APA BATAS TRIGONOMETRI? (LATIHAN DISELESAIKAN) - MATEMATIKA - 2025

The batas trigonometri batas fungsi sehingga fungsi-fungsi ini dibentuk oleh fungsi trigonometri.

Ada dua definisi yang harus diketahui untuk memahami cara menghitung batas trigonometri.

Definisi tersebut adalah:

- Batas suatu fungsi «f» jika «x» cenderung «b»: ini terdiri dari penghitungan nilai yang didekati f (x) saat «x» mendekati «b», tanpa mencapai «b» ».

- Fungsi trigonometri: fungsi trigonometri adalah fungsi sinus, kosinus, dan tangen, masing-masing dilambangkan dengan sin (x), cos (x) dan tan (x).

Fungsi trigonometri lainnya diperoleh dari ketiga fungsi tersebut di atas.

Batasan fungsi

Untuk memperjelas konsep batas fungsi, kami akan melanjutkan untuk menampilkan beberapa contoh dengan fungsi sederhana.

- Limit dari f (x) = 3 jika "x" cenderung ke "8" sama dengan "3", karena fungsinya selalu konstan. Tidak peduli seberapa besar nilai "x", nilai f (x) akan selalu menjadi "3".

- Limit dari f (x) = x-2 ketika «x» cenderung ke «6» adalah «4». Sejak saat "x" mendekati "6" maka "x-2" mendekati "6-2 = 4".

- Limit dari g (x) = x² jika "x" cenderung ke "3" sama dengan 9, karena "x" mendekati "3" lalu "x²" mendekati "3² = 9" .

Seperti yang dapat dilihat pada contoh sebelumnya, menghitung batas terdiri dari mengevaluasi nilai yang cenderung "x" dalam fungsi, dan hasilnya adalah nilai batas, meskipun ini berlaku hanya untuk fungsi berkelanjutan.

Apakah ada batasan yang lebih rumit?

Jawabannya iya. Contoh di atas adalah contoh batas yang paling sederhana. Dalam buku kalkulus, latihan batas utama adalah latihan yang menghasilkan ketidakpastian tipe 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 dan (∞) ^ 0.

Ekspresi ini disebut ketidakpastian karena merupakan ekspresi yang tidak masuk akal secara matematis.

Selain itu, bergantung pada fungsi yang terlibat dalam limit awal, hasil yang diperoleh saat menyelesaikan ketidakpastian mungkin berbeda dalam setiap kasus.

Contoh Batas Trigonometri Sederhana

Untuk mengatasi batasan, selalu sangat berguna untuk mengetahui grafik dari fungsi yang terlibat. Grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen ditunjukkan di bawah ini.

Beberapa contoh batas trigonometri sederhana adalah:

- Hitung limit dari sin (x) jika «x» cenderung ke «0».

Saat melihat grafik dapat dilihat bahwa jika "x" mendekati "0" (baik dari kiri maupun kanan), maka grafik sinus juga semakin mendekati "0". Oleh karena itu, limit dari sin (x) ketika "x" cenderung ke "0" adalah "0".

- Hitung limit cos (x) ketika «x» cenderung «0».

Mengamati grafik cosinus dapat dilihat bahwa jika "x" mendekati "0" maka grafik cosinus mendekati "1". Ini mengimplikasikan bahwa limit dari cos (x) ketika "x" cenderung ke "0" sama dengan "1".

Batas bisa ada (berupa angka), seperti pada contoh sebelumnya, tetapi bisa juga karena tidak ada seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.

- Limit dari tan (x) saat «x» cenderung «Π / 2» dari kiri sama dengan «+ ∞», seperti yang dapat dilihat pada grafik. Sebaliknya, limit dari tan (x) saat "x" cenderung ke "-Π / 2" dari kanan sama dengan "-∞".

Identitas Batas Trigonometri

Dua identitas yang sangat berguna saat menghitung batas trigonometri adalah:

- Limit «sin (x) / x» bila «x» cenderung «0» sama dengan «1».

- Limit «(1-cos (x)) / x» ketika «x» cenderung «0» sama dengan «0».

Identitas ini sangat sering digunakan ketika Anda memiliki semacam ketidakpastian.

Latihan terselesaikan

Selesaikan batasan berikut menggunakan identitas yang dijelaskan di atas.

- Hitung limit dari «f (x) = sin (3x) / x» jika «x» cenderung «0».

Jika fungsi "f" dievaluasi pada "0", ketidakpastian tipe 0/0 akan diperoleh. Oleh karena itu, kita harus mencoba memecahkan ketidakpastian ini menggunakan identitas yang dijelaskan.

Satu-satunya perbedaan antara batas ini dan identitas adalah angka 3 yang muncul dalam fungsi sinus. Untuk menerapkan identitas, fungsi «f (x)» harus ditulis ulang sebagai berikut «3 * (sin (3x) / 3x)». Sekarang baik argumen sinus dan penyebutnya sama.

Jadi ketika "x" cenderung ke "0", menggunakan identitas menghasilkan "3 * 1 = 3". Oleh karena itu, limit dari f (x) saat "x" cenderung ke "0" sama dengan "3".

- Hitung limit dari «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» ketika «x» cenderung «0».

Jika "x = 0" diganti dalam g (x), ketidakpastian tipe ∞-∞ diperoleh. Untuk menyelesaikannya, pecahan dikurangi terlebih dahulu, yang menghasilkan "(1-cos (x)) / x".

Sekarang, menerapkan identitas trigonometri kedua kita mendapatkan bahwa limit dari g (x) ketika «x» cenderung «0» sama dengan 0.

- Hitung batas «h (x) = 4tan (5x) / 5x» bila «x» cenderung «0».

Sekali lagi, jika h (x) dievaluasi pada "0", ketidakpastian tipe 0/0 akan diperoleh.

Menulis kembali sebagai (5x) sebagai sin (5x) / cos (5x) menghasilkan h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Menggunakan batas 4 / cos (x) ketika "x" cenderung "0" sama dengan "4/1 = 4" dan identitas trigonometri pertama diperoleh bahwa batas h (x) ketika "x" cenderung a "0" sama dengan "1 * 4 = 4".

Pengamatan

Batasan trigonometri tidak selalu mudah dipecahkan. Hanya contoh dasar yang diperlihatkan dalam artikel ini.

Referensi

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika precalculus: pendekatan pemecahan masalah (2, edisi ke-Illustrated). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (edisi ke-8). Pembelajaran Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometri Analitik Bidang. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (edisi ke-9). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus Diferensial dengan fungsi transenden awal untuk Sains dan Teknik (edisi ke-Second Edition). Sisi miring.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Bagian: Analytical Conics (1907) (edisi ke-reprint). Sumber Petir.
10. Sullivan, M. (1997). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.