PRODUK SILANG: PROPERTI, APLIKASI DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The produk atau vektor produk silang adalah cara mengalikan dua atau lebih vektor. Ada tiga cara untuk mengalikan vektor, tetapi tidak satupun dari ini adalah perkalian dalam arti kata yang biasa. Salah satu bentuk ini dikenal sebagai perkalian vektor, yang menghasilkan vektor ketiga.

Perkalian silang, yang juga disebut perkalian silang atau hasil kali luar, memiliki sifat aljabar dan geometri yang berbeda. Sifat-sifat tersebut sangat bermanfaat terutama dalam hal studi fisika.

Definisi

Definisi formal dari perkalian vektor adalah sebagai berikut: jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3) adalah vektor, maka hasil kali vektor dari A dan B, yang akan kita nyatakan sebagai AxB, adalah:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Karena notasi AxB, dibaca sebagai "A cross B".

Contoh cara menggunakan hasil kali luar adalah jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4) adalah vektor, maka menggunakan definisi perkalian vektor yang kita miliki:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Cara lain untuk menyatakan perkalian vektor diberikan oleh notasi determinan.

Perhitungan determinan orde dua diberikan oleh:

Oleh karena itu, rumus perkalian silang yang diberikan dalam definisi dapat ditulis ulang sebagai berikut:

Ini biasanya disederhanakan menjadi determinan orde ketiga sebagai berikut:

Dimana i, j, k merepresentasikan vektor yang menjadi basis dari R ³ .

Dengan menggunakan cara menyatakan perkalian silang ini, kita mendapatkan contoh sebelumnya dapat ditulis ulang sebagai:

Properti

Beberapa properti yang dimiliki produk vektor adalah sebagai berikut:

Properti 1

Jika A adalah vektor apa pun di R ³ , kita memiliki:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Properti ini mudah diperiksa hanya dengan menggunakan definisi. Jika A = (a1, a2, a3) kita memiliki:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Sumbu0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Jika i, j, k mewakili satuan dasar R ³ , kita dapat menuliskannya sebagai berikut:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Jadi, kami memiliki properti berikut ini benar:

Sebagai aturan mnemonik, lingkaran berikut sering digunakan untuk mengingat properti ini:

Di sana kita harus mencatat bahwa setiap vektor dengan sendirinya memberikan vektor 0 sebagai hasil, dan sisa produk dapat diperoleh dengan aturan berikut:

Produk silang dari dua vektor yang berurutan searah jarum jam menghasilkan vektor berikutnya; dan jika arah berlawanan jarum jam diperhitungkan, hasilnya adalah vektor berikut dengan tanda negatif.

Berkat properti ini kita dapat melihat bahwa produk vektor tidak bersifat komutatif; misalnya, perhatikan bahwa ixj ≠ jx i. Properti berikut memberi tahu kita bagaimana AxB dan BxA terkait secara umum.

Properti 2

Jika A dan B adalah vektor dari R ³ , kita memiliki:

AxB = - (BxA).

Demonstrasi

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), menurut definisi perkalian luar kita memiliki:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Kami juga dapat melihat bahwa produk ini tidak asosiatif dengan contoh berikut:

ix (ixj) = ixk = - j tetapi (ixi) xj = 0xj = 0

Dari sini kita dapat melihat bahwa:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Properti 3

Jika A, B, C adalah vektor dari R ³ dan r adalah bilangan real, berikut ini benar:

- Sumbu (B + C) = Sumbu + Sumbu

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Berkat properti ini, kita dapat menghitung hasil kali vektor menggunakan hukum aljabar, asalkan urutannya dipatuhi. Sebagai contoh:

Jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4), kita dapat menulis ulang dalam istilah basis kanonik R ³ .

Jadi, A = i + 2j + 3k dan B = 3i - 2j + 4k. Kemudian, terapkan properti sebelumnya:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Properti 4 (perkalian tiga titik)

Seperti yang kita sebutkan di awal, ada cara lain untuk mengalikan vektor selain hasil kali vektor. Salah satu cara ini adalah produk skalar atau produk dalam, yang dilambangkan sebagai A ∙ B dan definisinya adalah:

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Properti yang menghubungkan kedua produk tersebut dikenal sebagai produk skalar rangkap tiga.

