TEKNIK BERHITUNG: TEKNIK, APLIKASI, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2026

The teknik menghitung adalah serangkaian metode probabilitas untuk menghitung jumlah kemungkinan pengaturan dalam set atau beberapa set objek. Ini digunakan ketika melakukan akun secara manual menjadi rumit karena banyaknya objek dan / atau variabel.

Misalnya, solusi untuk masalah ini sangat sederhana: bayangkan bos Anda meminta Anda menghitung produk terbaru yang datang dalam satu jam terakhir. Dalam hal ini Anda bisa menghitung produk satu per satu.

Namun, bayangkan masalahnya adalah ini: atasan Anda meminta Anda untuk menghitung berapa banyak kelompok dari 5 produk dari jenis yang sama dapat dibentuk dengan yang telah tiba dalam satu jam terakhir. Dalam hal ini, perhitungannya rumit. Untuk situasi seperti ini, teknik penghitungan digunakan.

Teknik-teknik ini bermacam-macam, tetapi yang terpenting dibagi menjadi dua prinsip dasar, yaitu perkalian dan aditif; permutasi dan kombinasi.

Prinsip perkalian

Aplikasi

Prinsip perkalian bersama dengan aditif merupakan dasar untuk memahami cara kerja teknik hitung. Dalam kasus perkalian, terdiri dari:

Bayangkan sebuah aktivitas yang melibatkan sejumlah langkah tertentu (kita tandai totalnya sebagai "r"), di mana langkah pertama dapat dilakukan dengan cara N1, langkah kedua di N2, dan langkah "r" dengan cara Nr. Dalam hal ini, aktivitas dapat dilakukan dari banyaknya bentuk yang dihasilkan dari operasi ini: N1 x N2 x ……… .x Bentuk Nr

Itulah sebabnya prinsip ini disebut perkalian, dan mengandung arti bahwa setiap langkah yang diperlukan untuk melaksanakan kegiatan harus dilakukan satu demi satu.

Contoh

Bayangkan seseorang yang ingin membangun sekolah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bahwa alas bangunan dapat dibangun dengan dua cara berbeda, semen atau beton. Sedangkan untuk dindingnya bisa terbuat dari batako, semen atau batu bata.

Sedangkan untuk atapnya bisa dari semen atau lembaran galvanis. Terakhir, lukisan terakhir hanya bisa dilakukan dengan satu cara. Pertanyaan yang muncul adalah sebagai berikut: Berapa cara yang dia miliki untuk membangun sekolah?

Pertama, kami mempertimbangkan jumlah anak tangga, yang akan menjadi alas, dinding, atap, dan cat. Totalnya 4 langkah, jadi r = 4.

Berikut ini adalah daftar N:

N1 = cara membangun alas = 2

N2 = cara membangun tembok = 3

N3 = cara pembuatan atap = 2

N4 = cara melukis = 1

Oleh karena itu, jumlah bentuk yang mungkin akan dihitung menggunakan rumus yang dijelaskan di atas:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cara sekolah.

Prinsip aditif

Aplikasi

Prinsip ini sangat sederhana, dan terdiri dari fakta bahwa, dalam kasus terdapat beberapa alternatif untuk melakukan kegiatan yang sama, cara yang mungkin terdiri dari penjumlahan berbagai cara yang mungkin untuk melaksanakan semua alternatif.

Dengan kata lain, jika kita ingin melakukan suatu kegiatan dengan tiga alternatif, di mana alternatif pertama dapat dilakukan dengan cara M, alternatif kedua dengan cara N dan yang terakhir dengan cara W, maka kegiatan tersebut dapat dilakukan di: M + N + ……… + Bentuk W.

Contoh

Bayangkan saat ini ada orang yang ingin membeli raket tenis. Untuk melakukan ini, Anda memiliki tiga merek untuk dipilih: Wilson, Babolat atau Head.

Ketika Anda pergi ke toko, Anda melihat bahwa raket Wilson dapat dibeli dengan pegangan dalam dua ukuran berbeda, L2 atau L3 dalam empat model berbeda dan dapat digantung atau dilepaskan.

Raket Babolat, di sisi lain, memiliki tiga pegangan (L1, L2 dan L3), ada dua model yang berbeda dan juga dapat digantung atau dilepaskan.

Raket kepala, untuk bagiannya, hanya tersedia dengan satu pegangan, L2, dalam dua model berbeda dan hanya tidak terikat. Pertanyaannya adalah: Berapa banyak cara yang dimiliki orang ini untuk membeli raketnya?

M = Banyaknya cara untuk memilih raket Wilson

N = Banyaknya cara untuk memilih raket Babolat

W = Banyaknya cara untuk memilih raket Kepala

Kami menjalankan prinsip pengganda:

M = 2 x 4 x 2 = 16 bentuk

N = 3 x 2 x 2 = 12 jalur

W = 1 x 2 x 1 = 2 jalur

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 cara memilih raket.

Untuk mengetahui kapan harus menggunakan prinsip perkalian dan aditif, Anda hanya perlu melihat apakah aktivitas tersebut memiliki serangkaian langkah yang harus dilakukan, dan jika ada beberapa alternatif, aditif.

Permutasi

Aplikasi

Untuk memahami apa itu permutasi, penting untuk menjelaskan apa itu kombinasi sehingga Anda dapat membedakannya dan mengetahui kapan harus menggunakannya.

