SIFAT KESETARAAN - MATEMATIKA - 2025

The sifat kesetaraan mengacu pada hubungan antara dua objek matematika, apakah mereka nomor atau variabel. Ini dilambangkan dengan simbol "=", yang selalu berada di antara dua objek ini. Ekspresi ini digunakan untuk menetapkan bahwa dua objek matematika mewakili objek yang sama; Dengan kata lain, dua benda itu adalah hal yang sama.

Ada kasus di mana menggunakan kesetaraan itu sepele. Misalnya, jelas bahwa 2 = 2. Namun, ketika datang ke variabel, itu tidak lagi sepele dan memiliki kegunaan khusus. Misalnya, jika kita memiliki y = x dan sebaliknya x = 7, kita dapat menyimpulkan bahwa y = 7 juga.

Contoh di atas didasarkan pada salah satu properti persamaan, seperti yang akan Anda lihat sebentar lagi. Properti ini penting untuk memecahkan persamaan (persamaan yang melibatkan variabel), yang merupakan bagian yang sangat penting dalam matematika.

Apa sajakah sifat kesetaraan?

Properti reflektif

Sifat refleksif, dalam kasus persamaan, menyatakan bahwa setiap bilangan sama dengan dirinya sendiri dan dinyatakan sebagai b = b untuk bilangan real b.

Dalam kasus kesetaraan tertentu, properti ini tampak jelas, tetapi dalam jenis hubungan lain antara angka tidak. Dengan kata lain, tidak setiap hubungan bilangan real memenuhi properti ini. Misalnya, kasus relasi "kurang dari" (<); tidak ada angka yang kurang dari dirinya sendiri.

Properti simetris

Properti simetris untuk persamaan mengatakan bahwa jika a = b, maka b = a. Tidak peduli urutan apa yang digunakan dalam variabel, itu akan dipertahankan oleh hubungan kesetaraan.

Analogi tertentu dari properti ini dengan properti komutatif dapat diamati dalam kasus penjumlahan. Misalnya, karena sifat ini, maka setara dengan menulis y = 4 atau 4 = y.

Properti transitif

Sifat transitif pada persamaan menyatakan bahwa jika a = b dan b = c, maka a = c. Misalnya, 2 + 7 = 9 dan 9 = 6 + 3; oleh karena itu, berdasarkan sifat transitif kita mendapatkan bahwa 2 + 7 = 6 + 3.

Aplikasi sederhananya adalah sebagai berikut: anggap saja Julian berusia 14 tahun dan Mario seusia dengan Rosa. Jika Rosa seumuran dengan Julián, berapa umur Mario?

Di balik skenario ini, properti transitif digunakan dua kali. Secara matematis itu diinterpretasikan sebagai berikut: biarkan "a" menjadi usia Mario, "b" usia Rosa dan "c" usia Julian. Diketahui bahwa b = c dan c = 14.

Dengan sifat transitif kita mendapatkan bahwa b = 14; Artinya, Rosa berusia 14 tahun. Karena a = b dan b = 14, menggunakan sifat transitif lagi kita mendapatkan bahwa a = 14; Artinya, usia Mario juga 14 tahun.

Properti seragam

Properti seragam adalah jika kedua sisi persamaan ditambahkan atau dikalikan dengan jumlah yang sama, persamaan tersebut dipertahankan. Misalnya, jika 2 = 2, maka 2 + 3 = 2 + 3, yang jelas, karena 5 = 5. Properti ini paling berguna saat mencoba menyelesaikan persamaan.

Misalnya, Anda diminta menyelesaikan persamaan x-2 = 1. Mudah untuk diingat bahwa menyelesaikan persamaan terdiri dari menentukan secara eksplisit variabel (atau variabel) yang terlibat, berdasarkan angka tertentu atau variabel yang ditentukan sebelumnya.

Kembali ke persamaan x-2 = 1, yang harus Anda lakukan adalah mencari secara eksplisit berapa nilai x. Untuk melakukan ini, variabel harus dihapus.

Telah diajarkan secara keliru bahwa dalam kasus ini, karena angka 2 negatif, ia berpindah ke sisi lain persamaan dengan tanda positif. Tetapi tidaklah benar mengatakannya seperti itu.

Pada dasarnya, yang Anda lakukan adalah menerapkan properti uniform, seperti yang akan kita lihat di bawah. Idenya adalah untuk menghapus "x"; yaitu, biarkan saja di satu sisi persamaan. Secara konvensi biasanya dibiarkan di sisi kiri.

Untuk tujuan ini, angka yang "dihilangkan" adalah -2. Cara melakukannya adalah dengan menambahkan 2, karena -2 + 2 = 0 dan x + 0 = 0. Untuk melakukan ini tanpa mengubah persamaan, operasi yang sama harus diterapkan ke sisi lain.

Ini memungkinkan kita untuk merealisasikan properti seragam: karena x-2 = 1, jika bilangan 2 ditambahkan di kedua sisi persamaan, properti seragam mengatakan bahwa ia tidak diubah. Maka kita mendapatkan bahwa x-2 + 2 = 1 + 2, yang setara dengan mengatakan bahwa x = 3. Dengan ini persamaan akan terpecahkan.