Jika A, B, dan C adalah vektor dari R ³ , maka A ∙ BxC = AxB ∙ C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahwa, diberikan A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), properti ini terpenuhi.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Di samping itu:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Perkalian rangkap tiga lainnya adalah Ax (BxC), yang dikenal sebagai perkalian vektor rangkap tiga.

Properti 5 (perkalian vektor rangkap tiga)

Jika A, B dan C adalah vektor dari R ³ , maka:

Sumbu (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahwa, diberikan A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), properti ini terpenuhi.

Dari contoh sebelumnya kita mengetahui bahwa BxC = (- 18, - 22, 17). Mari menghitung Ax (BxC):

Kapak (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Di sisi lain, kita harus:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Jadi, kita harus:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Properti 6

Ini adalah salah satu sifat geometris vektor. Jika A dan B adalah dua vektor di R ³ dan ϴ adalah sudut yang terbentuk di antara keduanya, maka:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), di mana - ∙ - menunjukkan modulus atau besarnya vektor.

Interpretasi geometris dari properti ini adalah sebagai berikut:

Misalkan A = PR dan B = PQ. Jadi sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B merupakan sudut P dari segitiga RQP, seperti terlihat pada gambar berikut.

Oleh karena itu, luas jajaran genjang yang memiliki PR dan PQ sebagai sisi yang berdekatan adalah --A ---- B - sin (ϴ), karena kita dapat mengambil --A-- sebagai alas dan tingginya diberikan oleh --B - sin (ϴ).

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa --AxB-- adalah luas jajaran genjang tersebut.

Contoh

Diberikan simpul berikut dari segiempat P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) dan S (5,7, -3), tunjukkan bahwa segiempat tersebut adalah jajar genjang dan temukan luasnya.

Untuk ini, pertama-tama kita menentukan vektor yang menentukan arah sisi segiempat. Ini adalah:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Seperti yang bisa kita lihat, A dan C memiliki vektor pengarah yang sama, dimana kita memiliki keduanya paralel; hal yang sama terjadi dengan B dan D. Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa PQRS adalah jajaran genjang.

Untuk memiliki luas jajaran genjang ini, kami menghitung BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Oleh karena itu, luas area yang dikuadratkan adalah:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Dapat disimpulkan bahwa luas jajaran genjang akan menjadi akar kuadrat dari 89.

Properti 7

Dua vektor A dan B sejajar di R ³ jika dan hanya jika AxB = 0

Demonstrasi

Jelas bahwa jika A atau B adalah vektor nol, maka AxB = 0. Karena vektor nol sejajar dengan vektor lainnya, maka properti tersebut valid.

Jika tidak satu pun dari kedua vektor tersebut adalah vektor nol, kita mendapatkan bahwa besarnya berbeda dari nol; yaitu, --A-- ≠ 0 dan --B-- ≠ 0, jadi kita akan memiliki --AxB-- = 0 jika dan hanya jika sin (ϴ) = 0, dan ini terjadi jika dan hanya jika ϴ = π atau ϴ = 0.

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan AxB = 0 jika dan hanya jika ϴ = π atau ϴ = 0, yang hanya terjadi jika kedua vektor sejajar satu sama lain.

Properti 8

Jika A dan B adalah dua vektor di R ³ , maka AxB tegak lurus terhadap A dan B.

Demonstrasi

Untuk bukti ini, mari kita ingat bahwa dua vektor tegak lurus jika A ∙ B sama dengan nol. Lebih jauh, kita tahu bahwa:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, tapi AxA sama dengan 0. Jadi, kita punya:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Dengan ini kita dapat menyimpulkan bahwa A dan AxB saling tegak lurus. Secara analogi, kita harus:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Karena BxB = 0, kita punya:

Sumbu ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Oleh karena itu, AxB dan B saling tegak lurus dan dengan ini sifatnya ditunjukkan. Ini sangat berguna bagi kami, karena memungkinkan kami menentukan persamaan bidang.

Contoh 1

Dapatkan persamaan bidang yang melewati titik-titik P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) dan R (2, 1, 3).

