BILANGAN IMAJINER: PROPERTI, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The nomor imajiner adalah mereka yang menyelesaikan persamaan di mana tidak diketahui, diangkat ke alun-alun sama dengan bilangan real negatif. Satuan imajinernya adalah i = √ (-1).

Dalam persamaan: z ² = - a, z adalah bilangan imajiner yang dinyatakan sebagai berikut:

z = √ (-a) = i√ (a)

Menjadi bilangan real positif. Jika a = 1, maka z = i, dengan i adalah satuan imajiner.

Gambar 1. Bidang kompleks yang menunjukkan beberapa bilangan real, beberapa bilangan imajiner, dan beberapa bilangan kompleks. Sumber: F. Zapata.

Secara umum, bilangan imajiner murni z selalu dinyatakan dalam bentuk:

z = y⋅i

Di mana y adalah bilangan real dan i adalah unit imajiner.

Sama seperti bilangan real yang direpresentasikan pada sebuah garis, yang disebut garis nyata, dengan cara yang sama bilangan imajiner direpresentasikan pada garis imajiner.

Garis imajiner selalu ortogonal (bentuk 90º) terhadap garis nyata dan kedua garis tersebut mendefinisikan bidang Kartesius yang disebut bidang kompleks.

Pada gambar 1 bidang kompleks ditunjukkan dan di atasnya beberapa bilangan real, beberapa bilangan imajiner dan juga beberapa bilangan kompleks terwakili:

X ₁ , X ₂ , X ₃ adalah bilangan real

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ adalah bilangan imajiner

Z ₂ dan Z ₃ adalah bilangan kompleks

Bilangan O adalah nol nyata dan juga merupakan nol imajiner, jadi asal O adalah nol kompleks yang dinyatakan dengan:

0 + 0i

Properti

Kumpulan bilangan imajiner dilambangkan dengan:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

Dan Anda dapat menentukan beberapa operasi pada kumpulan numerik ini. Bilangan imajiner tidak selalu diperoleh dari operasi ini, jadi mari kita lihat lebih detail:

Tambah dan kurangi imajiner

Bilangan imajiner dapat ditambahkan dan dikurangkan satu sama lain, menghasilkan bilangan imajiner baru. Sebagai contoh:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produk imajiner

Ketika hasil perkalian dari satu bilangan imajiner dengan bilangan lain dibuat, hasilnya adalah bilangan real. Mari lakukan operasi berikut untuk memeriksanya:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Dan seperti yang bisa kita lihat, -6 adalah bilangan real, meskipun diperoleh dengan mengalikan dua bilangan imajiner murni.

Produk dari bilangan real dengan imajiner lain

Jika bilangan real dikalikan dengan i, hasilnya adalah bilangan imajiner, yang berhubungan dengan rotasi berlawanan arah jarum jam 90 derajat.

Dan itu adalah bahwa i ² sesuai dengan dua rotasi 90 derajat berturut-turut, yang setara dengan mengalikan dengan -1, yaitu, i ² = -1. Dapat dilihat pada diagram berikut ini:

Gambar 2. Perkalian dengan unit imajiner i sesuai dengan rotasi 90º berlawanan arah jarum jam. Sumber: wikimedia commons.

Sebagai contoh:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Pemberdayaan imajiner

Anda dapat menentukan potensiasi bilangan imajiner menjadi eksponen bilangan bulat:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Secara umum kita mendapatkan bahwa i ⁿ = i ^ (n mod 4), di mana mod adalah sisa pembagian antara n dan 4.

Potensiasi bilangan bulat negatif juga dapat dilakukan:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Secara umum, bilangan imajiner b⋅i yang dipangkatkan n adalah:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Beberapa contohnya adalah sebagai berikut:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 saya) ¹¹ = 5 ¹¹ saya ¹¹ = 5 ¹¹ saya ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 saya) ¹⁰ = -2 ¹⁰ saya ¹⁰ = 2 ¹⁰ saya ² = 1024 x (-1) = -1024

Jumlah bilangan real dan bilangan imajiner

Saat Anda menjumlahkan bilangan real dengan bilangan imajiner, hasilnya bukan bilangan real maupun imajiner, ini adalah bilangan jenis baru yang disebut bilangan kompleks.

Misalnya, jika X = 3,5 dan Y = 3,75i, maka hasilnya adalah bilangan kompleks:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Perhatikan bahwa dalam penjumlahan bagian nyata dan imajiner tidak dapat dikelompokkan bersama, jadi bilangan kompleks akan selalu memiliki bagian nyata dan bagian imajiner.

Operasi ini memperluas himpunan bilangan real ke bilangan kompleks terluas.

Aplikasi

Nama bilangan imajiner diusulkan oleh matematikawan Prancis René Descartes (1596-1650) sebagai ejekan atau ketidaksetujuan dengan usulan yang sama yang dibuat oleh matematikawan Italia abad Raffaelle Bombelli.

Ahli matematika hebat lainnya, seperti Euler dan Leibniz, mendukung Descartes dalam perselisihan ini dan menyebut bilangan imajiner bilangan amfibi, yang terpecah antara ada dan tidak ada.

Nama bilangan imajiner tetap ada sampai sekarang, tetapi keberadaan dan kepentingannya sangat nyata dan jelas, karena mereka muncul secara alami di banyak bidang fisika seperti:

-Teori relativitas.

-Dalam elektromagnetisme.

-Mekanika kuantum.

Latihan dengan bilangan imajiner

- Latihan 1

Temukan solusi dari persamaan berikut:

z ² + 16 = 0

Larutan

z ² = -16

Mengambil akar kuadrat di kedua anggota kami memiliki:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Dengan kata lain, solusi dari persamaan aslinya adalah:

z = + 4i oz = -4i.

- Latihan 2

Temukan hasil dari menaikkan unit imajiner ke pangkat 5 dikurangi pengurangan unit imajiner yang dipangkatkan -5.

Larutan

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Latihan 3

Temukan hasil dari operasi berikut:

(3i) ³ + 9i

Larutan

3 ³ i ³ - 9 = 9 (i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Latihan 4

Temukan solusi dari persamaan kuadrat berikut:

(-2x) ² + 2 = 0

Larutan

Persamaan tersebut disusun kembali sebagai berikut:

(-2x) ² = -2

Kemudian akar kuadrat dari kedua anggota diambil

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Kemudian kita menyelesaikan x untuk akhirnya mendapatkan:

x = ± √2 / 2 i

Artinya, ada dua kemungkinan solusi:

x = (√2 / 2) i

Atau yang lain ini:

x = - (√2 / 2) i

- Latihan 5

Temukan nilai Z yang ditentukan oleh:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Larutan

Kita tahu bahwa akar kuadrat dari bilangan real negatif adalah bilangan imajiner, misalnya √ (-9) sama dengan √ (9) x √ (-1) = 3i.

Di sisi lain, √ (-4) sama dengan √ (4) x √ (-1) = 2i.

Jadi persamaan aslinya bisa diganti dengan:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Latihan 6

Temukan nilai Z yang dihasilkan dari pembagian dua bilangan kompleks berikut:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Larutan

Pembilang ekspresi dapat difaktorkan menggunakan properti berikut:

Begitu:

Z = / (3 + i)

Ekspresi yang dihasilkan disederhanakan di bawah ini, keluar

Z = (3 - i)

Referensi

1. Earl, R. Bilangan kompleks. Diperoleh dari: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1. Diversifikasi. Edisi CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan topik Matematika. Publikasi Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Bilangan imajiner. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org