BILANGAN RASIONAL: PROPERTI, CONTOH DAN OPERASI - MATEMATIKA - 2025

The bilangan rasional semua nomor dapat diperoleh sebagai pembagian dua bilangan bulat. Contoh bilangan rasional adalah: 3/4, 8/5, -16/3 dan yang muncul pada gambar berikut. Dalam bilangan rasional, hasil bagi ditunjukkan, dimungkinkan untuk dilakukan nanti jika diperlukan.

Sosok itu mewakili benda apa pun, bulat untuk kenyamanan yang lebih besar. Jika kita ingin membaginya menjadi 2 bagian yang sama, seperti di kanan, kita memiliki dua bagian kiri dan masing-masing bernilai 1/2.

Gambar 1. Bilangan rasional digunakan untuk membagi keseluruhan menjadi beberapa bagian. Sumber: Freesvg.

Dengan membaginya menjadi 4 bagian yang sama, kita akan mendapatkan 4 bagian dan masing-masing bernilai 1/4, seperti pada gambar di tengah. Dan jika itu harus dibagi menjadi 6 bagian yang sama, setiap bagian akan bernilai 1/6, yang kita lihat pada gambar di sebelah kiri.

Tentu saja, kita juga bisa membaginya menjadi dua bagian yang tidak sama, misalnya kita bisa menyimpan 3/4 bagian dan menyimpan 1/4 bagian. Pembagian lain juga dimungkinkan, seperti 4/6 bagian dan 2/6 bagian. Yang penting adalah jumlah semua bagian adalah 1.

Dengan cara ini, terbukti bahwa dengan bilangan rasional Anda dapat membagi, menghitung, dan mendistribusikan barang-barang seperti makanan, uang, tanah, dan semua jenis benda dalam pecahan. Sehingga jumlah operasi yang dapat dilakukan dengan angka bertambah.

Bilangan rasional juga dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, seperti dapat dilihat pada contoh berikut ini:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Nanti kami akan menunjukkan bagaimana beralih dari satu bentuk ke bentuk lainnya dengan contoh.

Sifat bilangan rasional

Bilangan rasional, yang himpunannya akan kami tunjukkan dengan huruf Q, memiliki properti berikut:

-Q termasuk bilangan asli N dan bilangan bulat Z.

Memperhatikan bahwa bilangan apa pun a dapat diekspresikan sebagai hasil bagi antara dirinya dan 1, mudah untuk melihat bahwa di antara bilangan rasional juga terdapat bilangan asli dan bilangan bulat.

Jadi, bilangan asli 3 dapat dituliskan sebagai pecahan, dan juga -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Dengan cara ini, Q adalah himpunan numerik yang mencakup sejumlah besar angka, sesuatu yang sangat diperlukan, karena angka "bulat" tidak cukup untuk menggambarkan semua operasi yang mungkin dilakukan.

-Bilangan rasional dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan dan dibagi, hasil operasi menjadi bilangan rasional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Di antara setiap pasangan bilangan rasional, bilangan rasional lain selalu dapat ditemukan. Sebenarnya di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional yang tak terhingga.

Misalnya, antara rasio 1/4 dan 1/2 adalah rasio 3/10, 7/20, 2/5 (dan banyak lagi), yang dapat diverifikasi dengan menyatakannya sebagai desimal.

-Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai: i) bilangan bulat atau ii) desimal terbatas (ketat) atau periodik: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

-Bilangan yang sama dapat diwakili oleh pecahan ekuivalen tak hingga dan semuanya adalah milik Q. Mari kita lihat grup ini:

Mereka semua mewakili desimal 0,428571 …

-Dari semua pecahan ekuivalen yang merepresentasikan bilangan yang sama, pecahan tak tersederhanakan, yang paling sederhana, adalah representasi kanonik dari bilangan itu. Perwakilan kanonik dari contoh di atas adalah 3/7.

Gambar 2.- Himpunan Q dari bilangan rasional. Sumber: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Contoh bilangan rasional

Pecahan-pecahan yang tepat, yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya:

Pecahan yang tidak tepat, yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya:

-Bilangan asli dan bilangan bulat:

Pecahan -Equivalent:

Representasi desimal dari bilangan rasional

Ketika pembilang dibagi dengan penyebut, bentuk desimal dari bilangan rasional ditemukan. Sebagai contoh:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,1111 …

6/11 = 0,545454…

Dalam dua contoh pertama, jumlah tempat desimal dibatasi. Ini berarti bahwa ketika pembagian selesai, sisa 0 akhirnya diperoleh.

Di sisi lain, dalam dua berikutnya, jumlah tempat desimal tidak terbatas dan itulah sebabnya elipsis ditempatkan. Dalam kasus terakhir ada pola di desimal. Dalam kasus pecahan 1/9, angka 1 diulang tanpa batas, sedangkan dalam 6/11 adalah 54.

