HARAPAN MATEMATIKA: RUMUS, SIFAT, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2025

The ekspektasi matematika atau nilai yang diharapkan dari variabel acak X, dinotasikan sebagai E (X) dan didefinisikan sebagai jumlah dari produk antara probabilitas peristiwa acak terjadi dan nilai event kata.

Dalam bentuk matematis diungkapkan sebagai berikut:

Gambar 1. Ekspektasi matematis banyak digunakan di pasar saham dan asuransi. Sumber: Pixabay.

Dimana x _i adalah nilai kejadian dan P (x _i ) probabilitas kejadiannya. Penjumlahan meluas ke semua nilai yang diakui X. Dan jika ini terbatas, jumlah yang ditunjukkan menyatu dengan nilai E (X), tetapi jika jumlahnya tidak menyatu, maka variabel tidak memiliki nilai yang diharapkan.

Jika ini adalah variabel kontinu x, variabel tersebut dapat memiliki nilai tak hingga dan integralnya menggantikan penjumlahan:

Di sini f (x) mewakili fungsi kepadatan probabilitas.

Secara umum, ekspektasi matematika (yang merupakan rata-rata tertimbang) tidak sama dengan mean atau rata-rata aritmatika, kecuali jika kita berurusan dengan distribusi diskrit di mana setiap peristiwa memiliki kemungkinan yang sama. Kemudian, dan baru kemudian:

Di mana n adalah jumlah nilai yang mungkin.

Konsep ini sangat berguna di pasar keuangan dan perusahaan asuransi, di mana kepastian sering kali kurang tetapi terdapat kemungkinan.

Sifat ekspektasi matematis

Di antara properti terpenting dari ekspektasi matematika, berikut ini yang menonjol:

- Tanda: jika X positif, maka E (X) juga positif.

- Nilai yang diharapkan dari sebuah konstanta : nilai yang diharapkan dari konstanta riil k adalah konstanta.

- Linearitas dalam penjumlahan: ekspektasi variabel acak yang pada gilirannya merupakan penjumlahan dari dua variabel X dan Y merupakan penjumlahan dari ekspektasi.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Perkalian dengan konstanta : jika variabel acak berbentuk kX, di mana k adalah konstanta (bilangan real), variabel tersebut keluar di luar nilai yang diharapkan.

- Nilai yang diharapkan dari produk dan kemandirian antar variabel : jika variabel acak adalah hasil kali dari variabel acak X dan Y yang tidak bergantung, maka nilai produk yang diharapkan adalah hasil perkalian dari nilai yang diharapkan.

Secara umum, jika Y = g (X):

- Urutan dalam nilai yang diharapkan: jika X ≤ Y, maka:

Karena ada nilai yang diharapkan dari masing-masingnya.

Harapan matematis dalam taruhan

Ketika astronom terkenal Christian Huygens (1629-1695) tidak sedang mengamati langit, dia mengabdikan dirinya untuk mempelajari, di antara disiplin ilmu lain, kemungkinan dalam permainan kebetulan. Dialah yang memperkenalkan konsep harapan matematis dalam karyanya tahun 1656 yang berjudul: Reasoning about games of chance.

Gambar 2. Christiaan Huygens (1629-1625) adalah seorang ilmuwan yang brilian dan serba bisa, kepada siapa kami berhutang konsep nilai yang diharapkan.

Huygens menemukan bahwa taruhan dapat diklasifikasikan dalam tiga cara, berdasarkan nilai yang diharapkan:

-Game dengan keunggulan: E (X)> 0

- Taruhan yang adil: E (X) = 0

-Game yang dirugikan: E (X) <0

Masalahnya adalah bahwa dalam permainan kebetulan ekspektasi matematis tidak selalu mudah dihitung. Dan bila Anda bisa, hasilnya terkadang mengecewakan bagi mereka yang bertanya-tanya apakah akan bertaruh atau tidak.

Mari kita coba taruhan sederhana: kepala atau ekor dan yang kalah membayar kopi $ 1. Berapa nilai yang diharapkan dari taruhan ini?

Nah, kemungkinan kepala terguling adalah ½, sama dengan satu ekor. Variabel acak adalah untuk mendapatkan $ 1 atau kehilangan $ 1, keuntungan dilambangkan dengan tanda + dan kerugian dengan tanda -.

