BILANGAN IRASIONAL: SEJARAH, PROPERTI, KLASIFIKASI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The bilangan irasional adalah mereka yang ekspresi memiliki angka desimal tak terbatas tanpa pola berulang, oleh karena itu, tidak dapat dapat diperoleh dari rasio antara dua bilangan bulat.

Di antara bilangan irasional yang paling terkenal adalah:

Gambar 1. Dari atas ke bawah bilangan irasional berikut: pi, bilangan Euler, rasio emas dan dua akar kuadrat. Sumber: Pixabay.

Di antara mereka, tidak diragukan lagi π (pi) adalah yang paling dikenal, tetapi masih banyak lagi. Semuanya termasuk dalam himpunan bilangan real, yang merupakan himpunan numerik yang mengelompokkan bilangan rasional dan irasional.

Elipsis pada gambar 1 menunjukkan bahwa desimal terus berlanjut tanpa batas, yang terjadi adalah spasi kalkulator biasa hanya memungkinkan beberapa untuk ditampilkan.

Jika kita perhatikan dengan cermat, setiap kali kita membuat hasil bagi antara dua bilangan bulat, kita mendapatkan desimal dengan bilangan terbatas atau jika tidak, dengan bilangan tak terhingga di mana satu atau lebih diulang. Nah, ini tidak terjadi dengan bilangan irasional.

Sejarah bilangan irasional

Matematikawan besar kuno Pythagoras, lahir pada 582 SM di Samos, Yunani, mendirikan aliran pemikiran Pythagoras dan menemukan teorema terkenal yang menyandang namanya. Kami memilikinya di sini di sebelah kiri (orang Babilonia mungkin sudah mengetahuinya jauh sebelumnya).

Gambar 2. Teorema Pythagoras diterapkan pada segitiga dengan sisi sama dengan 1. Sumber: Pixabay / Wikimedia Commons.

Nah, ketika Pythagoras (atau mungkin seorang muridnya) menerapkan teorema ke segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya sama dengan 1, dia menemukan bilangan irasional √2.

Dia melakukannya dengan cara ini:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Dan ia segera menyadari bahwa bilangan baru ini tidak berasal dari hasil bagi antara dua bilangan asli lainnya, yang dikenal pada saat itu.

Karena itu dia menyebutnya tidak rasional, dan penemuan itu menyebabkan kecemasan dan kebingungan besar di antara orang Pythagoras.

Sifat bilangan irasional

-The himpunan semua bilangan irasional dilambangkan dengan huruf I dan kadang-kadang sebagai Q * atau Q ^C . Penyatuan antara bilangan irasional I atau Q * dan bilangan rasional Q, menimbulkan himpunan bilangan real R.

-Dengan bilangan irasional, operasi aritmatika yang diketahui dapat dilakukan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemberdayaan, dan lainnya.

-Pembagian dengan 0 juga tidak ditentukan antara bilangan irasional.

-Jumlah dan hasil kali antara bilangan irasional belum tentu bilangan irasional lain. Sebagai contoh:

√2 x √8 = √16 = 4

Dan 4 bukanlah bilangan irasional.

-Namun, penjumlahan bilangan rasional ditambah bilangan irasional memang memberikan hasil yang irasional. Lewat sini:

1 + √2 = 2,41421356237…

-Kali bilangan rasional yang berbeda dari 0 oleh bilangan irasional juga tidak rasional. Mari kita lihat contoh ini:

2 x √2 = 2,828427125…

-Balikan dari hasil irasional dalam bilangan irasional lain. Mari kita coba:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Angka-angka ini menarik karena merupakan nilai dari beberapa rasio trigonometri dari sudut yang diketahui. Sebagian besar rasio trigonometri adalah bilangan irasional, tetapi ada pengecualian, seperti sin 30º = 0,5 = ½, yang rasional.

-Dalam jumlah properti komutatif dan asosiatif terpenuhi. Jika a dan b adalah dua bilangan irasional, artinya:

a + b = b + a.