Demikian pula, jika Anda ingin menyelesaikan persamaan (1/5) y-1 = 9, Anda dapat melanjutkan menggunakan properti seragam sebagai berikut:

Secara lebih umum, pernyataan berikut dapat dibuat:

- Jika ab = cb, maka a = c.

- Jika xb = y, maka x = y + b.

- Jika (1 / a) z = b, maka z = a ×

- Jika (1 / c) a = (1 / c) b, maka a = b.

Properti pembatalan

Properti pembatalan adalah kasus tertentu dari properti seragam, terutama mempertimbangkan kasus pengurangan dan pembagian (yang, pada dasarnya, juga berhubungan dengan penjumlahan dan perkalian). Properti ini menangani kasus ini secara terpisah.

Misalnya, jika 7 + 2 = 9, maka 7 = 9-2. Atau jika 2y = 6, maka y = 3 (bagi dua di kedua sisi).

Secara analogi dengan kasus sebelumnya, pernyataan berikut dapat ditetapkan melalui properti pembatalan:

- Jika a + b = c + b, maka a = c.

- Jika x + b = y, maka x = yb.

- Jika az = b, maka z = b / a.

- Jika ca = cb, maka a = b.

Properti substitusi

Jika kita mengetahui nilai suatu objek matematika, properti substitusi menyatakan bahwa nilai ini dapat disubstitusikan ke dalam persamaan atau ekspresi apa pun. Misalnya, jika b = 5 dan a = bx, maka substitusi nilai "b" pada persamaan kedua kita mendapatkan bahwa a = 5x.

Contoh lain adalah sebagai berikut: jika "m" membagi "n" dan juga "n" membagi "m", maka kita harus memiliki m = n.

Memang, untuk mengatakan bahwa "m" membagi "n" (atau ekuivalen, bahwa "m" adalah pembagi dari "n") berarti bahwa pembagian m ÷ n adalah tepat; yaitu, membagi "m" dengan "n" menghasilkan bilangan bulat, bukan desimal. Hal ini dapat dinyatakan dengan mengatakan bahwa terdapat bilangan bulat "k" sehingga m = k × n.

Karena "n" juga membagi "m", maka terdapat bilangan bulat "p" sehingga n = p × m. Karena sifat substitusi, kita mendapatkan n = p × k × n, dan agar hal ini terjadi ada dua kemungkinan: n = 0, dalam hal ini kita akan memiliki identitas 0 = 0; op × k = 1, maka identitas n = n.

Misalkan "n" bukan nol. Maka harus p × k = 1; oleh karena itu, p = 1 dan k = 1. Menggunakan properti substitusi lagi, dengan mensubstitusi k = 1 dalam persamaan m = k × n (atau ekuivalennya, p = 1 dalam n = p × m) kita akhirnya mendapatkan bahwa m = n, itulah yang ingin kita tunjukkan.

Properti kekuasaan dalam kesetaraan

Seperti sebelumnya, terlihat bahwa jika operasi seperti penjumlahan, perkalian, pengurangan atau pembagian dilakukan pada kedua istilah persamaan, itu dipertahankan, dengan cara yang sama operasi lain yang tidak mengubah persamaan dapat diterapkan.

Kuncinya adalah selalu melakukannya di kedua sisi kesetaraan dan memastikan sebelumnya bahwa operasi dapat dilakukan. Seperti kasus pemberdayaan; Artinya, jika kedua sisi persamaan dipangkatkan, kita masih memiliki persamaan.

Misalnya, karena 3 = 3, jadi 3 ² = 3 ² (9 = 9). Secara umum, diberikan bilangan bulat "n", jika x = y, maka x ⁿ = y ⁿ .

Akar properti dalam kesetaraan

Ini adalah kasus pemberdayaan tertentu dan diterapkan ketika pangkat adalah bilangan rasional non-integer, seperti ½, yang mewakili akar kuadrat. Properti ini menyatakan bahwa jika akar yang sama diterapkan pada kedua sisi persamaan (jika memungkinkan), persamaan tersebut dipertahankan.

Berbeda dengan kasus sebelumnya, di sini Anda harus berhati-hati dengan paritas akar yang akan diterapkan, karena diketahui bahwa akar genap dari bilangan negatif tidak terdefinisi dengan baik.

Dalam kasus di mana akar genap, tidak ada masalah. Misalnya, jika x ³ = -8, meskipun itu adalah persamaan, Anda tidak dapat menggunakan akar kuadrat ke kedua sisi, misalnya. Namun, jika Anda dapat menerapkan akar pangkat tiga (yang bahkan lebih mudah jika Anda ingin mengetahui nilai x secara eksplisit), sehingga diperoleh x = -2.

Referensi

1. Aylwin, CU (2011). Logika, Set dan Angka. Mérida - Venezuela: Dewan Publikasi, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Ambang.
3. Lira, ML (1994). Simon dan matematika: teks matematika untuk kelas dua: buku siswa. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Kursus Matematika ke-3. Progreso Editorial.
5. Segovia, BR (2012). Kegiatan dan permainan matematika dengan Miguel dan Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Kursus Matematika ke-2. Progreso Editorial.