PRINSIP PERKALIAN: TEKNIK DAN CONTOH MENGHITUNG - MATEMATIKA - 2025

The prinsip perkalian adalah teknik yang digunakan untuk memecahkan masalah penghitungan untuk menemukan solusi tanpa harus daftar unsur-unsurnya. Ia juga dikenal sebagai prinsip dasar analisis kombinatorial; itu didasarkan pada perkalian berturut-turut untuk menentukan bagaimana suatu peristiwa dapat terjadi.

Prinsip ini menyatakan bahwa, jika keputusan (d ₁ ) dapat dibuat dalam n cara dan keputusan lain (d ₂ ) dapat dibuat dalam m cara, jumlah cara di mana keputusan d ₁ dan d ₂ dapat dibuat akan sama untuk mengalikan dari n _* m. Menurut prinsipnya, setiap keputusan diambil satu demi satu: sejumlah cara = N _{1 *} N ₂ … _* N _x cara.

Contoh

Contoh 1

Paula berencana pergi ke bioskop bersama teman-temannya, dan untuk memilih pakaian yang akan dikenakannya, saya pisahkan 3 blus dan 2 rok. Berapa cara berpakaian Paula?

Larutan

Dalam hal ini, Paula harus membuat dua keputusan:

d ₁ = Pilih antara 3 blus = n

d ₂ = Pilih antara 2 rok = m

Dengan cara itu Paula memiliki n _* keputusan m untuk membuat atau cara yang berbeda berpakaian.

n _* m = 3 _* 2 = 6 keputusan.

Prinsip perkalian lahir dari teknik diagram pohon, yaitu diagram yang menghubungkan semua hasil yang mungkin, sehingga masing-masing dapat terjadi dalam beberapa kali tertentu.

Contoh 2

Mario sangat haus, jadi dia pergi ke toko roti untuk membeli jus. Luis merawatnya dan mengatakan kepadanya bahwa itu ada dua ukuran: besar dan kecil; dan empat rasa: apel, jeruk, lemon, dan anggur. Berapa cara Mario memilih jus?

Larutan

Dalam diagram dapat dilihat bahwa Mario memiliki 8 cara berbeda untuk memilih jus dan, seperti dalam prinsip perkalian, hasil ini diperoleh dengan mengalikan n _* m. Satu-satunya perbedaan adalah melalui diagram ini Anda dapat melihat seperti apa cara Mario memilih jus.

Di sisi lain, ketika jumlah kemungkinan hasil sangat besar, lebih praktis menggunakan prinsip perkalian.

Teknik berhitung

Teknik penghitungan adalah metode yang digunakan untuk melakukan penghitungan langsung, dan dengan demikian mengetahui jumlah kemungkinan pengaturan yang dapat dimiliki elemen dari himpunan tertentu. Teknik-teknik ini didasarkan pada beberapa prinsip:

Prinsip penjumlahan

Prinsip ini menyatakan bahwa, jika dua peristiwa m dan n tidak dapat terjadi pada waktu yang sama, banyaknya cara terjadinya peristiwa pertama atau kedua adalah jumlah dari m + n:

Jumlah bentuk = m + n… + x bentuk berbeda.

Contoh

Antonio ingin melakukan perjalanan tetapi tidak memutuskan ke mana tujuan; di Agen Pariwisata Selatan mereka menawarkan Anda promosi untuk bepergian ke New York atau Las Vegas, sedangkan Agen Pariwisata Timur merekomendasikan perjalanan ke Prancis, Italia atau Spanyol. Berapa banyak alternatif perjalanan berbeda yang ditawarkan Antonio?

Larutan

Dengan Agen Pariwisata Selatan Antonio memiliki 2 alternatif (New York atau Las Vegas), sedangkan dengan Agen Pariwisata Timur dia memiliki 3 pilihan (Prancis, Italia atau Spanyol). Jumlah alternatif yang berbeda adalah:

Jumlah alternatif = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Prinsip permutasi

Ini tentang secara khusus memesan semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set, untuk memfasilitasi penghitungan semua kemungkinan pengaturan yang dapat dibuat dengan elemen.

