PARABOLOID HIPERBOLIK: DEFINISI, SIFAT DAN CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Sebuah paraboloid hiperbolik adalah permukaan yang persamaan umum dalam koordinat Cartesian (x, y, z) memenuhi persamaan berikut:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Nama "paraboloid" berasal dari fakta bahwa variabel z bergantung pada kuadrat dari variabel x dan y. Sedangkan kata sifat "hiperbolik" disebabkan oleh fakta bahwa pada nilai tetap z kita memiliki persamaan hiperbola. Bentuk permukaan ini mirip dengan pelana kuda.

Gambar 1. Paraboloid hiperbolik z = x ² - y ² . Sumber: F. Zapata menggunakan Wolfram Mathematica.

Deskripsi paraboloid hiperbolik

Untuk memahami sifat dari paraboloid hiperbolik, akan dilakukan analisis sebagai berikut:

1.- Kasus tertentu a = 1, b = 1 akan diambil, artinya persamaan Cartesian dari paraboloid tetap sebagai z = x ² - y ² .

2.- Bidang dianggap sejajar dengan bidang ZX, yaitu y = ctte.

3.- Dengan y = ctte tetap z = x ² - C, yang merepresentasikan parabola dengan cabang ke atas dan simpul di bawah bidang XY.

Gambar 2. Keluarga kurva z = x ² - C. Sumber: F. Zapata menggunakan Geogebra.

4.- Dengan x = ctte tetap z = C - y ² , yang merepresentasikan parabola dengan cabang di bawah dan puncak di atas bidang XY.

Gambar 3. Keluarga kurva z = C - y ² . Sumber: F. Zapata melalui Geogebra.

5.- Dengan z = ctte tetap C = x ² - y ² , yang merepresentasikan hiperbola dalam bidang yang sejajar dengan bidang XY. Jika C = 0 ada dua garis (pada + 45º dan -45º terhadap sumbu X) yang berpotongan di titik asal pada bidang XY.

Gambar 4. Keluarga kurva x ² - y ² = C. Sumber: F. Zapata menggunakan Geogebra ..

Properti paraboloid hiperbolik

1.- Empat titik berbeda dalam ruang tiga dimensi menentukan satu dan hanya satu paraboloid hiperbolik.

2.- Paraboloid hiperbolik adalah permukaan dengan aturan ganda. Ini berarti bahwa meskipun permukaannya melengkung, dua garis berbeda melewati setiap titik dari paraboloid hiperbolik yang sepenuhnya termasuk dalam paraboloid hiperbolik. Permukaan lain yang bukan bidang dan berganda ganda adalah hiperboloid revolusi.

Properti kedua dari paraboloid hiperbolik inilah yang memungkinkan penggunaannya yang luas dalam arsitektur karena permukaannya dapat dihasilkan dari balok atau string lurus.

Properti kedua dari parabola hiperbolik memungkinkan definisi alternatif: itu adalah permukaan yang dapat dihasilkan oleh garis lurus yang bergerak sejajar dengan bidang tetap dan memotong dua garis tetap yang berfungsi sebagai panduan. Gambar berikut menjelaskan definisi alternatif dari paraboloid hiperbolik:

Gambar 5. Paraboloid hiperbolik adalah permukaan berlekuk ganda. Sumber: F. Zapata.

Contoh yang Berhasil

- Contoh 1

Tunjukkan bahwa persamaan: z = xy, sesuai dengan parabola hiperbolik.

Larutan

Transformasi akan diterapkan ke variabel x dan y yang sesuai dengan rotasi sumbu Kartesius terhadap sumbu Z + 45º. Koordinat x dan y lama diubah menjadi x 'dan y' baru menurut hubungan berikut:

x = x '- y'

y = x '+ y'

sedangkan koordinat z tetap sama yaitu z = z '.

Dengan mengganti persamaan z = xy kita memiliki:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Dengan menerapkan produk penting dari selisih dengan jumlah yang sama dengan selisih kuadrat, kita memiliki:

z '= x' ² - y ' ²

yang secara jelas sesuai dengan definisi pertama dari paraboloid hiperbolik.

