PARALLELEPIPED: KARAKTERISTIK, JENIS, LUAS, VOLUME - MATEMATIKA - 2025

Sebuah parallelepiped adalah tubuh geometris yang terdiri dari enam wajah, ciri utama yang adalah bahwa semua wajah nya adalah jajaran genjang dan juga bahwa wajah yang berhadapan adalah sejajar satu sama lain. Ini adalah polyhedron yang umum dalam kehidupan kita sehari-hari, karena kita dapat menemukannya di kotak sepatu, berbentuk batu bata, bentuk microwave, dll.

Menjadi polihedron, paralelepiped membungkus volume yang terbatas dan semua permukaannya datar. Ini adalah bagian dari kelompok prisma, yaitu polihedra di mana semua simpulnya terdapat dalam dua bidang paralel.

Elemen Parallelepiped

Wajah

Mereka adalah masing-masing daerah yang dibentuk oleh jajaran genjang yang membatasi paralelepiped. Paralelepiped memiliki enam sisi, di mana setiap sisi memiliki empat sisi yang berdekatan dan satu sisi berlawanan. Juga, setiap wajah sejajar dengan kebalikannya.

Tepi

Mereka adalah sisi yang sama dari dua sisi. Secara total, parallelepiped memiliki dua belas sisi.

Puncak

Ini adalah titik umum dari tiga sisi yang berdekatan satu sama lain dua demi dua. Sebuah parallelepiped memiliki delapan simpul.

Diagonal

Diberikan dua permukaan paralelepiped yang berlawanan satu sama lain, kita dapat menggambar ruas garis yang berangkat dari puncak satu wajah ke sudut berlawanan dari yang lain.

Segmen ini dikenal sebagai diagonal dari parallelepiped. Setiap parallelepiped memiliki empat diagonal.

Pusat

Ini adalah titik di mana semua diagonal berpotongan.

Karakteristik Parallelepiped

Seperti yang telah kami sebutkan, benda geometris ini memiliki dua belas tepi, enam muka, dan delapan simpul.

Dalam paralelepiped, tiga set yang dibentuk oleh empat sisi dapat diidentifikasi, yang sejajar satu sama lain. Lebih lanjut, tepi-tepi himpunan tersebut juga memiliki sifat yang memiliki panjang yang sama.

Sifat lain yang dimiliki parallelepiped adalah bahwa mereka cembung, yaitu, jika kita mengambil pasangan titik yang termasuk dalam interior parallelepiped, segmen yang ditentukan oleh pasangan titik tersebut juga akan berada dalam parallelepiped.

Selain itu, paralelepiped menjadi polihedra cembung sesuai dengan teorema Euler untuk polihedra, yang memberi kita hubungan antara jumlah permukaan, jumlah tepi, dan jumlah simpul. Hubungan tersebut diberikan dalam bentuk persamaan berikut:

C + V = A + 2

Karakteristik ini dikenal dengan karakteristik Euler.

Dimana C adalah jumlah wajah, V jumlah simpul dan A jumlah sisi.

Jenis

Kita dapat mengklasifikasikan parallelepiped berdasarkan wajahnya, menjadi tipe berikut:

Orthohedron

Mereka adalah paralelepipeds di mana wajah mereka dibentuk oleh enam persegi panjang. Setiap persegi panjang tegak lurus dengan persegi panjang yang berbagi sisi. Mereka adalah yang paling umum dalam kehidupan kita sehari-hari, ini adalah bentuk kotak sepatu dan batu bata yang biasa.

Kubus biasa atau hexahedron

Ini adalah kasus khusus dari yang sebelumnya, di mana setiap mukanya berbentuk persegi.

Kubus juga merupakan bagian dari benda-benda geometris yang disebut benda padat Platonis. Padatan Platonis adalah polihedron cembung, sehingga muka dan sudut internalnya sama satu sama lain.

Rhombohedron

Ini adalah paralelepiped dengan belah ketupat untuk wajahnya. Belah ketupat ini semuanya sama satu sama lain, karena mereka berbagi tepian.

Rhombohedron

Keenam wajahnya adalah romboid. Ingatlah bahwa belah ketupat adalah poligon dengan empat sisi dan empat sudut yang sama dua dengan dua. Rhomboids adalah jajaran genjang yang bukan persegi, bukan persegi panjang, atau belah ketupat.

Di sisi lain, Oblique Parallelepiped adalah yang setidaknya satu tingginya tidak sesuai dengan tepinya. Dalam klasifikasi ini kita dapat memasukkan rhombohedra dan rhombohedra.