Jumlah permutasi dari n elemen yang berbeda, diambil sekaligus, direpresentasikan sebagai:

_n P _n = n!

Contoh

Empat teman ingin mengambil foto dan ingin tahu berapa banyak cara mengaturnya.

Larutan

Anda ingin mengetahui semua cara yang memungkinkan di mana 4 orang dapat diposisikan untuk mengambil gambar. Jadi, Anda harus:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 bentuk berbeda.

Jika jumlah permutasi dari n elemen yang tersedia diambil oleh bagian dari himpunan yang terdiri dari elemen r, itu direpresentasikan sebagai:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Contoh

Dalam satu ruang kelas ada 10 kursi. Jika 4 siswa menghadiri kelas, dalam berapa banyak cara siswa dapat mengisi posisi tersebut?

Larutan

Kami mendapatkan bahwa jumlah set kursi adalah 10, dan ini hanya 4 yang akan digunakan Rumus yang diberikan diterapkan untuk menentukan jumlah permutasi:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 cara mengisi posisi.

Ada kasus di mana beberapa elemen yang tersedia dari suatu himpunan diulangi (mereka sama). Untuk menghitung jumlah array yang mengambil semua elemen pada saat yang bersamaan, digunakan rumus berikut:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Contoh

Berapa banyak kata empat huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari kata "wolf"?

Larutan

Dalam hal ini ada 4 elemen (huruf) yang dua diantaranya sama persis. Menerapkan rumus yang diberikan, diketahui berapa banyak kata yang dihasilkan:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 kata yang berbeda.

Prinsip kombinasi

Ini tentang mengatur semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set tanpa urutan tertentu. Misalnya, jika Anda memiliki pengaturan XYZ, itu akan identik dengan pengaturan ZXY, YZX, ZYX, antara lain; Hal ini karena meskipun tidak dalam urutan yang sama, namun unsur-unsur dari setiap susunan adalah sama.

Ketika beberapa elemen (r) diambil dari himpunan (n), prinsip kombinasi diberikan dengan rumus berikut:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Contoh

Di toko mereka menjual 5 jenis coklat. Berapa banyak cara berbeda untuk memilih 4 cokelat?

Larutan

Dalam hal ini, 4 coklat harus dipilih dari 5 jenis yang mereka jual di toko. Urutan pemilihannya tidak menjadi masalah dan, sebagai tambahan, satu jenis coklat dapat dipilih lebih dari dua kali. Menerapkan rumus, Anda harus:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 cara berbeda untuk memilih 4 cokelat.

Ketika semua elemen (r) dari himpunan (n) diambil, prinsip kombinasi diberikan dengan rumus berikut:

_n C _{n =} n!

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Ada tim bisbol dengan 14 anggota. Dalam berapa cara 5 posisi dapat ditetapkan untuk sebuah permainan?

Larutan

Set terdiri dari 14 elemen dan Anda ingin menetapkan 5 posisi tertentu; artinya, ketertiban penting. Rumus permutasi diterapkan di mana n elemen yang tersedia diambil oleh bagian dari himpunan yang dibentuk oleh r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Dimana n = 14 dan r = 5. Ini disubstitusikan ke dalam rumus:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 cara untuk menetapkan 9 posisi permainan.

Latihan 2

Jika sebuah keluarga beranggotakan 9 orang melakukan perjalanan dan membeli tiket mereka dengan kursi yang berurutan, berapa banyak cara mereka dapat duduk?

Larutan

Ada sekitar 9 elemen yang akan menempati 9 kursi berturut-turut.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362.880 cara duduk yang berbeda.

Referensi

1. Hopkins, B. (2009). Sumber Daya untuk Pengajaran Matematika Diskrit: Proyek Kelas, Modul Sejarah, dan Artikel.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matematika diskrit. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Pemecah Masalah Matematika Hingga dan Diskrit. Editor Asosiasi Riset & Pendidikan.
4. Padró, FC (2001). Matematika diskrit. Politèc. dari Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematika untuk ilmu terapan. Kembalikan.