POLIGON CEMBUNG: DEFINISI, ELEMEN, PROPERTI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Sebuah poligon cembung adalah sosok geometris yang terkandung dalam sebuah pesawat yang ditandai karena memiliki semua diagonalnya di dalam dan sudut yang mengukur kurang dari 180-an. Di antara propertinya adalah sebagai berikut:

1) Terdiri dari n segmen berurutan di mana segmen terakhir bergabung dengan yang pertama. 2) Tidak ada segmen yang berpotongan sedemikian rupa untuk membatasi bidang di daerah dalam dan daerah luar. 3) Setiap sudut di wilayah interior benar-benar kurang dari sudut bidang.

Gambar 1. Poligon 1, 2, dan 6 berbentuk cembung. (Disiapkan oleh Ricardo Pérez).

Cara sederhana untuk menentukan apakah sebuah poligon itu cembung atau tidak adalah dengan mempertimbangkan garis yang melewati salah satu sisinya, yang menentukan dua bidang setengah. Jika di setiap garis yang melewati satu sisi, sisi lain dari poligon berada pada bidang setengah yang sama, maka itu adalah poligon cembung.

Elemen poligon

Setiap poligon terdiri dari elemen-elemen berikut:

- Sisi

- Sudut

Sisi masing-masing segmen berurutan yang membentuk poligon. Dalam poligon, tidak ada segmen yang membentuknya yang memiliki ujung terbuka, dalam hal ini akan ada garis poligonal tetapi tidak ada poligon.

Simpul adalah titik persimpangan dua segmen yang berurutan. Dalam poligon, jumlah titik sudut selalu sama dengan jumlah sisi.

Jika dua sisi atau ruas poligon berpotongan, maka Anda memiliki poligon bersilangan. Titik persimpangan tidak dianggap sebagai simpul. Poligon silang adalah poligon non-cembung. Poligon bintang adalah poligon silang dan oleh karena itu tidak cembung.

Ketika sebuah poligon memiliki semua sisinya dengan panjang yang sama, maka kita memiliki poligon beraturan. Semua poligon beraturan berbentuk cembung.

Poligon cembung dan non-cembung

Gambar 1 menunjukkan beberapa poligon, ada yang cembung dan ada yang tidak. Mari kita analisis mereka:

Angka 1 adalah poligon bersisi tiga (segitiga) dan semua sudut interiornya kurang dari 180º, oleh karena itu ia merupakan poligon cembung. Semua segitiga adalah poligon cembung.

Angka 2 adalah poligon bersisi empat (segiempat) di mana tidak ada sisi yang berpotongan dan setiap sudut interiornya kurang dari 180º. Ini kemudian menjadi poligon cembung dengan empat sisi (segiempat cembung).

Sebaliknya, angka 3 merupakan poligon dengan empat sisi tetapi salah satu sudut interiornya lebih besar dari 180º, sehingga tidak memenuhi syarat konveksitas. Artinya, ini adalah poligon bersisi empat non-cembung yang disebut segiempat cekung.

Angka 4 adalah poligon dengan empat ruas (sisi), dua di antaranya berpotongan. Keempat sudut interiornya kurang dari 180º, tetapi karena dua sisi berpotongan, itu adalah poligon bersilang non-cembung (segiempat bersilangan).

Kasus lainnya adalah bilangan 5. Ini adalah poligon dengan lima sisi, tetapi karena salah satu sudut interiornya lebih besar dari 180º, kita memiliki poligon cekung.

Terakhir, angka 6, yang juga memiliki lima sisi, memiliki semua sudut interiornya kurang dari 180º, jadi ini adalah poligon cembung dengan lima sisi (segi lima cembung).

Properti poligon cembung

1- Poligon tidak bersilangan atau poligon sederhana membagi bidang yang memuatnya menjadi dua wilayah. Wilayah dalam dan wilayah luar, poligon menjadi batas antara dua wilayah.

Tetapi jika poligon tersebut juga cembung, maka kita memiliki daerah interior yang terhubung sederhana, yang berarti mengambil dua titik dari daerah interior, itu selalu dapat digabungkan dengan segmen yang seluruhnya dimiliki oleh daerah interior.

Gambar 2. Poligon cembung terhubung sederhana, sedangkan yang cekung tidak terhubung. (Disiapkan oleh Ricardo Pérez).

2- Setiap sudut interior poligon cembung lebih kecil dari sudut bidang (180º).

3- Semua titik interior poligon cembung selalu dimiliki oleh salah satu bidang semi yang ditentukan oleh garis yang melewati dua simpul yang berurutan.

4- Dalam poligon cembung, semua diagonal terdapat di dalam daerah poligonal bagian dalam.

5- Titik interior poligon cembung seluruhnya dimiliki oleh sektor sudut cembung yang ditentukan oleh setiap sudut interior.

6- Setiap poligon yang semua simpulnya berada pada sebuah keliling adalah poligon cembung yang disebut poligon siklik.

7- Setiap poligon siklik berbentuk cembung, tetapi tidak setiap poligon cembung berbentuk siklik.

8- Poligon tak bersilangan (poligon sederhana) yang semua sisinya sama panjangnya adalah cembung dan dikenal sebagai poligon beraturan.

Diagonal dan sudut dalam poligon cembung

9- Jumlah total N diagonal poligon cembung dengan n sisi diberikan oleh rumus berikut:

N = ½ n (n - 3)

Bukti: Dalam poligon cembung dengan n sisi setiap simpul, n - 3 diagonal digambar, karena simpul itu sendiri dan dua yang berdekatan dikecualikan. Karena ada n simpul, maka total n (n - 2) diagonal digambar, tetapi tiap diagonal digambar dua kali, jadi jumlah diagonal (tanpa pengulangan) adalah n (n-2) / 2.

10- Jumlah S dari sudut interior poligon cembung dengan n sisi diberikan oleh hubungan berikut:

S = (n - 2) 180º

Contoh

Contoh 1

Hexagon siklik adalah poligon dengan enam sisi dan enam simpul, tetapi semua simpul berada pada lingkar yang sama. Setiap poligon siklik berbentuk cembung.

Segi enam siklik.

Contoh 2

Tentukan nilai sudut interior enegon biasa.

Solusi: Enegon adalah poligon bersisi 9, tetapi jika enegon juga beraturan, semua sisi dan sudutnya sama.

Jumlah semua sudut interior poligon bersisi 9 adalah:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Tetapi ada 9 sudut internal dengan ukuran yang sama α, sehingga persamaan berikut harus dipenuhi:

S = 9 α = 1260º

Dari sini dapat disimpulkan bahwa ukuran α dari setiap sudut internal enegon biasa adalah:

α = 1260º / 9 = 140º