BILANGAN REAL: SEJARAH, CONTOH, PROPERTI, OPERASI - MATEMATIKA - 2025

The bilangan real merupakan set numerik yang mencakup bilangan, bilangan bulat, yang rasional dan irasional. Mereka dilambangkan dengan simbol ℝ atau hanya R dan ruang lingkup mereka dalam sains, teknik dan ekonomi sedemikian rupa sehingga ketika berbicara tentang "bilangan", hampir dianggap biasa bahwa itu adalah bilangan real.

Bilangan real telah digunakan sejak zaman kuno, meskipun tidak diberi nama itu. Sejak Pythagoras mengembangkan teorema terkenalnya, bilangan muncul yang tidak dapat diperoleh sebagai hasil perhitungan bilangan asli atau bilangan bulat.

Gambar 1. Diagram Venn menunjukkan bagaimana himpunan bilangan real berisi himpunan bilangan lain. Sumber> Wikimedia Commons.

Contoh bilangan adalah √2, √3, dan π. Angka-angka ini disebut irasional, berlawanan dengan bilangan rasional, yang memang berasal dari hasil perkalian bilangan bulat. Oleh karena itu diperlukan satu set numerik yang mencakup kedua kelas bilangan.

Istilah "bilangan real" diciptakan oleh matematikawan terkenal René Descartes (1596-1650), untuk membedakan antara dua jenis akar yang dapat muncul dari penyelesaian persamaan polinomial.

Beberapa dari akar ini dapat menjadi akar genap dari bilangan negatif, Descartes menyebutnya "bilangan imajiner" dan yang bukan, adalah bilangan real.

Denominasi bertahan dari waktu ke waktu, menghasilkan dua set numerik besar: bilangan real dan bilangan kompleks, himpunan yang lebih besar yang mencakup bilangan real, bilangan imajiner, dan yang merupakan bagian nyata dan sebagian imajiner.

Evolusi bilangan real terus berlanjut sampai pada tahun 1872, ahli matematika Richard Dedekind (1831-1936) secara resmi mendefinisikan himpunan bilangan real melalui apa yang disebut pemotongan Dedekind. Sintesis karyanya diterbitkan dalam sebuah artikel yang menyoroti tahun yang sama.

Contoh bilangan real

Tabel di bawah ini menunjukkan contoh bilangan real. Himpunan ini memiliki himpunan bagian dari bilangan asli, bilangan bulat, rasional dan irasional. Sejumlah dari set ini dengan sendirinya adalah bilangan real.

Oleh karena itu 0, negatif, positif, pecahan, dan desimal adalah bilangan real.

Gambar 2. Contoh bilangan real adalah natural, integer, rasional, irasional, dan transenden. Sumber: F. Zapata.

Representasi bilangan real pada garis nyata

Bilangan real dapat direpresentasikan pada garis nyata R , seperti yang ditunjukkan pada gambar. Tidak perlu selalu ada 0, namun akan lebih mudah untuk mengetahui bahwa real negatif ada di kiri dan real positif di kanan. Itulah mengapa ini merupakan titik acuan yang sangat baik.

Pada garis nyata, skala diambil, di mana bilangan bulat ditemukan:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Tanda panah menunjukkan bahwa garis tersebut memanjang hingga tak terbatas. Tapi itu belum semuanya, dalam setiap interval yang dipertimbangkan, kita juga akan selalu menemukan bilangan real tak hingga.

Bilangan real direpresentasikan secara berurutan. Pertama-tama, ada urutan bilangan bulat, di mana positif selalu lebih besar dari 0, sedangkan negatif lebih kecil.

Urutan ini disimpan dalam bilangan real. Ketimpangan berikut ditunjukkan sebagai contoh:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Gambar 3.- Garis nyata. Sumber: Wikimedia Commons.

Properti bilangan real

Bilangan real mencakup bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan irasional.

