PROPERTI ASOSIATIF: PENJUMLAHAN, PERKALIAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The properti asosiatif penambahan mewakili karakter asosiatif operasi penjumlahan di berbagai set matematika. Di dalamnya, tiga (atau lebih) elemen dari himpunan tersebut terkait, disebut a, b dan c, sehingga selalu benar:

a + (b + c) = (a + b) + c

Dengan cara ini dijamin bahwa, apapun cara pengelompokan untuk melaksanakan operasi, hasilnya sama.

Gambar 1. Kami menggunakan properti asosiatif penjumlahan berkali-kali saat melakukan operasi aritmatika dan aljabar. (Gambar: freepik Komposisi: F.Zapata)

Tetapi perlu dicatat bahwa properti asosiatif tidak sama dengan properti komutatif. Artinya, kita tahu bahwa urutan penjumlahan tidak mengubah jumlah atau urutan faktor tidak mengubah produk. Jadi untuk penjumlahannya bisa ditulis seperti ini: a + b = b + a.

Namun, dalam properti asosiatif itu berbeda, karena urutan elemen yang akan ditambahkan dipertahankan dan yang berubah adalah operasi yang dijalankan terlebih dahulu. Yang berarti menambahkan pertama (b + c) dan menambahkan a ke hasil ini tidak masalah daripada mulai menambahkan a dengan ke hasil menambahkan c.

Banyak operasi penting seperti penjumlahan bersifat asosiatif, tetapi tidak semua. Misalnya, dalam pengurangan bilangan real terjadi bahwa:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Jika a = 2, b = 3, c = 1, maka:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Properti Asosiatif Perkalian

Seperti yang dilakukan untuk penjumlahan, properti asosiatif perkalian menyatakan bahwa:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Dalam kasus himpunan bilangan real, mudah untuk memverifikasi bahwa ini selalu terjadi. Misalnya, menggunakan nilai a = 2, b = 3, c = 1, kami memiliki:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Bilangan real memenuhi sifat asosiatif dari penjumlahan dan perkalian. Sebaliknya, dalam himpunan lain, seperti vektor, jumlahnya adalah asosiatif, tetapi perkalian silang atau perkalian vektornya tidak.

Penerapan sifat asosiatif perkalian

Keuntungan operasi di mana properti asosiatif terpenuhi adalah dapat mengelompokkan dengan cara yang paling nyaman. Ini membuat resolusi menjadi lebih mudah.

Misalkan di perpustakaan kecil ada 3 rak dengan masing-masing 5 rak. Di setiap rak ada 8 buku. Ada berapa buku semuanya?

Kita bisa melakukan operasi seperti ini: total buku = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 buku.

Atau seperti ini: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 buku.

Gambar 2. Salah satu penerapan sifat asosiatif perkalian adalah dengan menghitung jumlah buku pada setiap rak. Gambar dibuat oleh F. Zapata.

Contoh

-Dalam himpunan bilangan natural, integer, rasional, real dan kompleks, properti asosiatif penjumlahan dan perkalian terpenuhi.

Gambar 3. Untuk bilangan real, sifat asosiatif penjumlahan terpenuhi. Sumber: Wikimedia Commons.

-Untuk polinomial, mereka juga berlaku dalam operasi ini.

-Dalam kasus operasi pengurangan, pembagian, dan eksponensial, properti asosiatif tidak berlaku untuk bilangan real atau polinomial.

-Dalam kasus matriks, properti asosiatif dipenuhi untuk penjumlahan dan perkalian, meskipun dalam kasus terakhir, komutatifitas tidak terpenuhi. Artinya, dengan adanya matriks A, B dan C, benar bahwa:

(A x B) x C = A x (B x C)

Tapi … A x B ≠ B x A

Properti asosiatif dalam vektor

Vektor membentuk himpunan yang berbeda dari bilangan real atau bilangan kompleks. Operasi yang ditentukan untuk himpunan vektor agak berbeda: ada penjumlahan, pengurangan, dan tiga jenis hasil kali.

Jumlah vektor memenuhi sifat asosiatif, seperti halnya bilangan, polinomial, dan matriks. Adapun produk skalar, skalar demi vektor dan persilangan yang dibuat antar vektor, yang terakhir tidak memenuhinya, tetapi produk skalar, yang merupakan jenis operasi lain antar vektor, memenuhinya, dengan mempertimbangkan hal-hal berikut:

-Produk skalar dan vektor menghasilkan vektor.

-Dan ketika mengalikan dua vektor secara skalar, hasil skalar.

Oleh karena itu, diberikan vektor v , u dan w, dan juga skalar λ, dimungkinkan untuk menulis:

- Jumlah vektor: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Skalar hasil kali: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Yang terakhir ini dimungkinkan berkat fakta bahwa v • u adalah skalar, dan λ v adalah vektor.

Namun:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Faktorisasi polinomial dengan mengelompokkan suku-suku

Aplikasi ini sangat menarik, karena seperti yang dikatakan sebelumnya, sifat asosiatif membantu memecahkan masalah tertentu. Jumlah monomial adalah asosiatif dan ini dapat digunakan untuk memfaktorkan jika faktor persekutuan yang jelas tidak muncul pada pandangan pertama.

Misalnya, Anda diminta memfaktorkan: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Polinomial ini tidak memiliki faktor persekutuan, tetapi mari kita lihat apa yang terjadi jika dikelompokkan seperti ini:

Tanda kurung pertama memiliki faktor persekutuan dari sumbu ² :

Di detik faktor persekutuan adalah 3:

Latihan

- Latihan 1

Sebuah gedung sekolah memiliki 4 lantai dan masing-masing memiliki 12 ruang kelas dengan 30 meja di dalamnya. Berapa total meja yang dimiliki sekolah?

Larutan

Masalah ini diselesaikan dengan menerapkan properti asosiatif perkalian, mari kita lihat:

Jumlah meja = 4 lantai x 12 ruang kelas / lantai x 30 meja / ruang kelas = (4 x 12) x 30 meja = 48 x 30 = 1440 meja.

Atau jika Anda lebih suka: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 meja

- Latihan 2

Mengingat polinomial:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Terapkan properti asosiatif penjumlahan untuk mencari A (x) + B (x) + C (x).

Larutan

Anda dapat mengelompokkan dua yang pertama dan menambahkan yang ketiga ke hasil:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Segera polinomial C (x) ditambahkan:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Pembaca dapat memverifikasi bahwa hasilnya identik jika diselesaikan dengan opsi A (x) +.

Referensi

1. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
2. Matematika itu Menyenangkan, Hukum Komutatif, Asosiatif, dan Distributif. Diperoleh dari: mathisfun.com.
3. Gudang Matematika. Definisi Properti Asosiatif. Diperoleh dari: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Properti Asosiatif & Komutatif Penjumlahan & Perkalian (Dengan Contoh). Diperoleh dari: sciencing.com.
5. Wikipedia. Properti asosiatif. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.