MOMEN INERSIA: RUMUS, PERSAMAAN DAN CONTOH PERHITUNGAN - FISIK - 2025

The momen inersia dari benda tegar terhadap sumbu tertentu rotasi merupakan ketahanan terhadap perubahan kecepatan sudut di seluruh kata sumbu. Ini sebanding dengan massa dan juga dengan lokasi sumbu rotasi, karena benda, tergantung pada geometrinya, dapat berputar lebih mudah di sekitar sumbu tertentu daripada di sumbu lain.

Misalkan sebuah benda besar (terdiri dari banyak partikel) yang dapat berputar mengelilingi suatu sumbu. Misalkan gaya F bekerja , diterapkan secara tangensial pada elemen massa Δm _i , yang menghasilkan torsi atau momen, yang diberikan oleh τ _net = ∑ r _i x F _i . Vektor r _i adalah posisi dari Δm _i (lihat gambar 2).

Gambar 1. Momen inersia berbagai gambar. Sumber: Wikimedia Commons.

Momen ini tegak lurus dengan bidang rotasi (arah + k = meninggalkan kertas). Karena gaya dan vektor posisi radial selalu tegak lurus, perkalian silang tetap:

τ _bersih = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Gambar 2. Sebuah partikel yang termasuk dalam benda padat dalam rotasi. Sumber: Serway, R. 2018. Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Pembelajaran Cengage.

Percepatan a _i merupakan komponen tangensial dari percepatan, karena percepatan radial tidak berkontribusi pada torsi. Sebagai fungsi dari percepatan sudut α, kita dapat menunjukkan bahwa:

Oleh karena itu torsi bersihnya terlihat seperti ini:

τ _bersih = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Percepatan sudut α sama untuk keseluruhan benda, oleh karena itu tidak terpengaruh oleh subskrip “i” dan dapat meninggalkan penjumlahan, yaitu momen inersia benda yang disimbolkan dengan huruf I:

Ini adalah momen inersia dari distribusi massa diskrit. Jika distribusi kontinu, penjumlahan diganti dengan integral dan Δm menjadi diferensial massa dm. Integral dilakukan di seluruh objek:

Satuan momen inersia dalam Sistem Internasional SI adalah kg xm ² . Ini adalah skalar dan besaran positif, karena merupakan hasil kali dari massa dan kuadrat jarak.

Contoh perhitungan

Benda yang diperluas, seperti batang, piringan, bola atau lainnya, yang kerapatannya ρ konstan dan mengetahui bahwa massa jenis adalah rasio massa-volume, diferensial massa dm ditulis sebagai:

Mengganti integral untuk momen inersia, kita memiliki:

Ini adalah ekspresi umum, berlaku untuk objek tiga dimensi, yang volume V dan posisi rnya merupakan fungsi dari koordinat spasial x, y, dan z. Perhatikan bahwa karena konstan, kepadatan berada di luar integral.

Massa jenis ρ disebut juga dengan bulk density, namun jika benda tersebut sangat datar, seperti lembaran atau sangat tipis dan sempit seperti batang, dapat digunakan bentuk massa jenis lain, mari kita lihat:

- Untuk lembaran yang sangat tipis, densitas yang digunakan adalah σ, densitas permukaan (massa per satuan luas) dan dA adalah diferensial luas.

- Dan jika itu adalah batang tipis yang hanya panjangnya yang relevan, maka digunakan massa jenis linier λ dan diferensial panjang, sesuai dengan sumbu yang digunakan sebagai acuan.

Dalam contoh berikut, semua objek dianggap kaku (tidak dapat dideformasi) dan memiliki kerapatan seragam.

Momen inersia batang tipis sehubungan dengan sumbu yang melewati pusatnya

Di sini kita akan menghitung momen inersia batang tipis, kaku, homogen dengan panjang L dan massa M, sehubungan dengan sumbu yang melewati medium.

Pertama, perlu dibuat sistem koordinat dan membangun gambar dengan geometri yang sesuai, seperti ini:

Gambar 3. Geometri untuk menghitung momen inersia sebuah batang tipis terhadap sumbu vertikal yang melewati pusatnya. Sumber: F. Zapata.

Sumbu x sepanjang batang dan sumbu y dipilih sebagai sumbu rotasi. Prosedur untuk menetapkan integral juga mensyaratkan pemilihan diferensial massa pada batang, yang disebut dm, yang memiliki panjang diferensial dx dan terletak pada posisi sembarang x, sehubungan dengan pusat x = 0.