Perhitungan diagonal

Untuk menghitung diagonal sebuah ortohedron kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk R ³ .

Ingatlah bahwa ortohedron memiliki karakteristik bahwa setiap sisi tegak lurus dengan sisi yang berbagi sisi. Dari fakta ini kita dapat menyimpulkan bahwa setiap tepi tegak lurus dengan tepi yang berbagi simpul.

Untuk menghitung panjang diagonal ortohedron, kami melanjutkan sebagai berikut:

1. Kami menghitung diagonal salah satu sisi, yang akan kami tempatkan sebagai alas. Untuk ini kami menggunakan teorema Pythagoras. Beri nama diagonal ini d _b .

2. Kemudian dengan d _b kita dapat membentuk segitiga siku-siku baru, sehingga hipotenusa segitiga tersebut adalah diagonal D.

3. Kami menggunakan teorema Pythagoras lagi dan kami menemukan bahwa panjang diagonal ini adalah:

Cara lain untuk menghitung diagonal dengan cara yang lebih grafis adalah dengan penambahan vektor bebas.

Ingatlah bahwa dua vektor bebas A dan B ditambahkan dengan menempatkan ekor vektor B dengan ujung vektor A.

Vektor (A + B) adalah vektor yang dimulai di ekor A dan berakhir di ujung B.

Mari kita pertimbangkan paralelepiped yang ingin kita hitung diagonal.

Kami mengidentifikasi tepi dengan vektor berorientasi nyaman.

Kemudian kita menambahkan vektor ini dan vektor yang dihasilkan akan menjadi diagonal dari parallelepiped.

Daerah

Luas dari sebuah parallelepiped diberikan oleh jumlah dari masing-masing luas permukaannya.

Jika kita menentukan salah satu sisi sebagai alasnya,

A _L + 2A _B = Luas Total

Dimana A _L sama dengan jumlah luas semua sisi yang berdekatan dengan alas, disebut luas sisi dan A _B adalah luas alas.

Bergantung pada jenis parallelepiped yang sedang kita kerjakan, kita dapat menulis ulang rumus ini.

Area ortohedron

Itu diberikan oleh rumus

A = 2 (ab + bc + ca).

Contoh 1

Diketahui ortohedron berikut, dengan sisi a = 6 cm, b = 8 cm dan c = 10 cm, hitung luas bidang paralel dan panjang diagonalnya.

Menggunakan rumus untuk luas ortohedron kita memiliki itu

L = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Perhatikan bahwa karena ini adalah ortohedron, panjang salah satu dari empat diagonalnya adalah sama.

Kami menggunakan teorema Pythagoras untuk ruang angkasa

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Luas kubus

Karena setiap sisi memiliki panjang yang sama, kita mendapatkan bahwa a = b dan a = c. Mengganti rumus sebelumnya yang kita miliki

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

Contoh 2

Kotak konsol game berbentuk seperti kubus. Jika kita ingin membungkus kotak ini dengan bungkus kado, berapa banyak kertas yang akan kita habiskan untuk mengetahui bahwa panjang tepi kubus adalah 45 cm?

Menggunakan rumus untuk luas kubus kita mendapatkan itu

L = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Luas rhombohedron

Karena semua permukaannya sama, hitung saja luas salah satunya dan kalikan dengan enam.

Kita mendapatkan bahwa luas belah ketupat dapat dihitung melalui diagonalnya dengan rumus berikut

A _R = (Dd) / 2

Menggunakan rumus ini maka total luas rhombohedron adalah

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Contoh 3

Muka belah ketupat berikut ini dibentuk oleh belah ketupat yang diagonalnya D = 7 cm dan d = 4 cm. Daerah Anda akan menjadi

L = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Luas rhombohedron

Untuk menghitung luas rhombohedron kita harus menghitung luas rhomboids yang menyusunnya. Karena parallelepiped memenuhi sifat bahwa sisi berlawanan memiliki luas yang sama, kita dapat mengasosiasikan sisi dalam tiga pasangan.

Dengan cara ini kami mengetahui bahwa daerah Anda akan menjadi

A _T = 2b ₁ jam ₁ + 2b ₂ jam ₂ + 2b ₃ jam ₃

Di mana b _i adalah alas yang terkait dengan sisi dan h _i tinggi relatifnya sesuai dengan alas ini.

