Ini disebut relatif prima (coprime atau relatif prima satu sama lain) karena setiap pasangan bilangan bulat tidak memiliki pembagi persekutuan selain 1.
Dengan kata lain, dua bilangan bulat adalah bilangan prima relatif jika dalam penguraiannya menjadi bilangan prima, keduanya tidak memiliki faktor yang sama.
Misalnya, jika 4 dan 25 dipilih, faktorisasi prima masing-masing adalah 2² dan 5². Seperti yang dapat dilihat, ini tidak memiliki faktor persekutuan, oleh karena itu 4 dan 25 adalah bilangan prima relatif.
Sebaliknya, jika 6 dan 24 dipilih, saat melakukan dekomposisi menjadi faktor prima, kita mendapatkan bahwa 6 = 2 * 3 dan 24 = 2³ * 3.
Seperti yang Anda lihat, dua ekspresi terakhir ini memiliki setidaknya satu faktor yang sama, oleh karena itu, keduanya bukan bilangan prima relatif.
Saudara sepupu
Satu detail yang harus diperhatikan adalah mengatakan bahwa pasangan bilangan bulat adalah bilangan prima relatif tidak menyiratkan bahwa salah satu dari mereka adalah bilangan prima.
Di sisi lain, definisi di atas dapat diringkas sebagai berikut: dua bilangan bulat "a" dan "b" adalah bilangan prima relatif jika, dan hanya jika, pembagi persekutuan terbesarnya adalah 1, yaitu, gcd ( a, b) = 1.
Dua kesimpulan langsung dari definisi ini adalah bahwa:
-Jika «a» (atau «b») adalah bilangan prima, maka gcd (a, b) = 1.
-Jika «a» dan «b» adalah bilangan prima, maka gcd (a, b) = 1.
Artinya, jika setidaknya salah satu bilangan yang dipilih adalah bilangan prima, maka secara langsung pasangan bilangan tersebut adalah bilangan prima relatif.
Fitur lainnya
Hasil lain yang digunakan untuk menentukan apakah dua bilangan adalah bilangan prima relatif adalah:
-Jika dua bilangan bulat berurutan maka mereka adalah bilangan prima relatif.
-Dua bilangan asli "a" dan "b" adalah bilangan prima relatif jika, dan hanya jika, bilangan "(2 ^ a) -1" dan "(2 ^ b) -1" adalah bilangan prima relatif.
-Dua bilangan bulat «a» dan «b» adalah bilangan prima relatif jika, dan hanya jika, saat membuat grafik titik (a, b) dalam bidang Cartesian, dan menyusun garis yang melewati titik asal (0,0) dan ( a, b), tidak mengandung titik apapun dengan koordinat integer.
Contoh
1.- Pertimbangkan bilangan bulat 5 dan 12. Penguraian faktor prima dari kedua bilangan adalah: 5 dan 2² * 3 masing-masing. Kesimpulannya, gcd (5,12) = 1, oleh karena itu, 5 dan 12 adalah bilangan prima relatif.
2.- Misalkan angka -4 dan 6. Kemudian -4 = -2² dan 6 = 2 * 3, sehingga LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Kesimpulannya -4 dan 6 bukanlah bilangan prima relatif.
Jika kita lanjutkan ke grafik garis yang melewati pasangan berurutan (-4.6) dan (0,0), dan untuk menentukan persamaan garis tersebut maka dapat dibuktikan bahwa garis tersebut melewati titik (-2,3).
Sekali lagi disimpulkan bahwa -4 dan 6 bukan bilangan prima relatif.
3.- Angka 7 dan 44 adalah bilangan prima relatif dan dapat disimpulkan dengan cepat berkat apa yang telah dikatakan di atas, karena 7 adalah bilangan prima.
4.- Perhatikan bilangan 345 dan 346. Menjadi dua bilangan berturut-turut dibuktikan bahwa gcd (345.346) = 1, oleh karena itu 345 dan 346 adalah bilangan prima relatif.
5.- Jika angka 147 dan 74 dipertimbangkan, maka ini adalah bilangan prima relatif, karena 147 = 3 * 7² dan 74 = 2 * 37, oleh karena itu LCD (147,74) = 1.
6.- Angka 4 dan 9 adalah bilangan prima relatif. Untuk mendemonstrasikan ini, karakterisasi kedua yang disebutkan di atas dapat digunakan. Memang, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 dan 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Bilangan yang didapat adalah 15 dan 511. Faktorisasi prima dari bilangan tersebut adalah masing-masing 3 * 5 dan 7 * 73, sehingga LCD (15.511) = 1.
Seperti yang Anda lihat, menggunakan karakterisasi kedua adalah pekerjaan yang lebih lama dan lebih melelahkan daripada memverifikasi secara langsung.
7.- Perhatikan angka -22 dan -27. Maka angka-angka ini dapat ditulis ulang sebagai berikut: -22 = -2 * 11 dan -27 = -3³. Oleh karena itu, gcd (-22, -27) = 1, jadi -22 dan -27 adalah bilangan prima relatif.
Referensi
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Pengantar Teori Bilangan. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Elemen aritmatika. Perpustakaan Janda dan Anak-anak Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Kursus dasar teori bilangan. Universitas Utara.
- Guevara, MH (nd). Himpunan Angka Utuh. EUNED.
- Institut Tinggi Pelatihan Guru (Spanyol), JL (2004). Angka, bentuk dan volume di lingkungan anak. Menteri Pendidikan.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matematika praktis: aritmatika, aljabar, geometri, trigonometri, dan aturan geser (edisi ke-reprint). Kembalikan.
- Rock, NM (2006). Aljabar I Itu Mudah! Begitu mudah. Tim Rock Press.
- Smith, SA (2000). Aljabar. Pendidikan Pearson.
- Szecsei, D. (2006). Basic Math dan Pre-Algebra (edisi ke-illustrasi). Career Press.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). Kursus Matematika ke-2. Progreso Editorial.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Prinsip Dasar Aritmatika. ELIZCOM SAS