Kombinasi akan menjadi pengaturan elemen di mana kita tidak tertarik pada posisi yang ditempati masing-masing elemen.

Sebuah permutasi, di sisi lain, akan menjadi pengaturan elemen di mana kita tertarik pada posisi yang ditempati masing-masing.

Mari kita berikan contoh untuk lebih memahami perbedaannya.

Contoh

Mari kita bayangkan sebuah kelas dengan 35 siswa, dan dengan situasi berikut:

1. Guru ingin tiga siswanya membantunya menjaga kelas tetap bersih atau membagikan materi kepada siswa lain bila diperlukan.
2. Guru ingin menunjuk delegasi kelas (presiden, asisten, dan pemodal).

Solusinya adalah sebagai berikut:

1. Mari kita bayangkan bahwa dengan pemungutan suara, Juan, María dan Lucía dipilih untuk membersihkan kelas atau mengantarkan materi. Jelas, kelompok lain yang terdiri dari tiga orang bisa dibentuk, di antara 35 kemungkinan siswa.

Kita harus bertanya pada diri sendiri yang berikut: apakah urutan atau posisi setiap siswa penting ketika memilih mereka?

Jika dipikir-pikir, kita melihat bahwa ini sebenarnya tidak penting, karena kelompok akan bertanggung jawab atas dua tugas secara seimbang. Dalam hal ini, ini adalah kombinasi, karena kami tidak tertarik pada posisi elemen.

1. Sekarang mari kita bayangkan bahwa Juan terpilih sebagai presiden, Maria sebagai asisten, dan Lucia sebagai pemodal.

Dalam hal ini, apakah urutannya penting? Jawabannya ya, karena jika kita mengubah elemen, hasilnya berubah. Artinya, jika alih-alih menempatkan Juan sebagai presiden, kami menempatkannya sebagai asisten, dan María sebagai presiden, hasil akhirnya akan berubah. Dalam hal ini adalah permutasi.

Setelah perbedaannya dipahami, kita akan mendapatkan rumus untuk permutasi dan kombinasi. Namun, pertama-tama kita harus mendefinisikan istilah "n!" (ene factorial), karena akan digunakan dalam rumus yang berbeda.

n! = produk dari 1 ke n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Menggunakannya dengan bilangan real:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Rumus untuk permutasi adalah sebagai berikut:

nPr = n! / (nr)!

Dengan itu kita bisa mengetahui susunan di mana urutan itu penting, dan di mana n elemennya berbeda.

Kombinasi

Aplikasi

Seperti yang telah kami komentari sebelumnya, kombinasi adalah pengaturan di mana kami tidak mempedulikan posisi elemen.

Rumusnya adalah sebagai berikut:

nCr = n! / (nr)! r!

Contoh

Jika ada 14 siswa yang mau sukarela membersihkan kelas, berapa kelompok kebersihan yang bisa dibentuk jika tiap kelompok harus 5 orang?

Oleh karena itu, solusinya adalah sebagai berikut:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 kelompok

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Sumber: Pixabay.com

Natalia diminta oleh ibunya untuk pergi ke toko bahan makanan dan membelikannya soda untuk menenangkan diri. Ketika Natalia meminta minuman kepada juru tulisnya, dia mengatakan bahwa ada empat rasa minuman ringan, tiga jenis dan tiga ukuran.

Rasa minuman ringan bisa: cola, lemon, orange dan mint.

Jenis cola bisa: biasa, bebas gula, bebas kafein.

Ukurannya bisa: kecil, sedang dan besar.

Ibu Natalia tidak merinci jenis minuman ringan yang diinginkannya, Berapa cara yang dimiliki Natalia untuk membeli minuman tersebut?

Larutan

M = Ukuran dan nomor jenis yang dapat Anda pilih saat memilih cola.

N = Jumlah ukuran dan jenis yang dapat Anda pilih saat memilih soda lemon.

W = Ukuran dan nomor jenis yang dapat Anda pilih saat memilih soda jeruk.

Y = Ukuran dan nomor jenis yang dapat Anda pilih saat memilih soda mint.

Kami menjalankan prinsip pengganda:

M = 3 × 3 = 9 cara

N = 3 × 3 = 9 arah

W = 3 × 3 = 9 arah

Y = 3 × 3 = 9 arah

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 cara untuk memilih soda.

Latihan 2

Sumber: pixabay.com

Klub olahraga mengiklankan lokakarya akses gratis bagi anak-anak untuk belajar skate. 20 anak terdaftar, jadi mereka memutuskan untuk membaginya menjadi dua kelompok yang terdiri dari sepuluh orang sehingga instruktur dapat mengajar kelas dengan lebih nyaman.

Pada gilirannya, mereka memutuskan untuk menggambar di kelompok mana setiap anak akan masuk. Berapa banyak kelompok berbeda yang bisa dimasuki seorang anak?

Larutan

Dalam hal ini, cara mencari jawaban menggunakan teknik kombinasi yang rumusnya adalah: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (jumlah anak)

r = 10 (ukuran kelompok)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 kelompok.

Referensi

1. Jeffrey, RC, Probabilitas dan Seni Penghakiman, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Pengantar Teori Probabilitas dan Aplikasinya", (Vol 1), 3rd Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Landasan logis dan pengukuran probabilitas subjektif". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduction to Mathematical Statistics (edisi ke-6th). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Ilmu Dugaan: Bukti dan Probabilitas Sebelum Pascal, Johns Hopkins University Press.