The distribusi binomial adalah distribusi probabilitas dimana probabilitas terjadinya peristiwa dihitung, asalkan mereka terjadi di bawah dua modalitas: keberhasilan atau kegagalan.
Sebutan ini (berhasil atau gagal) sepenuhnya sewenang-wenang, karena tidak selalu berarti baik atau buruk. Pada artikel ini kami akan menunjukkan bentuk matematika dari distribusi binomial dan kemudian arti dari setiap istilah akan dijelaskan secara detail.
Gambar 1. Gulungan dadu merupakan fenomena yang dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi binomial. Sumber: Pixabay.
Persamaan
Persamaannya adalah sebagai berikut:
Dengan x = 0, 1, 2, 3… .n, dimana:
- P (x) adalah probabilitas untuk memiliki tepat x keberhasilan antara n percobaan atau percobaan.
- x adalah variabel yang mendeskripsikan fenomena yang menarik, sesuai dengan jumlah keberhasilan.
- n jumlah percobaan
- p adalah probabilitas keberhasilan dalam 1 upaya
- q adalah probabilitas kegagalan dalam 1 upaya, oleh karena itu q = 1 - p
Tanda seru "!" digunakan untuk notasi faktorial, jadi:
0! = 1
satu! = 1
dua! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Dan seterusnya.
Konsep
Distribusi binomial sangat tepat untuk menggambarkan situasi di mana suatu peristiwa terjadi atau tidak terjadi. Jika itu terjadi maka itu sukses dan jika tidak, maka itu gagal. Selanjutnya, kemungkinan sukses harus selalu konstan.
Ada fenomena yang sesuai dengan kondisi tersebut, misalnya lemparan koin. Dalam hal ini, kita dapat mengatakan bahwa "sukses" adalah mendapatkan wajah. Kemungkinannya adalah ½ dan tidak berubah, tidak peduli berapa kali koin tersebut dilempar.
Gulungan dadu yang jujur adalah contoh bagus lainnya, serta mengkategorikan produksi tertentu menjadi bagian yang bagus dan bagian yang cacat dan menjadi merah, bukan hitam saat memutar roda roulette.
karakteristik
Karakteristik distribusi binomial dapat diringkas sebagai berikut:
- Setiap peristiwa atau pengamatan diambil dari populasi tak terbatas tanpa penggantian atau dari populasi terbatas dengan penggantian.
- Hanya dua opsi yang dipertimbangkan, saling eksklusif: sukses atau gagal, seperti yang dijelaskan di awal.
- Probabilitas keberhasilan harus konstan dalam setiap pengamatan yang dilakukan.
- Hasil dari acara apa pun tidak bergantung pada acara lainnya.
- Rerata dari distribusi binomial adalah np
- Standar deviasi adalah:
Contoh aplikasi
Mari kita ambil kejadian sederhana, yang mungkin mendapatkan 2 kepala 5 dengan melempar dadu jujur 3 kali. Berapa probabilitas bahwa dalam 3 lemparan 2 kepala dari 5 akan diperoleh?
Ada beberapa cara untuk mencapainya, misalnya:
- Dua peluncuran pertama adalah 5 dan yang terakhir tidak.
- Yang pertama dan terakhir adalah 5 tapi bukan yang di tengah.
- Dua lemparan terakhir adalah 5 dan yang pertama tidak.
Mari kita ambil urutan pertama yang dijelaskan sebagai contoh dan hitung probabilitas kemunculannya. Kemungkinan mendapatkan 5 kepala pada lemparan pertama adalah 1/6, dan juga pada lemparan kedua, karena ini adalah peristiwa independen.
Probabilitas untuk mendapatkan kepala lain selain 5 pada lemparan terakhir adalah 1 - 1/6 = 5/6. Oleh karena itu, probabilitas keluarnya barisan ini adalah hasil perkalian dari probabilitas:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Bagaimana dengan dua urutan lainnya? Mereka memiliki probabilitas yang sama: 0,023.
Dan karena kami memiliki total 3 urutan sukses, probabilitas totalnya adalah:
Contoh 2
Sebuah universitas mengklaim bahwa 80% siswa di tim bola basket perguruan tinggi lulus. Penyelidikan memeriksa catatan akademik 20 siswa yang tergabung dalam tim bola basket tersebut yang mendaftar di universitas beberapa waktu lalu.
Dari 20 siswa tersebut, 11 menyelesaikan studi mereka dan 9 putus sekolah.
Gambar 2. Hampir semua siswa yang bermain untuk tim perguruan tinggi lulus. Sumber: Pixabay.
Jika pernyataan universitas benar, jumlah siswa yang bermain basket dan lulus, dari 20, harus berdistribusi binomial dengan n = 20 dan p = 0,8. Berapa probabilitas tepatnya 11 dari 20 pemain akan lulus?
Larutan
Dalam distribusi binomial:
Contoh 3
Para peneliti melakukan penelitian untuk menentukan apakah ada perbedaan yang signifikan dalam tingkat kelulusan antara mahasiswa kedokteran yang diterima melalui program khusus dan mahasiswa kedokteran yang diterima melalui kriteria penerimaan reguler.
Tingkat kelulusan ditemukan 94% untuk dokter mahasiswa yang diterima melalui program khusus (berdasarkan data dari Journal of American Medical Association).
Jika 10 dari program khusus siswa dipilih secara acak, temukan probabilitas bahwa setidaknya 9 dari mereka lulus.
b) Apakah tidak biasa jika secara acak memilih 10 siswa dari program khusus dan menemukan bahwa hanya 7 dari mereka yang telah lulus?
Larutan
Probabilitas seorang siswa yang diterima melalui program khusus akan lulus adalah 94/100 = 0,94. Kami memilih n = 10 siswa dari program khusus dan kami ingin mengetahui kemungkinan bahwa setidaknya 9 dari mereka akan lulus.
Nilai-nilai berikut kemudian diganti dalam distribusi binomial:
b)
Referensi
- Berenson, M. 1985. Statistik Manajemen dan Ekonomi. Interamericana SA
- MathWorks. Distribusi binomial. Diperoleh dari: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistik Manajemen dan Ekonomi. 3. edisi. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Statistik Dasar Terapan. 2nd. Edisi.
- Triola, M. 2012. Statistika Dasar. 11. Ed. Pendidikan Pearson.
- Wikipedia. Distribusi binomial. Diperoleh dari: es.wikipedia.org