- Rumus
- Jarak euclidean dalam dua dimensi
- Permukaan non-Euclidean
- Jarak euclidean dalam n dimensi
- Bagaimana menghitung jarak Euclidean
- Contoh
- Referensi
The jarak Euclidean adalah angka positif yang menunjukkan pemisahan antara dua titik dalam ruang di mana aksioma dan teorema geometri Euclid terpenuhi.
Jarak antara dua titik A dan B dalam ruang Euclidean adalah panjang vektor AB yang merupakan satu-satunya garis yang melewati titik-titik tersebut.
Gambar 1 . Ruang Euclidean satu dimensi yang dibentuk oleh garis (OX). Beberapa titik ditunjukkan pada ruang tersebut, koordinat dan jaraknya. (Disiapkan oleh Ricardo Pérez).
Ruang yang diamati manusia dan di mana kita bergerak adalah ruang tiga dimensi (3-D), tempat aksioma dan teorema geometri Euclid terpenuhi. Subruang dua dimensi (bidang) dan subruang satu dimensi (garis) terdapat dalam ruang ini.
Ruang euclidean dapat berupa satu dimensi (1-D), dua dimensi (2-D), tiga dimensi (3-D), atau n-dimensional (nD).
Titik-titik dalam ruang satu dimensi X adalah titik-titik yang termasuk dalam garis berorientasi (OX), arah dari O ke X adalah arah positif. Untuk menemukan titik-titik pada garis ini, digunakan sistem Cartesian, yang terdiri dari pemberian nomor pada setiap titik pada garis.
Rumus
Jarak Euclidean d (A, B) antara titik A dan B, terletak pada sebuah garis, didefinisikan sebagai akar kuadrat dari kuadrat selisih koordinat X-nya:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Definisi ini menjamin bahwa: jarak antara dua titik selalu berupa besaran positif. Dan bahwa jarak antara A dan B sama dengan jarak antara B dan A.
Gambar 1 menunjukkan ruang Euclidean satu dimensi yang dibentuk oleh garis (OX) dan beberapa titik pada garis tersebut. Setiap titik memiliki koordinat:
Titik A memiliki koordinat XA = 2.5, koordinat titik B XB = 4 dan koordinat titik C XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5
d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5
d (A, C) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0
Jarak euclidean dalam dua dimensi
Ruang Euclidean dua dimensi adalah sebuah bidang. Titik-titik bidang Euclidean memenuhi aksioma geometri Euclidean, misalnya:
- Satu garis melewati dua titik.
- Tiga titik pada bidang membentuk segitiga yang sudut internalnya selalu berjumlah 180º.
- Dalam segitiga siku-siku, kuadrat hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat kakinya.
Dalam dua dimensi, sebuah titik memiliki koordinat X dan Y.
Misalnya titik P memiliki koordinat (XP, YP) dan titik Q koordinat (XQ, YQ).
Jarak Euclidean antara titik P dan Q ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Perlu dicatat bahwa rumus ini setara dengan teorema Pythagoras, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Jarak antara dua titik P dan Q di bidang memenuhi teorema Pythagoras. (Disiapkan oleh Ricardo Pérez).
Permukaan non-Euclidean
Tidak semua ruang dua dimensi sesuai dengan geometri Euclidean. Permukaan bola adalah ruang dua dimensi.
Sudut segitiga pada permukaan bola tidak berjumlah 180º dan dengan ini teorema Pythagoras tidak terpenuhi, oleh karena itu permukaan bola tidak memenuhi aksioma Euclid.
Jarak euclidean dalam n dimensi
Konsep koordinat dapat diperluas ke dimensi yang lebih besar:
- Dalam 2-D titik P memiliki koordinat (XP, YP)
- Dalam 3-D sebuah titik Q memiliki koordinat (XQ, YQ, ZQ)
- Dalam 4-D titik R akan memiliki koordinat (XR, YR, ZR, WR)
- Dalam nD sebuah titik P akan memiliki koordinat (P1, P2, P3,… .., Pn)
Jarak antara dua titik P dan Q dari ruang Euclidean berdimensi-n dihitung dengan rumus sebagai berikut:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Lokus semua titik Q dalam ruang Euclidean berdimensi-n yang berjarak sama dari titik tetap lain P (pusat) membentuk hipersfer berdimensi-n.
Bagaimana menghitung jarak Euclidean
Berikut ini menunjukkan bagaimana jarak antara dua titik yang terletak di ruang tiga dimensi Euclidean dihitung.
Misalkan titik A dari koordinat Kartesius x, y, z diberikan oleh A :( 2, 3, 1) dan titik B dari koordinat B :( -3, 2, 2).
Kami ingin menentukan jarak antara titik-titik ini, yang digunakan untuk hubungan umum:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196
Contoh
Ada dua titik P dan Q. Titik P dari koordinat Kartesius x, y, z diberikan oleh P :( 2, 3, 1) dan titik Q dari koordinat Q :( -3, 2, 1).
Ia diminta untuk menemukan koordinat titik tengah M dari ruas yang menghubungkan kedua titik tersebut.
Titik tidak diketahui M diasumsikan memiliki koordinat (X, Y, Z).
Karena M adalah titik tengah, harus benar bahwa d (P, M) = d (Q, M), jadi d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 juga harus benar:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Seperti dalam kasus ini, suku ketiga sama di kedua anggota, ekspresi sebelumnya disederhanakan menjadi:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Kami kemudian memiliki persamaan dengan dua X dan Y yang tidak diketahui. Persamaan lain diperlukan untuk menyelesaikan soal.
Titik M tergolong garis yang melewati titik P dan Q, yang dapat kita hitung sebagai berikut:
Pertama kita temukan vektor sutradara PQ dari baris: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Kemudian PM = OP + a PQ , dimana OP adalah vektor posisi dari titik P dan merupakan parameter yang termasuk dalam bilangan real.
Persamaan di atas dikenal dengan persamaan vektor garis, yang dalam koordinat kartesian mengambil bentuk sebagai berikut:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Menyamakan komponen yang sesuai yang kami miliki:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Yaitu, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, akhirnya Z = 1.
Ini diganti dalam ekspresi kuadrat yang menghubungkan X ke Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Ini disederhanakan:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Sekarang terungkap:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Ini disederhanakan, membatalkan istilah serupa di kedua anggota:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parameter a dihapus:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 menghasilkan a = 1.
Yaitu, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, akhirnya Z = 1.
Akhirnya kita mendapatkan koordinat Cartesian dari titik tengah M segmen tersebut:
M: (-1, 5, 1).
Referensi
- Lehmann C. (1972) Geometri Analitik. UTEHA.
- Superprof. Jarak antara dua titik. Diperoleh dari: superprof.es
- UNAM. Jarak antar lipatan sublinear affine. Diperoleh dari: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Jarak Euclidean. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
- wikipedia. Ruang Euclidean. Diperoleh dari: es.wikipedia.com