BILANGAN KOMPOSIT: KARAKTERISTIK, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

Angka senyawa adalah bilangan bulat yang memiliki lebih dari dua pemisah. Jika kita melihat lebih dekat, semua bilangan setidaknya habis dibagi oleh mereka sendiri dan oleh 1. Mereka yang hanya memiliki dua pembagi ini disebut bilangan prima, dan yang memiliki lebih banyak adalah komposit.

Mari kita lihat bilangan 2, yang hanya bisa dibagi antara 1 dan 2. Bilangan 3 juga memiliki dua pembagi: 1 dan 3. Oleh karena itu, keduanya adalah bilangan prima. Sekarang mari kita lihat bilangan 12, yang bisa kita bagi persis dengan 2, 3, 4, 6, dan 12. Dengan memiliki 5 pembagi, 12 adalah bilangan komposit.

Gambar 1. Bilangan prima berwarna biru hanya dapat diwakili oleh satu baris titik, bukan bilangan komposit berwarna merah. Sumber: Wikimedia Commons.

Dan apa yang terjadi dengan angka 1, yang membagi yang lainnya? Ini bukan bilangan prima, karena tidak memiliki dua pembagi, dan bukan komposit, oleh karena itu 1 tidak termasuk dalam salah satu dari dua kategori ini. Tapi masih banyak lagi angka yang bisa.

Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai hasil kali bilangan prima, dan hasil kali ini, kecuali urutan faktornya, unik untuk setiap bilangan. Ini dijamin oleh teorema dasar aritmatika yang dibuktikan oleh matematikawan Yunani Euclid (325-365 SM).

Mari kita kembali ke nomor 12, yang bisa kita ungkapkan dengan berbagai cara. Mari kita coba:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Bentuk yang dicetak tebal adalah hasil perkalian bilangan prima dan satu-satunya yang berubah adalah urutan faktor, yang kita tahu tidak mengubah hasil perkalian. Bentuk lain, meskipun berlaku untuk mengekspresikan 12, tidak hanya terdiri dari bilangan prima.

Contoh bilangan komposit

Jika kita ingin menguraikan bilangan komposit menjadi faktor prima, kita harus membaginya di antara bilangan prima sedemikian rupa sehingga pembagiannya tepat, yaitu sisa 0.

Prosedur ini disebut faktorisasi prima atau dekomposisi kanonik. Faktor prima dapat dinaikkan menjadi eksponen positif.

Kita akan menguraikan bilangan 570, mencatat bahwa bilangan itu genap dan oleh karena itu habis dibagi 2, yang merupakan bilangan prima.

Kami akan menggunakan bilah untuk memisahkan nomor di sebelah kiri dari pembagi di sebelah kanan. Quotients masing-masing ditempatkan di bawah nomor seperti yang diperoleh. Dekomposisi selesai jika angka terakhir di kolom kiri adalah 1:

570 │2
285 │

Saat membagi dengan 2, hasil bagi adalah 285, yang habis dibagi 5, bilangan prima lain, diakhiri dengan 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 habis dibagi 3, juga bilangan prima, karena jumlah dari digitnya 5 + 7 = 12 adalah kelipatan 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Akhirnya kita mendapatkan 19, yang merupakan bilangan prima, yang pembaginya 19 dan 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Dengan memperoleh 1 kita dapat mengekspresikan 570 dengan cara ini:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Dan kita melihat bahwa pada dasarnya, ini adalah hasil kali dari 4 bilangan prima.

Dalam contoh ini kita mulai membagi dengan 2, tetapi faktor yang sama (dalam urutan lain) akan diperoleh jika kita memulai dengan membagi dengan 5 misalnya.

Gambar 2. Bilangan komposit 42 juga dapat didekomposisi menggunakan diagram berbentuk pohon. Sumber: Wikimedia Commons.

Kriteria keterpisahan

Untuk menguraikan bilangan komposit menjadi faktor prima, perlu untuk membaginya dengan tepat. Kriteria pembagian bilangan prima adalah aturan yang memungkinkan untuk mengetahui kapan suatu bilangan dapat habis habis dengan tepat, tanpa harus mencoba atau membuktikannya.

- Pembagian oleh 2

Semua bilangan genap, yang berakhiran 0 atau bilangan genap habis habis dibagi 2.

- Pembagian oleh 3

Jika jumlah dari digit sebuah bilangan adalah kelipatan 3, maka bilangan tersebut juga dan oleh karena itu habis dibagi 3.

- Pembagian oleh 5

Angka yang diakhiri dengan 0 atau 5 habis dibagi 5.

-Divisibility oleh 7

Sebuah angka habis dibagi 7 jika, saat memisahkan digit terakhir, mengalikannya dengan 2 dan mengurangkan angka yang tersisa, nilai yang dihasilkan adalah kelipatan 7.

