / i dan cenderung ke ∞, apa yang sebenarnya telah kita lakukan adalah menyebarkan suku bunga selama periode waktu yang sangat, sangat kecil:

i = n / jam

Ini disebut peracikan kontinu. Dalam kasus seperti ini, jumlah uang mudah dihitung seperti ini:

Dimana i adalah tingkat bunga tahunan. Misalnya, saat menyetor € 12 dengan harga 9% per tahun, melalui kapitalisasi terus menerus, setelah satu tahun Anda memiliki:

Dengan keuntungan € 1,13.

Referensi

1. Selamat menikmati matematika. Bunga majemuk: Komposisi periodik. Diperoleh dari: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Diversifikasi. Edisi CO-BO.
3. García, M. Angka e dalam kalkulus dasar. Diperoleh dari: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Perhitungan variabel. 9. Edisi. McGraw Hill.