BILANGAN BULAT: PROPERTI, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The bilangan bulat adalah seperangkat nomor yang berguna untuk menghitung benda kaya lengkap dan belum. Juga untuk menghitung mereka yang berada di satu sisi dan di sisi lain dari tempat referensi tertentu.

Juga dengan bilangan bulat Anda dapat melakukan pengurangan atau selisih antara bilangan dan bilangan lain yang lebih besar dari itu, hasilnya diselesaikan sebagai hutang, misalnya. Perbedaan antara pendapatan dan hutang dibuat dengan tanda + dan -.

Gambar 1. Garis bilangan untuk bilangan bulat. Sumber: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Oleh karena itu, kumpulan bilangan bulat meliputi:

-Bilangan bulat positif, yang ditulis diawali dengan tanda +, atau tanpa tanda, karena juga dipahami bahwa bilangan bulat positif. Misalnya: +1, +2, + 3… dan seterusnya.

-The 0, di mana tandanya tidak relevan, karena tidak masalah menambahkannya untuk menguranginya dari beberapa kuantitas. Tetapi 0 sangat penting, karena ini adalah referensi untuk bilangan bulat: di satu sisi adalah positif dan yang lainnya negatif, seperti yang kita lihat pada gambar 1.

-Bilangan bulat negatif, yang harus selalu ditulis diawali dengan tanda -, karena dengan mereka jumlah seperti hutang dan semua yang ada di sisi lain referensi dibedakan. Contoh bilangan bulat negatif adalah: -1, -2, -3… dan setelahnya.

Bagaimana bilangan bulat direpresentasikan?

Pada awalnya kita merepresentasikan bilangan bulat dengan notasi himpunan: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, yaitu list dan terorganisir. Tetapi representasi yang sangat berguna adalah yang digunakan oleh garis bilangan. Ini membutuhkan gambar garis, yang umumnya horizontal, di mana 0 ditandai dan dibagi menjadi beberapa bagian yang identik:

Gambar 2. Representasi bilangan bulat pada garis bilangan. Dari 0 ke kanan adalah bilangan bulat positif dan dari 0 ke kiri adalah bilangan bulat negatif. Sumber: F. Zapata.

Negatif pergi ke kiri 0 dan positif pergi ke kanan. Panah pada garis bilangan melambangkan bahwa angka-angka itu terus berlanjut hingga tak terbatas. Diberikan bilangan bulat apa pun, selalu mungkin untuk menemukan satu yang lebih besar atau yang lebih kecil.

Nilai absolut dari bilangan bulat

Nilai absolut dari sebuah bilangan bulat adalah jarak antara angka dan 0. Dan jarak selalu positif. Oleh karena itu, nilai absolut dari bilangan bulat negatif adalah angka tanpa tanda minusnya.

Misalnya, nilai absolut -5 adalah 5. Nilai absolut dilambangkan dengan batang, sebagai berikut:

--5- = 5

Untuk memvisualisasikannya, hitung saja spasi pada garis bilangan tersebut, dari -5 hingga 0. Sedangkan nilai absolut dari bilangan bulat positif adalah bilangan yang sama, misalnya - + 3- = 3, karena jaraknya dari 0 adalah dengan 3 spasi:

Gambar 3. Nilai absolut dari bilangan bulat selalu berupa kuantitas positif. Sumber: F. Zapata.

Properti

-Himpunan bilangan bulat dilambangkan sebagai Z dan termasuk himpunan bilangan asli N, elemennya tidak terbatas.

-Bilangan bulat dan yang mengikutinya (atau yang mendahuluinya) selalu dibedakan dalam satu kesatuan. Misalnya, setelah 5 muncul 6, dengan 1 menjadi perbedaan di antara keduanya.

-Setiap integer memiliki pendahulu dan penerus.

-Setiap bilangan bulat positif lebih besar dari 0.