Properti komutatif dari penjumlahan terpenuhi: urutan penjumlahan tidak mengubah jumlahnya. Jika a dan b adalah dua bilangan real, selalu benar bahwa:

a + b = b + a

-0 adalah elemen netral dari penjumlahan: a + 0 = a

-Untuk jumlah properti asosiatif terpenuhi. Jika a, b, dan c adalah bilangan real: (a + b) + c = a + (b + c).

-Kebalikan dari bilangan real dengan -a.

-Pengurangan didefinisikan sebagai penjumlahan dari kebalikannya: a - b = a + (-b).

Properti komutatif produk terpenuhi: urutan faktor tidak mengubah produk: ab = ba

-Dalam produk properti asosiatif juga diterapkan: (ab) .c = a. (Bc)

-The 1 adalah elemen netral dari perkalian: a.1 = a

Sifat distributif perkalian valid sehubungan dengan penjumlahan: a. (b + c) = ab + ac

-Divisi dengan 0 tidak ditentukan.

-Setiap bilangan real a, kecuali 0, memiliki invers perkalian ^-1 sehingga aa ^-1 = 1.

-Jika a adalah bilangan real: a ⁰ = 1 dan a ¹ = a.

-Nilai absolut atau modulus dari bilangan real adalah jarak antara bilangan tersebut dan 0.

Operasi dengan bilangan real

Dengan bilangan real, Anda dapat melakukan operasi yang dilakukan dengan himpunan numerik lainnya, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemberdayaan, radikasi, logaritma, dan lainnya.

Seperti biasa, pembagian dengan 0 tidak ditentukan, begitu pula logaritma bilangan negatif atau 0, meskipun benar bahwa log 1 = 0 dan logaritma bilangan antara 0 dan 1 adalah negatif.

Aplikasi

Penerapan bilangan real untuk semua jenis situasi sangat bervariasi. Bilangan real muncul sebagai jawaban atas banyak masalah dalam ilmu pasti, ilmu komputer, teknik, ekonomi, dan ilmu sosial.

Semua jenis besaran dan besaran seperti jarak, waktu, gaya, intensitas suara, uang dan banyak lagi, memiliki ekspresi dalam bilangan real.

Transmisi sinyal telepon, gambar dan suara video, suhu AC, pemanas atau lemari es dapat dikontrol secara digital, yang berarti mengubah besaran fisik menjadi urutan numerik.

Hal yang sama terjadi saat melakukan transaksi perbankan melalui Internet atau berkonsultasi dengan pesan instan. Angka sebenarnya ada di mana-mana.

Latihan diselesaikan

Kita akan melihat dengan latihan bagaimana angka-angka ini bekerja dalam situasi umum yang kita temui setiap hari.

Latihan 1

Kantor pos hanya menerima paket yang panjangnya ditambah ukuran lingkarnya tidak melebihi 108 inci. Oleh karena itu, agar paket yang ditampilkan dapat diterima, harus dipenuhi bahwa:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Apakah paket yang lebarnya 6 inci, tinggi 8 inci, dan panjang 5 kaki akan berhasil?

b) Bagaimana dengan yang berukuran 2 x 2 x 4 kaki ³ ?

c) Berapakah tinggi tertinggi yang dapat diterima untuk paket yang alasnya persegi dan berukuran 9 x 9 inci ² ?

Jawaban untuk

L = 5 kaki = 60 inci

x = 6 inci

y = 8 inci

Operasi yang harus diselesaikan adalah:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inci = 60 + 2 x 14 inci = 60 + 28 inci = 88 inci

Paket diterima.

Jawaban b

Dimensi paket ini lebih kecil dari paket a), sehingga keduanya berhasil melewatinya.

Jawaban c

Dalam paket ini:

x = L = 9 inci

Harus diperhatikan bahwa:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

dan ≤ 40,5 inci

Referensi

1. Carena, M. 2019. Manual Matematika Pra-Universitas. Universitas Nasional Litoral.
2. Diego, A. Bilangan real dan propertinya. Diperoleh dari: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 9. Gelar. Edisi CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika untuk Kalkulus. 5. Edisi. Pembelajaran Cengage.