Menurut definisi massa jenis linier λ:

Karena massa jenis seragam, yang berlaku untuk M dan L, massa jenis juga berlaku untuk dm dan dx:

Di sisi lain, elemen massa berada pada posisi x, jadi dengan mengganti geometri ini dalam definisi, kita memiliki integral tertentu, yang batasnya adalah ujung-ujung batang menurut sistem koordinat:

Mengganti kerapatan linier λ = M / L:

Untuk mencari momen inersia batang terhadap sumbu rotasi lain, misalnya sumbu yang melewati salah satu titik ekstremnya, Anda dapat menggunakan teorema Steiner (lihat latihan yang diselesaikan di bagian akhir) atau melakukan perhitungan langsung yang serupa dengan yang ditunjukkan pada gambar. di sini, tetapi memodifikasi geometri dengan tepat.

Momen inersia disk terhadap sumbu yang melewati pusatnya

Disk yang sangat tipis dengan ketebalan yang dapat diabaikan adalah sosok datar. Jika massa terdistribusi merata di seluruh permukaan area A, kerapatan massa σ adalah:

Baik dm dan dA sama dengan massa dan luas cincin diferensial yang ditunjukkan pada gambar. Kami akan berasumsi bahwa seluruh perakitan berputar di sekitar sumbu y.

Anda dapat membayangkan bahwa piringan tersebut terdiri dari banyak cincin konsentris dengan radius r, masing-masing dengan momen inersia masing-masing. Menambahkan kontribusi dari semua cincin sampai mencapai radius R, kita akan mendapatkan momen inersia total dari piringan tersebut.

Gambar 4. Geometri untuk menghitung momen inersia dari sebuah piringan, dengan memperhatikan sumbu aksial. Sumber: F. Zapata.

Dimana M mewakili seluruh massa disk. Luas sebuah cakram bergantung pada radius r sebagai:

Berasal sehubungan dengan r:

Mengganti definisi di atas dalam definisi I:

Mengganti σ = M / (π.R ² ) kita dapatkan:

Momen inersia bola padat sekitar diameter

Bola dengan jari-jari R dapat dianggap sebagai rangkaian cakram yang ditumpuk satu di atas yang lain, di mana setiap cakram bermassa sangat kecil dm, jari-jari r dan ketebalan dz, memiliki momen inersia yang diberikan oleh:

Untuk mencari perbedaan ini, kita hanya mengambil rumus dari bagian sebelumnya dan menggantikan masing-masing dm dan r dengan M dan R. Disk seperti ini dapat dilihat pada geometri gambar 5.

Gambar 5. Geometri untuk menghitung momen inersia bola padat berjari-jari R terhadap sumbu yang melewati suatu diameter. Sumber: F. Zapata.

Dengan menambahkan semua momen sangat kecil dari inersia disk yang ditumpuk, total momen inersia bola diperoleh:

Yang mana setara dengan:

Untuk menyelesaikan integral, Anda perlu mengekspresikan dm dengan tepat. Seperti biasa, itu dicapai dari kepadatan:

Volume disk diferensial adalah:

Ketinggian piringan adalah tebal dz, sedangkan luas alasnya adalah πr ² , oleh karena itu:

Dan mengganti integral yang diusulkan itu akan terlihat seperti ini:

Tetapi sebelum mengintegrasikan, kita harus mengamati bahwa r –jari-jari cakram- bergantung pada z dan R –jari-jari bola-, seperti yang dapat dilihat dari gambar 5. Menggunakan Teorema Pythagoras:

Yang membawa kita ke:

Untuk mengintegrasikan seluruh sphere, kami mencatat bahwa z bervariasi antara –R dan R, oleh karena itu:

Mengetahui bahwa ρ = M / V = ​​M / akhirnya diperoleh, setelah disederhanakan:

Momen inersia silinder padat terhadap sumbu aksial

Untuk benda ini digunakan metode yang mirip dengan yang digunakan untuk bola, hanya saja kali ini akan lebih mudah jika silinder dibayangkan terbuat dari cangkang silinder dengan jari-jari r, ketebalan dr dan tinggi H, seolah-olah itu adalah lapisan bawang. .

Gambar 6. Geometri untuk menghitung momen inersia silinder padat berjari-jari R terhadap sumbu aksial. Sumber: Serway, R. 2018. Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Keterlibatan.