Misalkan A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) dan B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Maka A = - i + 3j + k dan B = i - 2j + k. Untuk mencari bidang yang dibentuk oleh ketiga titik ini, cukup mencari vektor yang normal terhadap bidang tersebut, yaitu AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Dengan vektor ini, dan mengambil titik P (1, 3, 2), kita dapat menentukan persamaan bidangnya sebagai berikut:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Jadi, kita mendapatkan persamaan bidangnya adalah 5x + 2y - z - 9 = 0.

Contoh 2

Cari persamaan bidang yang berisi titik P (4, 0, - 2) dan yang tegak lurus masing-masing bidang x - y + z = 0 dan 2x + y - 4z - 5 = 0.

Mengetahui bahwa vektor normal pada bidang ax + by + cz + d = 0 adalah (a, b, c), kita mendapatkan bahwa (1, -1,1) adalah vektor normal dari x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) adalah vektor normal 2x + y - 4z - 5 = 0.

Oleh karena itu vektor normal pada bidang yang dicari harus tegak lurus dengan (1, -1,1) dan (2, 1, - 4). Vektor ini adalah:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Kemudian, kita mendapatkan bahwa bidang yang dicari adalah bidang yang berisi titik P (4,0, - 2) dan memiliki vektor (3,6,3) sebagai vektor normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Aplikasi

Perhitungan volume paralelepiped

Aplikasi yang memiliki hasil kali tiga skalar adalah dengan dapat menghitung volume dari sebuah parallelepiped yang ujung-ujungnya diberikan oleh vektor A, B dan C, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Kita dapat menyimpulkan aplikasi ini sebagai berikut: seperti yang kita katakan sebelumnya, vektor AxB adalah vektor yang normal terhadap bidang A dan B. Kita juga mendapatkan bahwa vektor - (AxB) adalah vektor lain yang normal untuk bidang tersebut.

Kami memilih vektor normal yang membentuk sudut terkecil dengan vektor C; Tanpa kehilangan keumuman, misalkan AxB adalah vektor yang sudut dengan C adalah yang terkecil.

Kami memiliki bahwa AxB dan C memiliki titik awal yang sama. Selain itu, kita mengetahui bahwa luas jajaran genjang yang membentuk alas paralelepiped adalah --AxB--. Oleh karena itu, jika tinggi dari parallelepiped diberikan oleh h, volumenya adalah:

V = --AxB - jam.

Di sisi lain, mari pertimbangkan perkalian titik antara AxB dan C, yang dapat dijelaskan sebagai berikut:

Namun, dengan sifat trigonometri kita memiliki h = --C - cos (ϴ), jadi kita punya:

Dengan cara ini, kami memiliki:

Secara umum, kita mengetahui bahwa volume dari sebuah parallelepiped diberikan oleh nilai absolut dari produk skalar rangkap tiga AxB ∙ C.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Diketahui titik P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) dan S = (2, 6, 9), titik-titik ini membentuk paralelepiped yang ujung-ujungnya mereka adalah PQ, PR dan PS. Tentukan volume paralelepiped tersebut.

Larutan

Jika kami mengambil:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Menggunakan properti produk tiga skalar, kami memiliki:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Oleh karena itu, volume paralelepiped tersebut adalah 52.

Latihan 2

Tentukan volume dari parallelepiped yang ujung-ujungnya diberikan oleh A = PQ, B = PR dan C = PS, dimana titik P, Q, R dan S adalah (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) dan (2, 2, 5), masing-masing.

Larutan

Pertama kita mendapatkan bahwa A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Kami menghitung AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Kemudian kami menghitung AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Jadi kita menyimpulkan bahwa volume dari parallelepiped tersebut adalah 1 unit kubik.

Referensi

1. Leithold, L. (1992). Perhitungan dengan geometri analitik. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fisika Vol. 1. Meksiko: Kontinental.
3. Saenz, J. (nd). Kalkulus Vektor 1ed. Sisi miring.
4. Spiegel, MR (2011). Analisis Vektorial 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Perhitungan Beberapa Variabel 4ed. Mc Graw Hill.