BILANGAN PRIMA: KARAKTERISTIK, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The bilangan prima , juga disebut mutlak, adalah mereka bilangan prima alami yang hanya dibagi oleh diri mereka sendiri dan 1. Kategori ini angka seperti 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan banyak plus.

Sebaliknya, bilangan komposit dapat habis dibagi dengan sendirinya, dengan 1, dan setidaknya satu bilangan lainnya. Kita punya contoh 12, yang habis dibagi 1, 2, 4, 6 dan 12. Menurut konvensi, 1 tidak termasuk dalam daftar bilangan prima atau dalam daftar senyawa.

Gambar 1. Beberapa bilangan prima. Sumber: Wikimedia Commons.

Pengetahuan tentang bilangan prima berasal dari zaman kuno; orang Mesir kuno sudah menggunakannya dan mereka pasti sudah dikenal jauh sebelumnya.

Bilangan-bilangan ini sangat penting, karena bilangan asli apa pun dapat diwakili oleh hasil perkalian bilangan prima, representasi ini unik, kecuali dalam urutan faktor-faktornya.

Fakta ini sepenuhnya ditetapkan dalam teorema yang disebut teorema dasar aritmatika, yang menyatakan bahwa bilangan yang bukan bilangan prima harus terdiri dari produk bilangan yang ada.

Karakteristik bilangan prima

Berikut ciri-ciri utama bilangan prima:

-Mereka tidak terbatas, karena tidak peduli seberapa besar bilangan prima, Anda selalu dapat menemukan yang lebih besar.

-Jika bilangan prima p tidak sama persis membagi bilangan lain a, maka dikatakan bahwa p dan a adalah prima satu sama lain. Jika ini terjadi, satu-satunya pembagi persekutuan yang dimiliki keduanya adalah 1.

Tidak perlu untuk menjadi bilangan prima absolut. Misalnya, 5 adalah bilangan prima, dan meskipun 12 bukan, kedua bilangan tersebut adalah bilangan prima satu sama lain, karena keduanya memiliki 1 sebagai pembagi persekutuan.

-Ketika bilangan prima p membagi pangkat dari bilangan n, bilangan tersebut juga membagi n. Mari kita pertimbangkan 100, yang merupakan pangkat 10, khususnya 10 ² . Kebetulan 2 membagi 100 dan 10.

-Semua bilangan prima ganjil kecuali 2, oleh karena itu digit terakhirnya adalah 1, 3, 7 atau 9. 5 tidak termasuk, karena meskipun bilangan prima dan bilangan prima, ia tidak pernah menjadi angka terakhir dari bilangan prima lainnya. Sebenarnya semua bilangan yang diakhiri dengan 5 adalah kelipatannya dan oleh karena itu mereka bukan bilangan prima.

-Jika p adalah bilangan prima dan pembagi dari hasil kali dua bilangan ab, maka p membagi salah satunya. Misalnya, bilangan prima 3 membagi hasil kali 9 x 11 = 99, karena 3 adalah pembagi 9.

Bagaimana mengetahui apakah suatu bilangan prima

Primality adalah nama yang diberikan untuk kualitas menjadi prima. Nah, matematikawan Perancis Pierre de Fermat (1601-1665) menemukan cara untuk memverifikasi keutamaan sebuah bilangan, dalam apa yang disebut teorema kecil Fermat, yang mengatakan:

"Diberikan bilangan prima p dan bilangan asli apa pun yang lebih besar dari 0, memang benar bahwa ^p - a adalah kelipatan p, selama p adalah bilangan prima".

Kita dapat menguatkan hal ini dengan menggunakan bilangan kecil, misalkan p = 4, yang sudah kita ketahui bukan bilangan prima dan sudah = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296-6 = 1290

Bilangan 1290 tidak habis habis dibagi 4, oleh karena itu 4 bukanlah bilangan prima.

Ayo lakukan tes sekarang dengan p = 5, yang mana bilangan prima dan ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 habis dibagi 5, karena bilangan apa pun yang berakhiran 0 atau 5 adalah. Faktanya 7760/5 = 1554. Karena teorema kecil Fermat berlaku, kita dapat memastikan bahwa 5 adalah bilangan prima.

Pembuktian melalui teorema efektif dan langsung dengan bilangan kecil, di mana operasi mudah dilakukan, tetapi apa yang harus dilakukan jika kita diminta untuk mencari primalitas bilangan yang besar?

Dalam hal ini, bilangan tersebut secara berturut-turut dibagi di antara semua bilangan prima yang lebih kecil, sampai pembagian yang tepat ditemukan atau hasil bagi kurang dari pembaginya.

Jika ada pembagian yang tepat, itu berarti bilangan tersebut komposit dan jika hasil bagi lebih kecil dari pembaginya, itu berarti bilangan tersebut adalah bilangan prima. Kami akan mempraktikkannya dalam latihan terselesaikan 2.