Contoh 4

Pertimbangkan paralelepiped berikut,

dimana sisi A dan sisi A '(sisi berlawanannya) memiliki alas b = 10 dan tinggi h = 6. Area yang ditandai akan bernilai

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B dan B 'memiliki b = 4 dan h = 6, jadi

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

Jadi YC dan C 'memiliki b = 10 dan h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Akhirnya luas rhombohedron tersebut

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volume dari sebuah parallelepiped

Rumus yang memberi kita volume dari sebuah pipa paralel adalah hasil kali dari luas salah satu permukaannya dengan tinggi yang sesuai dengan permukaan itu.

V = A _C h _C

Bergantung pada jenis parallelepiped, rumus ini dapat disederhanakan.

Jadi kita memiliki contoh bahwa volume ortohedron akan diberikan oleh

V = abc.

Dimana a, b dan c mewakili panjang dari tepi ortohedron.

Dan dalam kasus kubus tertentu adalah

V = a ³

Contoh 1

Ada tiga model berbeda untuk kotak kue dan Anda ingin tahu di model mana Anda dapat menyimpan lebih banyak cookie, yaitu kotak mana yang memiliki volume terbesar.

Kubus pertama adalah kubus yang ujungnya memiliki panjang a = 10 cm

Volumenya adalah V = 1000 cm ³

Kedua memiliki tepi b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Dan oleh karena itu volumenya adalah V = 765 cm ³

Dan ketiga memiliki e = 9 cm, f = 9 cm dan g = 13 cm

Dan volumenya adalah V = 1053 cm ³

Oleh karena itu, kotak dengan volume terbesar adalah yang ketiga.

Metode lain untuk mendapatkan volume dari parallelepiped adalah dengan menggunakan aljabar vektor. Secara khusus, perkalian tiga titik.

Salah satu interpretasi geometris yang dimiliki oleh perkalian tiga skalar adalah volume dari parallelepiped, yang ujung-ujungnya adalah tiga vektor yang berbagi simpul yang sama sebagai titik awal.

Dengan cara ini, jika kita memiliki parallelepiped dan ingin mengetahui volumenya, cukup merepresentasikannya dalam sistem koordinat di R ^{3 dengan} membuat salah satu simpulnya sesuai dengan titik asal.

Kemudian kami mewakili tepi yang bertepatan dengan titik awal dengan vektor seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Dan dengan cara ini kita mendapatkan bahwa volume paralelepiped tersebut diberikan oleh

V = - AxB ∙ C-

Atau, ekuivalen, volume adalah determinan dari matriks 3 × 3, yang dibentuk oleh komponen-komponen vektor tepi.

Contoh 2

Saat merepresentasikan parallelepiped berikut di R ^3, kita dapat melihat bahwa vektor yang menentukannya adalah sebagai berikut

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) dan w = (-0.25, -4, 4)

Menggunakan produk triple scalar yang kami miliki

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Dari sini kita menyimpulkan bahwa V = 60

Sekarang mari kita pertimbangkan paralelepiped berikut di R3 yang ujung-ujungnya ditentukan oleh vektor

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) dan C = (3, 4, 4)

Menggunakan determinan memberi kita itu

Jadi kita mendapatkan bahwa volume parallelepiped tersebut adalah 112.

Keduanya adalah cara yang setara untuk menghitung volume.

Paralel yang sempurna

Sebuah orthohedron dikenal sebagai batu bata Euler (atau blok Euler) yang memenuhi sifat bahwa panjang tepinya dan panjang diagonal dari setiap mukanya adalah bilangan bulat.

Meskipun Euler bukan ilmuwan pertama yang mempelajari ortohedra yang memenuhi sifat ini, dia menemukan hasil yang menarik tentang ortohedra.

Batu bata Euler terkecil ditemukan oleh Paul Halcke dan panjang tepinya adalah a = 44, b = 117 dan c = 240.

Masalah terbuka dalam teori bilangan adalah sebagai berikut

Apakah ada ortohedra yang sempurna?

Saat ini, pertanyaan ini belum terjawab, karena belum mungkin untuk membuktikan bahwa badan-badan seperti itu tidak ada, tetapi juga tidak ada yang ditemukan.

Apa yang telah ditunjukkan sejauh ini adalah bahwa paralelepiped sempurna memang ada. Yang pertama ditemukan memiliki panjang tepinya nilai 103, 106 dan 271.

Bibliografi

1. Guy, R. (1981). Masalah yang belum terpecahkan dalam teori bilangan. Peloncat.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometri. Kemajuan.
3. Leithold, L. (1992). Perhitungan dengan geometri analitik. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Gambar teknis: Buku kegiatan 3 2nd Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fisika Vol. 1. Meksiko: Kontinental.