Jika ini terjadi, desimal dikatakan periodik dan dilambangkan dengan tanda sisipan seperti ini:

Ubah desimal menjadi pecahan

Jika itu adalah desimal terbatas, koma dihilangkan dan penyebutnya menjadi unit yang diikuti oleh angka nol sebanyak yang ada dalam desimal. Misalnya, untuk mengubah desimal 1,26 menjadi pecahan, tulislah seperti ini:

1,26 = 126/100

Kemudian pecahan yang dihasilkan disederhanakan semaksimal mungkin:

126/100 = 63/50

Jika desimal tidak terbatas, titik pertama kali diidentifikasi. Kemudian langkah-langkah ini diikuti untuk mencari pecahan yang dihasilkan:

-Pembilang adalah pengurangan antara bilangan (tanpa koma atau tanda sisipan) dan bagian yang tidak memiliki tanda sisipan.

-Penyebutnya adalah bilangan bulat sebanyak 9 sebanyak angka yang ada di bawah sirkumfleksinya, dan sebanyak 0 sebanyak angka di bagian desimal yang tidak ada di bawah sirkumfleksinya.

Mari kita ikuti prosedur ini untuk mengubah angka desimal 0,428428428… menjadi pecahan.

-Pertama, titik diidentifikasi, yang merupakan urutan yang berulang: 428.

-Lalu operasi pengurangan bilangan tanpa koma atau aksen dilakukan: 0428 dari bagian yang tidak memiliki sirkumfleksa, yaitu 0. Jadi, 428 - 0 = 428.

-Penyebut dibuat, mengetahui bahwa di bawah sirkumfleksa ada 3 angka dan semuanya di bawah sirkumfleksa. Oleh karena itu penyebutnya adalah 999.

-Akhirnya pecahan dibentuk dan disederhanakan jika memungkinkan:

0,428 = 428/999

Tidak mungkin untuk lebih menyederhanakan.

Operasi dengan bilangan rasional

- Tambah dan kurangi

Pecahan dengan penyebut yang sama

Jika pecahan memiliki penyebut yang sama, penjumlahan dan / atau pengurangannya sangat mudah, karena pembilangnya dijumlahkan secara aljabar, menyisakan jumlah yang sama sebagai penyebut hasil. Akhirnya, jika memungkinkan, disederhanakan.

Contoh

Lakukan penjumlahan aljabar berikut dan sederhanakan hasilnya:

Fraksi yang dihasilkan sudah tidak dapat direduksi.

Pecahan dengan penyebut berbeda

Dalam hal ini, penjumlahan diganti dengan pecahan ekivalen dengan penyebut yang sama dan kemudian diikuti prosedur yang telah dijelaskan.

Contoh

Tambahkan bilangan rasional berikut secara aljabar, sederhanakan hasilnya:

Langkah-langkahnya adalah:

-Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (lcm) dari penyebut 5, 8 dan 3:

lcm (5,8,3) = 120

Ini akan menjadi penyebut pecahan yang dihasilkan tanpa disederhanakan.

-Untuk setiap pecahan: bagi KPK dengan penyebutnya dan kalikan dengan pembilangnya. Hasil dari operasi ini ditempatkan, dengan tandanya masing-masing, di pembilang pecahan. Dengan cara ini, pecahan yang setara dengan aslinya diperoleh, tetapi dengan KPK sebagai penyebutnya.

Misalnya, untuk pecahan pertama, pembilangnya dibuat seperti ini: (120/5) x 4 = 96 dan kita mendapatkan:

Lanjutkan dengan cara yang sama untuk pecahan yang tersisa:

Akhirnya, pecahan ekivalen diganti tanpa melupakan tandanya dan penjumlahan aljabar dari pembilangnya dilakukan:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Perkalian dan pembagian

Perkalian dan pembagian dilakukan mengikuti aturan yang ditunjukkan di bawah ini:

Gambar 3. Aturan mengalikan dan membagi bilangan rasional. Sumber: F. Zapata.

Bagaimanapun, penting untuk diingat bahwa perkalian bersifat komutatif, yang berarti bahwa urutan faktor tidak mengubah hasil perkalian. Ini tidak terjadi dengan pembagian, jadi kehati-hatian harus dilakukan untuk menghormati urutan antara dividen dan pembagi.

Contoh 1

Lakukan operasi berikut dan sederhanakan hasilnya:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Jawaban untuk

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Jawaban b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Contoh 2

Luisa memiliki $ 45. Dia menghabiskan sepersepuluh dari itu untuk membeli buku dan 2/5 dari apa yang tersisa di kaos. Berapa banyak uang yang tersisa Luisa? Nyatakan hasilnya sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi.

Larutan

Biaya buku (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Oleh karena itu, Luisa ditinggalkan dengan:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Dengan uang itu Luisa pergi ke toko pakaian dan membeli kemeja yang harganya:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Sekarang Luisa memiliki portofolionya:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Untuk mengekspresikannya sebagai pecahan ditulis seperti ini:

24,3 = 243/10

Itu tidak bisa direduksi.

Referensi

1. Baldor, A. 1986. Aritmatika. Kodeks Edisi dan Distribusi.
2. Carena, M. 2019. Manual Matematika. Universitas Nasional Litoral.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Angka-angka rasional. Diperoleh dari: Cimanet.uoc.edu.
6. Angka rasional. Diperoleh dari: webdelprofesor.ula.ve.