Dan jika c adalah bilangan irasional lainnya, maka:

(a + b) + c = a + (b + c).

- Sifat distributif perkalian sehubungan dengan penjumlahan adalah sifat terkenal lainnya yang juga berlaku untuk bilangan irasional. Pada kasus ini:

a. (b + c) = ab + ac

-A irasional memiliki kebalikannya: -a. Ketika mereka dijumlahkan hasilnya adalah 0:

a + (- a) = 0

-Di antara dua rasio yang berbeda, setidaknya ada satu bilangan irasional.

Lokasi bilangan irasional pada garis nyata

Garis nyata adalah garis horizontal tempat bilangan real berada, dimana bilangan irasional merupakan bagian yang penting.

Untuk mencari bilangan irasional pada garis nyata, dalam bentuk geometris, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras, penggaris dan kompas.

Sebagai contoh kita akan mencari √5 pada garis nyata, dimana kita menggambar segitiga siku-siku dengan sisi x = 2 dan y = 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Gambar 3. Metode untuk menemukan bilangan irasional pada garis nyata. Sumber: F. Zapata.

Menurut teorema Pythagoras, sisi miring dari segitiga tersebut adalah:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Sekarang kompas ditempatkan dengan titik di 0, di mana salah satu simpul dari segitiga siku-siku juga berada. Titik pensil kompas harus berada di puncak A.

Sebuah busur keliling ditarik yang memotong ke garis nyata. Karena jarak antara pusat keliling dan titik mana pun di atasnya adalah jari-jari, yang sama dengan √5, titik potong tersebut juga jauh √5 dari pusat.

Dari grafik terlihat bahwa √5 berada diantara 2 dan 2,5. Kalkulator memberi kita nilai perkiraan:

√5 = 2,236068

Jadi, dengan membangun segitiga dengan sisi-sisinya yang sesuai, dapat ditemukan yang irasional lainnya, seperti √7 dan lain-lain.

Klasifikasi bilangan irasional

Bilangan irasional diklasifikasikan menjadi dua kelompok:

-Aljabar

-Transcendental atau transendental

Angka aljabar

Bilangan aljabar, yang mungkin atau mungkin tidak irasional, adalah solusi dari persamaan polinomial yang bentuk umumnya adalah:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Contoh persamaan polinomial adalah persamaan kuadrat seperti ini:

x ³ - 2x = 0

Mudah untuk menunjukkan bahwa bilangan irasional √2 adalah salah satu solusi persamaan ini.

Angka transenden

Sebaliknya, bilangan transenden, meskipun irasional, tidak pernah muncul sebagai solusi persamaan polinomial.

Bilangan transenden yang paling sering ditemukan dalam matematika terapan adalah π, karena hubungannya dengan keliling dan bilangan e, atau bilangan Euler, yang merupakan basis dari logaritma natural.

Olahraga

Kotak abu-abu ditempatkan di atas kotak hitam dalam posisi yang ditunjukkan pada gambar. Luas persegi hitam tersebut diketahui 64 cm ² . Berapa panjang kedua kotak?

Gambar 4. Dua kotak, yang ingin kita cari panjang sisinya. Sumber: F. Zapata.

Balasan

Luas persegi dengan sisi L adalah:

A = L ²

Karena persegi hitam berukuran 64 cm ² , sisinya harus 8 cm.

Ukuran ini sama dengan diagonal persegi abu-abu. Menerapkan teorema Pythagoras ke diagonal ini, dan mengingat bahwa sisi-sisi bujur sangkar sama, kita akan mendapatkan:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Dimana L _g adalah sisi persegi abu-abu.

Oleh karena itu: 2L _g ² = 8 ²

Menerapkan akar kuadrat ke kedua sisi persamaan:

L _g = (8 / √2) cm

Referensi

1. Carena, M. 2019. Manual Matematika Pra-Universitas. Universitas Nasional Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 9. Gelar. Edisi CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
4. Portal Pendidikan. Bilangan irasional dan propertinya. Diperoleh dari: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Bilangan irasional. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.