Intersepsi bidang sejajar sumbu XY dengan paraboloid hiperbolik z = xy menentukan hiperbola sama sisi yang memiliki asimtot bidang x = 0 dan y = 0.

- Contoh 2

Tentukan parameter a dan b dari paraboloid hiperbolik yang melewati titik A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) dan D (2, -1, 32/9).

Larutan

Menurut propertinya, empat titik dalam ruang tiga dimensi menentukan parabola hiperbolik tunggal. Persamaan umumnya adalah:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Kami mengganti nilai yang diberikan:

Untuk titik A kita punya 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , persamaan yang dipenuhi berapa pun nilai parameter a dan b.

Mengganti titik B, kami memperoleh:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Sedangkan untuk titik C tetap:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Akhirnya, untuk poin D kita mendapatkan:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Yang identik dengan persamaan sebelumnya. Akhirnya, sistem persamaan harus diselesaikan:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama memberikan:

27/9 = 3 / a ² yang berarti bahwa a ² = 1.

Dengan cara yang sama, persamaan kedua dikurangkan dari empat kali lipat persamaan pertama, sehingga diperoleh:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Yang disederhanakan sebagai:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Singkatnya, paraboloid hiperbolik yang melewati titik A, B, C dan D memiliki persamaan Cartesian yang diberikan oleh:

z = x ² - (4/9) y ²

- Contoh 3

Menurut sifat dari paraboloid hiperbolik, dua garis melewati setiap titik yang terkandung di dalamnya. Untuk kasus z = x ^ 2 - y ^ 2 temukan persamaan dari dua garis yang melewati titik P (0, 1, -1) yang secara jelas termasuk dalam parabola hiperbolik, sehingga semua titik dari garis ini juga termasuk dalam sama.

Larutan

Menggunakan hasil perkalian selisih kuadrat yang luar biasa, persamaan untuk paraboloid hiperbolik dapat ditulis seperti ini:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Di mana c adalah konstanta bukan nol.

Persamaan x + y = cz, dan persamaan x - y = 1 / c bersesuaian dengan dua bidang dengan vektor normal n = <1,1, -c> dan m = <1, -1,0>. Hasil kali vektor mxn = <- c, -c, -2> memberi kita arah perpotongan kedua bidang. Kemudian salah satu garis yang melewati titik P dan termasuk dalam paraboloid hiperbolik memiliki persamaan parametrik:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Untuk menentukan c kita mengganti titik P dalam persamaan x + y = cz, diperoleh:

c = -1

Dengan cara yang sama, tetapi dengan mempertimbangkan persamaan (x - y = kz) dan (x + y = 1 / k) kita memiliki persamaan parametrik garis:

= <0, 1, -1> + s dengan k = 1.

Singkatnya, dua baris tersebut:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> dan = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Mereka sepenuhnya terkandung dalam paraboloid hiperbolik z = x ² - y ² melewati titik (0, 1, -1).

Sebagai penguji, misalkan t = 1 yang memberi kita titik (1,2, -3) pada baris pertama. Anda harus memeriksa apakah itu juga pada paraboloid z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Yang menegaskan bahwa itu memang milik permukaan paraboloid hiperbolik.

Paraboloid hiperbolik dalam arsitektur

Gambar 6. Oseanografi Valencia (Spanyol) Sumber: Wikimedia Commons.

Paraboloid hiperbolik telah digunakan dalam arsitektur oleh arsitek avant-garde besar, di antaranya nama-nama arsitek Spanyol Antoni Gaudí (1852-1926) dan terutama Félix Candela Spanyol (1910-1997) yang menonjol.

Di bawah ini adalah beberapa karya berdasarkan paraboloid hiperbolik:

-Kapel kota Cuernavaca (Meksiko) karya arsitek Félix Candela.

-The Oceanographic of Valencia (Spanyol), juga oleh Félix Candela.

Referensi

1. Ensiklopedia matematika. Permukaan Beraturan. Diperoleh dari: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Paraboloid hiperbolik. Diperoleh dari: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Paraboloid Hiperbolik." Dari MathWorld - Sumber Daya Web Wolfram. Diperoleh dari: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Diperoleh dari: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Permukaan yang diatur. Diperoleh dari: en.wikipedia.com