Ada matriks ortogonal ketika matriks tersebut dikalikan dengan hasil transposnya dalam matriks identitas. Jika invers dari suatu matriks sama dengan transpose maka matriks aslinya adalah ortogonal.
Matriks ortogonal memiliki karakteristik bahwa jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Selanjutnya, vektor baris adalah vektor ortogonal satuan dan vektor baris transpos juga.
Gambar 1. Contoh matriks ortogonal dan bagaimana matriks tersebut mengubah objek geometris. (Disiapkan oleh Ricardo Pérez)
Ketika matriks ortogonal dikalikan dengan vektor ruang vektor, ia menghasilkan transformasi isometrik, yaitu transformasi yang tidak mengubah jarak dan mempertahankan sudut.
Representasi khas dari matriks ortogonal adalah matriks rotasi. Transformasi matriks ortogonal pada ruang vektor disebut transformasi ortogonal.
Transformasi geometrik dari rotasi dan refleksi titik-titik yang direpresentasikan oleh vektor Cartesiannya dilakukan dengan mengaplikasikan matriks ortogonal pada vektor asli untuk mendapatkan koordinat dari vektor yang ditransformasikan. Karena alasan inilah matriks ortogonal banyak digunakan dalam pemrosesan grafik komputer.
Properti
Sebuah matriks M adalah ortogonal jika dikalikan dengan transposnya M T memberikan sebagai hasilnya matriks identitas I . Demikian pula, hasil kali transpos dari matriks ortogonal dengan matriks asli menghasilkan matriks identitas:
MM T = M T M = Saya
Sebagai konsekuensi dari pernyataan sebelumnya, kita mendapatkan bahwa transpos dari matriks ortogonal sama dengan matriks inversnya:
M T = M -1 .
Himpunan matriks ortogonal dimensi nxn membentuk kelompok ortogonal O (n). Dan subset dari O (n) dari matriks ortogonal dengan determinan +1 membentuk Kelompok Matriks Khusus Bersatu SU (n). Matriks dari kelompok SU (n) adalah matriks yang menghasilkan transformasi linier dari rotasi, juga dikenal sebagai kelompok rotasi.
Demonstrasi
Kami ingin menunjukkan bahwa matriks adalah ortogonal jika, dan hanya jika, vektor baris (atau vektor kolom) ortogonal satu sama lain dan sesuai norma 1.
Misalkan baris dari matriks ortogonal nxn adalah n atau vektor normal berdimensi n. Jika dilambangkan dengan v 1 , v 2 ,…., V n ke n vektor berlaku:
Dimana terbukti bahwa memang himpunan vektor baris adalah himpunan vektor ortogonal dengan norma satu.
Contoh
Contoh 1
Tunjukkan bahwa matriks 2 x 2 yang pada baris pertamanya memiliki vektor v1 = (-1 0) dan pada baris kedua vektor v2 = (0 1) merupakan matriks ortogonal.
Solusi: Matriks M dibuat dan transposenya M T dihitung :
Dalam contoh ini, matriks M ditransposisikan sendiri, yaitu matriks dan transposenya identik. Kalikan M dengan transposenya M T :
Diverifikasi bahwa MM T sama dengan matriks identitas:
Ketika matriks M dikalikan dengan koordinat vektor atau titik, diperoleh koordinat baru yang sesuai dengan transformasi yang dilakukan matriks pada vektor atau titik tersebut.
Gambar 1 menunjukkan bagaimana M mengubah vektor u menjadi u ' dan juga bagaimana M mengubah poligon biru menjadi poligon merah. Karena M ortogonal, maka M adalah transformasi ortogonal, yang menjaga jarak dan sudut.
Contoh 2
Misalkan Anda memiliki matriks 2 x 2 yang ditentukan dalam real yang diberikan oleh ekspresi berikut:
Tentukan nilai riil dari a, b, c dan d sehingga matriks M adalah matriks ortogonal.
Solusi: Secara definisi, matriks adalah ortogonal jika dikalikan dengan transposnya, matriks identitas diperoleh. Mengingat bahwa matriks yang ditransposisikan diperoleh dari aslinya, menukar baris dengan kolom, persamaan berikut diperoleh:
Melakukan perkalian matriks yang kami miliki:
Menyamakan elemen-elemen matriks kiri dengan elemen-elemen matriks identitas di sebelah kanan, kita mendapatkan sistem empat persamaan dengan empat persamaan yang tidak diketahui a, b, c dan d.
Kami mengusulkan untuk a, b, c dan d ekspresi berikut dalam hal rasio trigonometri sinus dan cosinus:
Dengan proposal ini dan karena identitas trigonometri fundamental, persamaan pertama dan ketiga secara otomatis terpenuhi dalam persamaan elemen matriks. Persamaan ketiga dan keempat adalah sama dan dalam persamaan matriks setelah mengganti nilai yang diusulkan terlihat seperti ini:
yang mengarah ke solusi berikut:
Akhirnya solusi berikut diperoleh untuk matriks ortogonal M:
Perhatikan bahwa solusi pertama memiliki determinan +1 sehingga termasuk dalam grup SU (2), sedangkan solusi kedua memiliki determinan -1 dan oleh karena itu tidak termasuk dalam grup ini.
Contoh 3
Diketahui matriks berikut, temukan nilai a dan b sehingga kita memiliki matriks ortogonal.
Solusi: Untuk suatu matriks yang ortogonal, produk dengan transposenya harus matriks identitas. Kemudian, produk matriks dari matriks yang diberikan dengan matriks yang ditransposisikan dilakukan, memberikan hasil sebagai berikut:
Selanjutnya hasilnya disamakan dengan matriks identitas 3 x 3:
Pada baris kedua, kolom ketiga memiliki (ab = 0), tetapi a tidak boleh nol, karena jika tidak persamaan elemen baris kedua dan kolom kedua tidak akan terpenuhi. Maka perlu b = 0. Mengganti b untuk nilai 0 yang kita miliki:
Kemudian persamaan diselesaikan: 2a ^ 2 = 1, yang solusinya adalah: + ½√2 dan -½√2.
Mengambil solusi positif untuk a, matriks ortogonal berikut diperoleh:
Pembaca dapat dengan mudah memverifikasi bahwa vektor baris (dan juga vektor kolom) adalah ortogonal dan kesatuan, yaitu ortonormal.
Contoh 4
Tunjukkan bahwa matriks A yang vektor barisnya v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) dan v3 = (0 0 -1) adalah matriks ortogonal. Selain itu, temukan vektor yang ditransformasikan dari basis kanonik i, j, k menjadi vektor u1 , u2 dan u3 .
Solusi: Harus diingat bahwa elemen (i, j) dari matriks dikalikan dengan transposnya, adalah hasil kali skalar dari vektor baris (i) dengan kolom (j) dari transpos. Lebih lanjut, hasil kali ini sama dengan delta Kronecker dalam hal matriksnya ortogonal:
Dalam kasus kami, tampilannya seperti ini:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Dengan itu ditunjukkan bahwa itu adalah matriks ortogonal.
Selanjutnya u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) dan terakhir u3 = A k = (0, 0, -1)
Referensi
- Anthony Nicolaides (1994) Penentu & Matriks. Lulus Publikasi.
- Birkhoff dan MacLane. (1980). Aljabar Modern, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Pengantar aljabar linier. Editorial ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matematika 30 Detik: 50 Teori Paling Memperluas Pikiran dalam Matematika. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Matriks ortogonal. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Matriks ortogonal. Diperoleh dari: en.wikipedia.com