Aturan ini kelihatannya sedikit lebih rumit dari yang sebelumnya, tetapi kenyataannya tidak terlalu rumit, jadi mari kita lihat contoh: akankah 98 habis dibagi 7?

Mari kita ikuti instruksinya: kita pisahkan angka terakhir yaitu 8, kita kalikan dengan 2 yang menghasilkan 16. Angka yang tersisa saat memisahkan 8 adalah 9. Kita kurangi 16 - 9 = 7. Dan karena 7 adalah kelipatan dari dirinya sendiri, 98 habis dibagi antara 7.

-Divisibility oleh 11

Jika penjumlahan angka-angka pada posisi genap (2, 4, 6…) dikurangkan dari jumlah angka-angka pada posisi ganjil (1, 3, 5, 7…) dan 0 atau kelipatan 11 diperoleh, jumlahnya adalah habis dibagi 11.

Kelipatan pertama dari 11 mudah diidentifikasi: yaitu 11, 22, 33, 44… 99. Tapi hati-hati, 111 bukan, tapi 110 bukan.

Sebagai contoh, mari kita lihat apakah 143 adalah kelipatan 11.

Angka ini memiliki 3 digit, satu-satunya digit genap adalah 4 (kedua), dua digit ganjil adalah 1 dan 3 (pertama dan ketiga), dan jumlahnya 4.

Kedua jumlah tersebut dikurangi: 4 - 4 = 0 dan karena 0 diperoleh, ternyata 143 adalah kelipatan 11.

-Divisibility oleh 13

Angka tanpa digit satuan harus dikurangi 9 kali lipatnya. Jika hitungan mengembalikan 0 atau kelipatan 13, jumlahnya adalah kelipatan 13.

Sebagai contoh, kita akan memverifikasi bahwa 156 adalah kelipatan 13. Digit satuan adalah 6 dan bilangan yang tersisa tanpanya adalah 15. Kita kalikan 6 x 9 = 54 dan sekarang kita kurangi 54 - 15 = 39.

Tapi 39 adalah 3 x 13, jadi 56 adalah kelipatan 13.

Bilangan prima satu sama lain

Dua atau lebih bilangan prima atau komposit dapat berupa bilangan prima atau co-prime. Ini berarti satu-satunya pembagi persekutuan yang mereka miliki adalah 1.

Ada dua sifat penting yang harus diingat dalam hal koprimes:

-Dua, tiga dan lebih bilangan berturut-turut selalu prima satu sama lain.

-Hal yang sama dapat dikatakan tentang dua, tiga atau lebih bilangan ganjil yang berurutan.

Misalnya 15, 16 dan 17 adalah bilangan prima satu sama lain dan begitu juga 15, 17 dan 19.

Cara mengetahui berapa banyak pembagi yang dimiliki sebuah bilangan komposit

Sebuah bilangan prima memiliki dua pembagi, bilangan yang sama dan 1. Dan berapa banyak pembagi yang dimiliki sebuah bilangan komposit? Ini bisa menjadi sepupu atau senyawa.

Misalkan N adalah bilangan komposit yang dinyatakan dalam dekomposisi kanoniknya sebagai berikut:

N = a ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Dimana a, b, c… r adalah faktor prima dan n, m, p… k eksponennya masing-masing. Nah, banyaknya pembagi C yang dimiliki N diberikan oleh:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

Dengan C = pembagi prima + pembagi majemuk + 1

Misalnya 570, yang dinyatakan seperti ini:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Semua faktor prima dipangkatkan menjadi 1, oleh karena itu 570 memiliki:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 pembagi

Dari 10 pembagi ini sudah kita ketahui: 1, 2, 3, 5, 19 dan 570. Ada 10 pembagi lagi yang hilang, yaitu bilangan komposit: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 dan 285. Mereka ditemukan dengan mengamati dekomposisi menjadi faktor prima dan juga mengalikan kombinasi dari faktor-faktor ini bersama-sama.

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Uraikan bilangan berikut menjadi faktor prima:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Solusi untuk

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Solusi b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Solusi c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Solusi d

3705 │5.741
│3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Latihan 2

Cari tahu apakah bilangan-bilangan berikut adalah bilangan prima satu sama lain:

6, 14, 9

Larutan

-Pembagi dari 6 adalah: 1, 2, 3, 6

-Adapun 14, habis dibagi: 1, 2, 7, 14

-Akhirnya 9 memiliki pembagi: 1, 3, 9

Satu-satunya pembagi yang mereka miliki adalah 1, oleh karena itu mereka prima satu sama lain.

Referensi

1. Baldor, A. 1986. Aritmatika. Kodeks Edisi dan Distribusi.
2. Byju. Bilangan prima dan komposit. Diperoleh dari: byjus.com.
3. Bilangan prima dan komposit. Diperoleh dari: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Kriteria keterpisahan. Diperoleh dari: smartick.es.
5. Wikipedia. Bilangan komposit. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.