-Bilangan bulat negatif selalu kurang dari 0 dan bilangan positif apa pun. Ambil contoh angka -100, ini kurang dari 2, dari 10 dan dari 50. Tetapi juga kurang dari -10, -20 dan -99 dan lebih besar dari -200.

-The 0 tidak memiliki pertimbangan tanda, karena tidak negatif atau positif.

-Dengan bilangan bulat Anda dapat melakukan operasi yang sama dengan bilangan asli, yaitu: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemberdayaan, dan lainnya.

-Bilangan bulat berlawanan dengan bilangan bulat tertentu x, adalah –x dan jumlah dari bilangan bulat dengan kebalikannya adalah 0:

x + (-x) = 0.

Operasi dengan bilangan bulat

- Jumlah

-Jika bilangan yang akan ditambahkan memiliki tanda yang sama, nilai absolutnya ditambahkan dan hasilnya ditempatkan dengan tanda yang dimiliki penjumlahan. Berikut beberapa contohnya:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Jika bilangan tersebut bertanda berbeda, nilai absolut dikurangi (tertinggi dari terendah) dan hasilnya ditempatkan dengan tanda bilangan dengan nilai absolut tertinggi, sebagai berikut:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Properti dari jumlah bilangan bulat

-Jumlahnya komutatif, oleh karena itu urutan penjumlahan tidak mengubah jumlah tersebut. Misalkan a dan b adalah dua bilangan bulat, benar bahwa a + b = b + a

-The 0 adalah elemen netral dari jumlah bilangan bulat: a + 0 = a

-Setiap bilangan bulat yang ditambahkan ke kebalikannya adalah 0. Kebalikan dari + a adalah –a, dan sebaliknya, kebalikan dari –a adalah + a. Oleh karena itu: (+ a) + (-a) = 0.

Gambar 2. Aturan tanda untuk penjumlahan bilangan bulat. Sumber: Wikimedia Commons.

- Pengurangan

Untuk mengurangi bilangan bulat, seseorang harus dipandu oleh aturan ini: pengurangan sama dengan penjumlahan bilangan dengan kebalikannya. Misalkan a dan b adalah dua angka, maka:

a - b = a + (-b)

Misalnya, Anda perlu melakukan operasi berikut: (-3) - (+7), lalu:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Perkalian

Perkalian bilangan bulat mengikuti aturan tanda tertentu:

-Produk dari dua angka dengan tanda yang sama selalu positif.

-Jika dua bilangan dengan tanda berbeda dikalikan, hasilnya selalu negatif.

-Nilai produk sama dengan mengalikan nilai absolut masing-masing.

Langsung saja beberapa contoh yang memperjelas hal di atas:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Sifat perkalian bilangan bulat

-Multiplikasi bersifat komutatif. Misalkan a dan b adalah dua bilangan bulat, benar bahwa: ab = ba, yang juga dapat diekspresikan sebagai:

-Elemen netral dari perkalian adalah 1. Misalkan a adalah bilangan bulat, oleh karena itu a.1 = 1

-Setiap bilangan bulat dikalikan dengan 0 sama dengan 0: a.0 = 0

Properti distributif

Perkalian sesuai dengan sifat distributif sehubungan dengan penjumlahan. Jika a, b dan c adalah bilangan bulat maka:

a. (b + c) = ab + ac

Berikut adalah contoh bagaimana menerapkan properti ini:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Pemberdayaan

-Jika alasnya positif, hasil operasi selalu positif.

-Ketika basis negatif, jika eksponen genap, hasilnya positif. dan jika eksponennya ganjil, hasilnya negatif.

- Divisi

Aturan tanda yang sama berlaku dalam pembagian seperti dalam perkalian:

-Ketika membagi dua bilangan bulat dari tanda yang sama, hasilnya selalu positif.

-Ketika dua bilangan bulat dengan tanda berbeda dibagi, hasil bagi adalah negatif.

Sebagai contoh:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Penting : pembagian tidak komutatif, dengan kata lain a ÷ b ≠ b ÷ a dan seperti biasa, pembagian dengan 0 tidak diperbolehkan.

