The jenis integral yang kita temukan dalam kalkulus adalah integral tak tentu dan integral tertentu. Meskipun integral pasti memiliki lebih banyak aplikasi daripada integral tak tentu, pertama-tama perlu dipelajari bagaimana menyelesaikan integral tak tentu.
Salah satu aplikasi integral pasti yang paling menarik adalah kalkulasi volume suatu revolusi padat. Kedua jenis integral tersebut memiliki sifat linearitas yang sama dan juga teknik integrasinya tidak bergantung pada jenis integralnya.
Revolusi Padat
Tetapi meskipun sangat mirip, ada satu perbedaan utama; pada tipe integral pertama hasilnya adalah fungsi (yang tidak spesifik) sedangkan pada tipe kedua hasilnya adalah bilangan.
Jenis integral dasar
Dunia integral sangat luas tetapi di dalamnya kita dapat membedakan dua tipe dasar integral, yang sangat dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.
1- Integral tak terbatas
Jika F '(x) = f (x) untuk semua x dalam domain f, kita katakan bahwa F (x) adalah antiturunan, primitif, atau integral dari f (x).
Di sisi lain, mari kita amati bahwa (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), yang berarti bahwa integral dari suatu fungsi tidak unik, karena memberikan nilai yang berbeda pada konstanta C kita akan mendapatkan perbedaan antiturunan.
Untuk alasan ini F (x) + C disebut Integral Tak Terbatas dari f (x) dan C disebut konstanta integrasi dan kami menuliskannya dengan cara berikut
Integral Tidak Terbatas
Seperti yang bisa kita lihat, integral tak tentu dari fungsi f (x) adalah keluarga fungsi.
Misalnya, jika Anda ingin mencari integral tak tentu dari fungsi f (x) = 3x², Anda harus mencari antiturunan dari f (x) terlebih dahulu.
Mudah untuk melihat bahwa F (x) = x³ adalah antiturunan, karena F '(x) = 3x². Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Integral pasti
Misalkan y = f (x) menjadi fungsi nyata dan kontinu pada interval tertutup dan misalkan F (x) menjadi antiturunan dari f (x). Integral pasti f (x) antara batas a dan b disebut bilangan F (b) -F (a), dan dilambangkan sebagai berikut
Teorema Dasar Kalkulus
Rumus yang ditunjukkan di atas lebih dikenal sebagai "Teorema Dasar Kalkulus". Di sini "a" disebut batas bawah dan "b" disebut batas atas. Seperti yang Anda lihat, integral pasti dari suatu fungsi adalah angka.
Dalam hal ini, jika integral pasti dari f (x) = 3x² dihitung dalam interval, akan diperoleh angka.
Untuk menentukan bilangan ini kita pilih F (x) = x³ sebagai antiturunan dari f (x) = 3x². Kemudian, kami menghitung F (3) -F (0) yang memberi kami hasil 27-0 = 27. Kesimpulannya, integral pasti dari f (x) pada interval adalah 27.
Dapat dicatat bahwa jika G (x) = x³ + 3 dipilih, maka G (x) adalah antiturunan dari f (x) berbeda dengan F (x), tetapi ini tidak mempengaruhi hasil karena G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Oleh karena itu, konstanta integrasi tidak muncul dalam integral tertentu.
Salah satu aplikasi yang paling berguna dari jenis integral ini adalah memungkinkan kita untuk menghitung luas (volume) dari bangun datar (dari revolusi padat), menetapkan fungsi dan batas integrasi yang sesuai (dan sumbu rotasi).
Dalam integral yang ditentukan, kita dapat menemukan berbagai ekstensi darinya, seperti integral garis, integral permukaan, integral tidak tepat, banyak integral, antara lain, semua dengan aplikasi yang sangat berguna dalam sains dan teknik.
Referensi
- Casteleiro, JM (2012). Apakah mudah untuk diintegrasikan? Manual belajar mandiri. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Kalkulus integral (edisi ke Illustrated). Madrid: Editorial ESIC.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika precalculus: pendekatan pemecahan masalah (2, edisi ke-Illustrated). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Kalkulus Integral. Penerbit & Distributor Atlantik.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (edisi ke-9). Prentice Hall.