Kami mengatur informasi dalam sebuah tabel:

Kami mengalikan nilai kolom: 1. ½ = ½ dan (-1). ½ = -½ dan akhirnya ditambahkan hasilnya. Jumlahnya 0 dan ini adalah permainan yang adil, di mana peserta diharapkan tidak menang atau kalah.

Roulette Prancis dan lotere adalah permainan handicap di mana sebagian besar petaruh kalah. Kemudian ada taruhan yang sedikit lebih kompleks di bagian latihan yang diselesaikan.

Contoh

Berikut adalah beberapa contoh sederhana di mana konsep ekspektasi matematika bersifat intuitif dan menjelaskan konsep tersebut:

Contoh 1

Kami akan mulai dengan melempar dadu yang jujur. Berapa nilai yang diharapkan dari peluncuran tersebut? Nah, jika dadu itu jujur ​​dan memiliki 6 kepala, probabilitas bahwa setiap nilai (X = 1, 2, 3… 6) akan berputar adalah 1/6, seperti ini:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Gambar 3. Dalam gulungan dadu yang jujur, nilai yang diharapkan bukanlah nilai yang mungkin. Sumber: Pixabay.

Nilai yang diharapkan dalam kasus ini sama dengan rata-rata, karena setiap wajah memiliki probabilitas yang sama untuk keluar. Tetapi E (X) bukanlah nilai yang mungkin, karena tidak ada head yang bernilai 3,5. Ini sangat mungkin terjadi di beberapa distribusi, meskipun dalam hal ini hasilnya tidak banyak membantu petaruh.

Mari kita lihat contoh lain dengan melempar dua koin.

Contoh 2

Dua koin jujur ​​dilemparkan ke udara dan kami mendefinisikan variabel acak X sebagai jumlah kepala yang digulung. Peristiwa yang dapat terjadi adalah sebagai berikut:

-Tidak ada kepala yang muncul: 0 kepala yang sama dengan 2 ekor.

-Itu Keluar 1 kepala dan 1 cap atau salib.

-Dua wajah keluar.

Misalkan C sebagai kepala dan T sebagai segel, ruang sampel yang menggambarkan peristiwa ini adalah sebagai berikut:

S _m = {Segel-Segel; Segel-Wajah; Segel Wajah; Wajah-Wajah} = {TT, TC, CT, CC}

Kemungkinan peristiwa yang terjadi adalah:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Tabel dibuat dengan nilai yang diperoleh:

Menurut definisi yang diberikan di awal, ekspektasi matematika dihitung sebagai:

Mengganti nilai:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Hasil ini diinterpretasikan sebagai berikut: jika seseorang memiliki cukup waktu untuk melakukan banyak percobaan dengan melemparkan dua koin, dia diharapkan mendapatkan kepala pada setiap lemparan.

Namun, kami tahu bahwa rilis dengan 2 label sangat mungkin dilakukan.

Latihan diselesaikan

Dalam lemparan dua koin jujur, taruhan berikut dibuat: jika 2 kepala keluar Anda menang $ 3, jika 1 kepala keluar Anda menang $ 1, tetapi jika dua perangko keluar Anda harus membayar $ 5. Hitung kemenangan taruhan yang diharapkan.

Gambar 4. Tergantung pada taruhannya, ekspektasi matematis berubah ketika melempar dua koin yang jujur. Sumber: Pixabay.

Larutan

Variabel acak X adalah nilai yang diambil uang dalam taruhan dan probabilitas dihitung pada contoh sebelumnya, oleh karena itu tabel taruhannya adalah:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Karena nilai yang diharapkan adalah 0, ini adalah permainan yang adil, jadi disini petaruh diharapkan tidak menang dan juga tidak kalah. Namun, jumlah taruhan dapat diubah untuk membuat taruhan menjadi permainan handicap atau permainan cacat.

Referensi

1. Brase, C. 2009. Statistik yang Dapat Dimengerti. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Pengantar konsep nilai yang diharapkan atau ekspektasi matematis dari variabel acak. Diperoleh dari: personal.us.es.
3. Statistik LibreTexts. Nilai yang Diharapkan dari Variabel Acak Diskrit. Dipulihkan dari: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Statistika Dasar. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Probabilitas dan Statistik untuk Sains dan Teknik. 8. Edisi. Pendidikan Pearson.