- Pemberdayaan

Misalkan a bilangan bulat dan kita ingin menaikkannya menjadi eksponen n, maka kita harus mengalikan a dengan dirinya sendiri sebanyak n kali, seperti gambar di bawah ini:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Pertimbangkan juga hal berikut, dengan mempertimbangkan bahwa n adalah bilangan asli:

-Jika a negatif dan n genap, hasilnya positif.

-Jika a negatif dan n ganjil, hasilnya adalah angka negatif.

-Jika a positif dan n genap atau ganjil, selalu dihasilkan bilangan bulat positif.

-Setiap bilangan bulat yang dinaikkan ke 0 sama dengan 1: a ⁰ = 1

-Setiap angka yang dinaikkan menjadi 1 sama dengan angka: a ¹ = a

Misalkan kita ingin mencari (–3) ⁴ , untuk melakukannya kita mengalikan (-3) empat kali dengan sendirinya, seperti ini: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Contoh lain, juga dengan bilangan bulat negatif adalah:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Produk pangkat dari basis yang sama

Misalkan dua pangkat pangkat sama, jika kita mengalikannya, kita mendapatkan pangkat lain dengan basis yang sama, yang eksponennya adalah jumlah eksponen yang diberikan:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Hasil bagi pangkat dasar yang sama

Saat membagi pangkat dari basis yang sama, hasilnya adalah pangkat dengan basis yang sama, yang eksponennya adalah pengurangan eksponen yang diberikan:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Berikut dua contoh yang memperjelas poin-poin ini:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Contoh

Mari kita lihat contoh sederhana untuk menerapkan aturan ini, mengingat bahwa dalam kasus bilangan bulat positif, tanda dapat dibuang dengan:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Semut bergerak mengikuti garis bilangan pada gambar 1. Mulai dari titik x = +3, semut melakukan gerakan sebagai berikut:

-Memindahkan 7 unit ke kanan

-Sekarang Anda mengembalikan 5 unit ke kiri

-Berjalan 3 unit lagi ke kiri.

-Dia Kembali dan bergerak 4 unit ke kanan.

Kapan semut berada di akhir tur?

Larutan

Mari kita sebut perpindahan D. Saat di sebelah kanan diberi tanda positif dan di sebelah kiri diberi tanda negatif. Dengan cara ini, dan mulai dari x = +3 kita memiliki:

-D Pertama: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Kedua D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-D _ketiga : x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Kamar D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Setelah selesai berjalan semut berada pada posisi x = +6. Artinya, 6 unit di sebelah kanan 0 pada garis bilangan.

- Latihan 2

Pecahkan operasi berikut:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Larutan

Operasi ini berisi tanda pengelompokan, yaitu tanda kurung, tanda kurung siku, dan tanda kurung. Saat menyelesaikan, Anda harus menjaga tanda kurung terlebih dahulu, lalu tanda kurung, dan terakhir tanda kurung. Dengan kata lain, Anda harus bekerja dari dalam ke luar.

Dalam latihan ini, titik mewakili perkalian, tetapi jika tidak ada titik antara angka dan tanda kurung atau simbol lain, itu juga dipahami sebagai perkalian.

Di bawah resolusi selangkah demi selangkah, warna berfungsi sebagai panduan untuk mengikuti hasil pengurangan tanda kurung, yang merupakan simbol pengelompokan terdalam:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Latihan 3

Pecahkan persamaan derajat pertama:

12 + x = 30 + 3x

Larutan

Suku-suku dikelompokkan dengan yang tidak diketahui di sebelah kiri persamaan, dan suku-suku numerik di sebelah kanan:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Referensi

1. Carena, M. 2019. Manual Matematika Pra-Universitas. Universitas Nasional Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Matematika Kelas 7. Edisi CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan topik Matematika. Publikasi Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
5. Seluruh angka. Diperoleh dari: Cimanet.uoc.edu.