Cara mencari bilangan prima

Ada banyak bilangan prima yang tak terhingga dan tidak ada rumus tunggal untuk menentukannya. Namun, perhatikan beberapa bilangan prima seperti ini:

3, 7, 31, 127 …

Teramati bahwa mereka adalah dari bentuk 2 ⁿ - 1, dengan n = 2, 3, 5, 7, 9 … Kami memastikan ini:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Tetapi kita tidak dapat memastikan bahwa secara umum 2 ⁿ - 1 adalah bilangan prima, karena ada beberapa nilai n yang tidak berfungsi, misalnya 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Dan bilangan 15 bukan bilangan prima, karena diakhiri dengan 5. Akan tetapi, salah satu bilangan prima terbesar yang diketahui, yang ditemukan dengan perhitungan komputer, berbentuk 2 ⁿ - 1 dengan:

n = 57.885.161

Rumus Mersenne meyakinkan kita bahwa 2 ^p - 1 selalu prima, selama p juga prima. Misalnya, 31 adalah bilangan prima, maka dipastikan bahwa 2 ³¹ - 1 juga bilangan prima :

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

Namun, rumusnya memungkinkan Anda untuk menentukan hanya beberapa bilangan prima, tidak semua.

Rumus Euler

Polinomial berikut memungkinkan pencarian bilangan prima asalkan n berada di antara 0 dan 39:

P (n) = n ² + n + 41

Kemudian di bagian latihan yang diselesaikan ada contoh penggunaannya.

Saringan Eratosthenes

Eratosthenes adalah seorang fisikawan dan matematikawan dari Yunani Kuno yang hidup pada abad ke-3 SM. Ia menemukan metode grafik untuk mencari bilangan prima yang dapat kita praktekkan dengan bilangan kecil, disebut dengan saringan Eratosthenes (saringan itu seperti saringan).

-Nomor ditempatkan dalam tabel seperti yang ditunjukkan di animasi.

-Bilangan genap kemudian dicoret, kecuali 2 yang kita tahu adalah bilangan prima. Semua yang lain adalah kelipatannya dan karena itu bukan bilangan prima.

-Kalikan dari 3, 5, 7 dan 11 juga diberi tanda, tidak termasuk semuanya karena kita tahu mereka adalah bilangan prima.

- Kelipatan dari 4, 6, 8, 9 dan 10 sudah diberi tanda, karena mereka adalah gabungan dan oleh karena itu merupakan kelipatan dari beberapa bilangan prima yang ditunjukkan.

-Akhirnya, bilangan yang tetap tidak bertanda adalah bilangan prima.

Gambar 2. Animasi saringan Eratosthenes. Sumber: Wikimedia Commons.

Latihan

- Latihan 1

Menggunakan polinomial Euler untuk bilangan prima, temukan 3 bilangan yang lebih besar dari 100.

Larutan

Ini adalah polinomial yang diusulkan Euler untuk mencari bilangan prima, yang bekerja untuk nilai n antara 0 dan 39.

P (n) = n ² + n + 41

Dengan trial and error kita memilih nilai n, misalnya n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Karena n = 8 menghasilkan bilangan prima yang lebih besar dari 100, maka kita mengevaluasi polinomial untuk n = 9 dan n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Latihan 2

Cari tahu apakah bilangan-bilangan berikut adalah bilangan prima:

a) 13

b) 191

Solusi untuk

Angka 13 cukup kecil untuk menggunakan teorema kecil Fermat dan bantuan kalkulator.

Kita menggunakan a = 2 agar angkanya tidak terlalu besar, meskipun a = 3, 4 atau 5 juga dapat digunakan:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 habis dibagi 2, karena genap, oleh karena itu 13 adalah bilangan prima. Pembaca dapat menguatkan hal ini dengan melakukan pengujian yang sama dengan a = 3.

Solusi b

191 terlalu besar untuk dibuktikan dengan teorema dan kalkulator umum, tetapi kita dapat menemukan pembagian antara setiap bilangan prima. Kami menghilangkan pembagian dengan 2 karena 191 tidak genap dan pembagian tidak akan tepat atau hasil bagi kurang dari 2.

Kami mencoba membagi dengan 3:

191/3 = 63.666 …

Dan itu tidak memberikan tepat, juga bukan hasil bagi kurang dari pembagi (63,666 … lebih besar dari 3)

Kami terus mencoba untuk membagi 191 antara bilangan prima 5, 7, 11, 13 dan tidak ada pembagian yang tepat tercapai, atau hasil bagi kurang dari pembagi. Sampai dibagi 17:

191/17 = 11, 2352 …

Karena ini tidak tepat dan 11,2352… kurang dari 17, bilangan 191 adalah bilangan prima.

Referensi

1. Baldor, A. 1986. Aritmatika. Kodeks Edisi dan Distribusi.
2. Prieto, C. Bilangan prima. Diperoleh dari: paginas.matem.unam.mx.
3. Sifat bilangan prima. Diperoleh dari: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Bilangan prima: bagaimana menemukannya dengan saringan Eratosthenes. Diperoleh dari: smartick.es.
5. Wikipedia. Bilangan prima. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.