Volume dV dari lapisan silinder adalah:

Oleh karena itu massa cangkang adalah:

Ekspresi ini digantikan dalam definisi momen inersia:

Persamaan di atas menunjukkan bahwa momen inersia silinder tidak bergantung pada panjangnya, tetapi pada massa dan jari-jarinya saja. Jika L berubah, momen inersia di sekitar sumbu aksial akan tetap sama. Untuk alasan ini, I silinder bertepatan dengan yang ada pada disk tipis yang dihitung sebelumnya.

Momen inersia lembaran persegi panjang terhadap sumbu yang melewati pusatnya

Sumbu y horizontal telah dipilih sebagai sumbu rotasi. Gambar di bawah ini menunjukkan geometri yang diperlukan untuk melakukan integrasi:

Gambar 7. Geometri untuk menghitung momen inersia pelat persegi panjang terhadap sumbu yang sejajar dengan lembaran dan melewati pusatnya. Sumber: F. Zapata.

Elemen area yang ditandai dengan warna merah adalah persegi panjang. Luasnya alas x tinggi, oleh karena itu:

Oleh karena itu, perbedaan massa adalah:

Adapun jarak dari elemen area ke sumbu rotasinya selalu z. Kami mengganti semua ini dalam integral momen inersia:

Sekarang kerapatan massa permukaan σ diganti dengan:

Dan pasti terlihat seperti ini:

Perhatikan bahwa ini seperti bilah tipis.

Momen inersia lembaran persegi sehubungan dengan sumbu yang melewati pusatnya

Untuk persegi dengan sisi L, dalam ekspresi sebelumnya yang valid untuk persegi panjang, cukup gantikan nilai dari b untuk L:

Teorema Momen Inersia

Ada dua teorema yang sangat berguna untuk menyederhanakan penghitungan momen inersia terhadap sumbu lain, yang bisa jadi sulit ditemukan karena kurangnya simetri. Teorema tersebut adalah:

Teorema Steiner

Juga disebut teorema sumbu paralel, ini menghubungkan momen inersia terhadap sumbu dengan sumbu lain yang melewati pusat massa benda, selama sumbu tersebut sejajar. Untuk mengaplikasikannya perlu diketahui jarak D antara kedua sumbu dan tentunya massa M dari benda tersebut.

Misalkan I _{z adalah} momen inersia sebuah benda yang diperpanjang terhadap sumbu z, I _CM momen inersia terhadap sumbu yang melewati pusat massa (CM) benda tersebut, maka dapat dipastikan bahwa:

Atau pada notasi gambar berikut: I _{z '} = I _z + Md ²

Gambar 8. Teorema Steiner atau sumbu paralel. Sumber: Wikimedia Commons. Jack See

Teorema sumbu tegak lurus

Teorema ini diterapkan pada permukaan bidang dan seperti ini: momen inersia objek bidang di sekitar sumbu tegak lurus adalah jumlah momen inersia di sekitar dua sumbu tegak lurus dengan sumbu pertama:

Gambar 9. Teorema sumbu tegak lurus. Sumber: F. Zapata.

Jika benda memiliki kesimetrisan sehingga I _x dan I _y sama, maka benar:

Latihan diselesaikan

Temukan momen inersia batang terhadap sumbu yang melewati salah satu ujungnya, seperti yang ditunjukkan pada gambar 1 (di bawah dan ke kanan) dan gambar 10.

Gambar 10. Momen inersia batang homogen di sekitar sumbu yang melewati salah satu ujungnya. Sumber: F. Zapata.

Larutan:

Kita sudah memiliki momen inersia batang di sekitar sumbu yang melewati pusat geometrisnya. Karena batangnya homogen, pusat massanya berada pada titik tersebut, jadi ini akan menjadi I _{CM kita} untuk menerapkan teorema Steiner.

Jika panjang balok adalah L, maka sumbu z berada pada jarak D = L / 2, maka:

Referensi

1. Bauer, W. 2011. Fisika untuk Teknik dan Sains. Jilid 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Dasar-dasar Fisika. Pearson. 190-200.
3. Teorema Sumbu Paralel. Diperoleh dari: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fisika untuk Sains dan Teknik. Volume 1. Keterlibatan.
5. Universitas Sevilla. Momen inersia padatan bulat. Diperoleh dari: laplace.us.es.
6. Universitas Sevilla. Momen inersia sistem partikel. Diperoleh dari: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Teorema sumbu paralel. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org